Мощность множества

Мощность множества, или кардинальное число множества, - характеристика множеств (в том числе бесконечных), обобщающее понятие количества (числа) элементов конечного множества.

В основе этого понятия лежат естественные представления о сравнении множеств:

  1. Любые два множества, между элементами которых может быть установлено взаимно однозначное соответствие ( Биекции), содержат одинаковое количество элементов (имеют одинаковую мощность).
  2. Обратно: множества, равные по мощности, должны допускать такое взаимно однозначное соответствие.
  3. Часть множества не превосходит полного множества по мощности (то есть по количеству элементов).

К построению теории мощности множеств, множества различались по признакам: пустая / непустое и конечное / бесконечное, также конечные множества различались по количеству элементов. Бесконечные же множества нельзя было сравнить.

Мощность множеств позволяет сравнивать бесконечные множества. Например счетное множества являются самыми "маленькими" бесконечными множествами.

Мощность множества A обозначается через | A | . Сам Кантор использовал обозначения \ Overline {\ overline {A}} . Иногда встречаются обозначения \ # A и \ Mathrm {card} (A) .


1. Мощность конечных множеств

Для множеств с конечным числом элементов, мощность множества является фактически количеством элементов этого множества. Иначе можно сказать, что множество A является конечным, если существует такое натуральное число n, что A ~ {k, kNkn}. В противном случае, множество называется бесконечным.

Между двумя конечными множествами A и B существует взаимно однозначное соответствие тогда и только тогда, когда их мощности совпадают, т.е. | A | = | B |.

Пусть A = {a 1, a 2,..., a n} - конечное множество с n элементов (| A | = n), тогда количество всех подмножеств множества A равна 2 n, т.е. 2 | A |.

Множество всех подмножеств некоторого множества A (конечной или бесконечной) часто обозначают через β (A) (или B (A) или 2 | A |) и называют Булеан множества A. Очевидно, что для конечного множества A выполняется | B (A) | = 2 | A |.


2. Мощность бесконечных множеств

В общем случае, справедливом и для бесконечных множеств, множества A и B является равномощных, или имеют одинаковую мощность, если можно установить взаимно однозначное соответствие между элементами этих множеств, т.е. если существует биекции f: AB. Равномощных множества обозначаются как A ~ B.

Отношение ривнопотужности есть рефлексивным, симметричным и транзитивным, то есть отношением эквивалентности.

Для бесконечных множеств мощность множества может совпадать с мощностью ее собственной подмножества.

Примеры:

Множество натуральных чисел N равномощных множестве S = {1,4,9,16, ...}, состоящая из квадратов натуральных чисел. Необходима биекции устанавливается по закону (n, n 2), n ∈ N, n 2S.

Множество Z всех целых чисел равномощных множестве P всех четных чисел. Здесь взаимно однозначное соответствие устанавливается следующим образом: (n, 2n), n ∈ Z, 2n ∈ P.


2.1. Числа алеф

Мощность множества натуральных чисел N обозначается символом \ Aleph_0 (Алеф-нуль). Последующие кардинальные числа в порядке возрастания обозначают \ Aleph_1, \ aleph_2, \ dots .

2.2. Зличеннисть и конечность множеств

Множество A называется счетное или счетное-бесконечной, если | A | ~ | N |. В этом случае говорят, что элементы такого множества можно занумеровать. Счетное есть множества целых Z, натуральных N и рациональных Q чисел.

Множество, есть конечная, или Счетное, называется не более чем счетное.

Бесконечная подмножество счетное множества является Счетное. Также бесконечное множество содержит счетное подмножество.

Для бесчисленных множеств, их мощность \ Ge \ aleph_0 . То есть, Счетное множество в некотором смысле является "маленькой" из бесконечных множеств. Бесчисленными есть множества действительных R и комплексных C чисел.


2.3. Мощность континуума

О множествах, равномощных множестве действительных чисел [или действительных чисел из интервала (0, 1)] говорят, что они имеют мощность континуума, и мощность таких множеств обозначается символом c. Континуум-гипотеза утверждает, что с = \ Aleph_1 .

3. Свойства

  • Две конечные множества равномощных тогда и только тогда, когда они состоят из одинакового числа элементов. То есть для конечного множества понятие мощности совпадает с привычным понятием количества.
  • Для бесконечных множеств мощность может совпадать с мощностью своей собственной подмножества, например | {\ Mathbb N} | = | \ mathbb Z | .
    • Более того, множество бесконечное тогда и только тогда, когда она содержит равномощных собственную (т.е. такую, которая не совпадает с основной множеством) подмножество.
  • Теорема Кантора гарантирует существование мощной множества для любой данной: Множество всех подмножеств множества A имеет большую мощность, чем A, или | 2 ^ A |> | A | .
  • С помощью кантора квадрата можно доказать следующее полезное утверждение: Декартово произведение бесконечного множества A с самим собой равномощных A.
  • Мощность декартова произведения:
    | A \ times B | = | A | \ cdot | B |
  • Формула включения-выключения в простейшем виде:
    | A \ cup B | = | A | + | B | - | A \ cap B |

См.. также

Литература