Натуральные числа

Натуральные числа могут использоваться для счета (одно яблоко, два яблока, три яблока, ...).

Натуральные числа - числа, возникающие естественным образом при счете. Это числа 1, 2, 3, 4, ... Множество натуральных чисел принято обозначать знаком \ N.

Существуют два основных подходы к определение натуральных чисел:

  • числа, используемые при счете предметов (первый, второй, третий...) - подход, общепринятый в большинстве стран мира; формализованным разновидностью этого подхода является аксиоматическое описание системы натуральных чисел с помощью аксиом Пеано.
  • числа для обозначения количества предметов (отсутствие предметов, один предмет, два предмета...) - подход, принятый в работах Николя Бурбаки, где натуральное число обозначается как мощность конечных множеств, при таком подходе, как правило, 0 относят к натуральных чисел.

Отрицательные и дробные числа не являются натуральными числами.

Множество натуральных чисел является бесконечной : для любого натурального числа найдется другое натуральное число, больше него.


1. История натуральных чисел

Понятие натурального числа, вызванное потребностью счета предметов, возникло еще в доисторические времена. Процесс формирования понятия натурального числа продолжался на протяжении всей истории человечества. На низком этапе первобытного общества понятие абстрактного числа не существовало. В сознания первобытного человека еще не сформировалось то общее, что объединяет например, "три человека" и "три озера". Анализ как первобытных народностей показывает, что для счета предметов различного типа использовались различные словесные обороты. Слово "три" в контекстах "три человека", "три лодки" передавалось по-разному. Такие именуемые числовые ряды были очень короткими и завершались неиндивидуализированного понятиями "много", которые также были именованными, т.е. высказывались разными словами для различных типов объектов, такими, как "толпа", "стадо", "куча" и другие.

Сначала числовые сроки имели качественный характер - отличали один, два и большее количество. Большие числа получали добавлением. Например, у австралийского племени реки Муррей, 1 - Энза, 2 - петчевал, 3 - петчевал-Энза, 4 - петчевал-петчевал. Но даже такие способности человечество получило после большого промежутка времени, в который пользовались только из понятий "один", "два" и "много" (до сих пор сохранилось племя, которое остановилось на этом этапу развития умений числового абстрагирование).

Источником возникновения понятия абстрактного числа была счет предметов, основанная на сопоставлении предметам данной совокупности предметов определенной совокупности, малая роль эталона. В большинстве народов первым таким эталоном были пальцы ("Счет на пальцах"), непосредственно подтверждается языковедческим анализом названий первых чисел. На этом этапе число становится абстрактным, независимым от качества объектов счета, но вместе с тем связанным с природой совокупности-эталону. Расширение потребностей счета побудило людей пользоваться из других эталонов счета, например, зарубок на палочке. Для фиксации сравнительно больших чисел стала использоваться новая идея : обозначение некоторого определенного числа (в большинстве народов - десяти) новым знаком, например, засечкой на другой палочке.

С развитием письменности возможности воспроизведения чисел значительно расширились. Сначала числа стали обозначать рисками на материале, который служил для записи ( папирус, глиняные таблички и т.д.). Затем были введены другие знаки для больших чисел. Вавилонские клинописные обозначения чисел, а также "Римские цифры", сохранившиеся до наших дней, ясно свидетельствуют именно об этом путь формирования обозначений для чисел.

Большим прогрессом было изобретение "Цифр". Теперь стало возможным записать любое число ограниченным набором символов. Например, вавилоняне развили мощную позиционную систему, которая базировалась на цифрах 1 и 10, но фактически ее основой было число 60. Удобной была индийская позиционная система счисления, которая позволяла записать любое натуральное число с помощью десяти знаков - цифр она впоследствии стала всемирно признанной и до сих пор остается (хотя форма цифр несколько менялась; цифры этой системы мы называем арабскими, поскольку система пришла в Европу через арабов). Таким образом, параллельно с развитием письменности, понятие натурального числа принимает все более абстрактную форму, отделенную от любой конкретности понятия числа, воспроизводимого как в форме слов в устной речи, так и в форме обозначения специальными знаками в письменной.

Важным шагом в развитии понятия натурального числа является осознание бесконечности натурального ряда чисел - потенциальной возможности его безграничного продолжения. Четкое представление о бесконечности натурального ряда отражено в памятниках античной математики ( III век до н.э.), в трудах Евклида и Архимеда. В "Началах" Евклида устанавливается даже бесконечность количества простых чисел, а в книге Архимеда "Псамит" - принципы для построения названий и обозначений сколь угодно больших чисел, в частности крупнее "число песчинок в мире".

Ноль, первоначально означал отсутствие числа, он стал рассматриваться как число только после ввода отрицательных чисел ноль иногда включают в натуральных чисел).

Вопрос об обоснованности понятия натурального числа долгое время в науке не ставился. Понятие натурального числа столь привычное и простое, что не возникало потребности в его определении в терминах любых простых понятий. Лишь в середине XIX века, под влиянием развития аксиоматического метода в математике с одной стороны, и критического пересмотра основ математического анализа - с другой, назрела необходимость обоснования понятия количественного натурального числа.

Четкое определение понятия натурального числа на основе понятия множества было дано в 70-х годах XIX века в работах Георга Кантора. Сначала он обозначает ривнопотужнисть множеств. Затем число элементов одного множества обозначается как то общее, что имеет данная множество и любая другая, равномощных ей, независимо от качественных особенностей элементов этих множеств. Такое определение отражает суть натурального числа как результата счета предметов.

Другое обоснование понятия натурального числа базируется на анализе отношения порядка следования, которое может быть задано с помощью аксиом. Построена на этом принципе система аксиом была сформулирована Джузеппе Пеано.


2. Определение

2.1. Аксиомы Пеано

Формальное определение натуральных чисел сформулировал итальянский математик Джузеппе Пеано в 1889 году. Аксиомы Пеано базировались на разработках Грассмана, хотя именно Пеано предоставил им современный вид. Эти аксиомы позволили формализовать арифметику. После их введения появилась возможность доказывать, например, равенство 2 \ cdot 2 = 4 \, , Основные свойства натуральных чисел, а также формализованы строить системы целых, рациональных, действительных чисел.

Аксиомы Пеано:

Введем функцию S (x) \, , Которая сопоставляет числу x \, следующее за ним число (иначе говоря, число, следующего за ним).

  1. 1 \ in \ N (Единица является натуральным числом).
  2. Если a \ in \ N , То S (a) \ in \ N (Число, следующее за натуральным, также является натуральным).
  3. \ Not \ exists a \ in \ N \ (S (a) = 1) (Единица не следует по одному натуральным числом).
  4. Если \ S (b) = a и \ S (c) = a, то \ B = c (Натуральное число не может следовать за двумя разными числами).
  5. Аксиома индукции : Пусть некоторое высказывание, зависящее от числа \ N , Истинное для \ N = 1 (База индукции). И пусть для каждого натурального \ K из истинности этого высказывания для \ N = k следует его истинность для \ N = S (k) (Индукционное предположение). Тогда это высказывание истинное для всех натуральных \ N .

В оригинале Джузеппе Пеано первых натуральных числом принимал 0, а не 1. Для множества натуральных чисел в этом "расширенном" смысле, т.е. \ \ {0, 1, 2, ... \} , Обычно используют обозначение \ N_0 или \ Z_ {+}. В некоторых источниках и сейчас считают это множеством натуральных чисел, но общепринято считать, что наименьшее натуральное число - это 1; вместо множество \ N_0 можно назвать множеством целых неотрицательных чисел.


2.2. Теоретико-множественное определение

Согласно теорией множеств, все объекты построения любых математических систем можно рассматривать как множества. Развивая эту точку зрения, натуральные числа можно означать, основываясь на множествах. В теоретико-множественном определении натуральные числа включают и число 0.

2.2.1. Стандартное определение

В стандартном теоретико-множественном определении используется конструкция, предложенная Джоном фон Нейманом. Согласно ей, натуральные числа отождествляются с определенными множествами, согласно следующих двух правил:

Здесь, как и выше, под S (n) \, мы понимаем число, следующее относительно n \, . Числа, заданные таким образом, называются ординальнимы.

Вот ординальни числа и соответствующие им натуральные числа:

  • 0 = \ varnothing
  • 1 = \ {0 \} = \ {\ varnothing \}
  • 2 = \ {0, 1 \} = \ {\ varnothing, \ {\ varnothing \} \}
  • 3 = \ {0, 1, 2 \} = \ {\ varnothing, \ {\ varnothing \}, \ {\ varnothing, \ {\ varnothing \} \} \}
  • \ Mathbb {} ...
  • n +1 = \ {0, 1, ..., n \} = n \ cup \ {n \}
  • \ Mathbb {} ...

Согласно этому определению, во множественном числе, что соответствует числу n \, , Имеют одинаковую n \, элементов (в наивном смысле) и n \ leq m \, , Если и только если множество, что соответствует числу n \, , Является подмножеством множества, соответствует числу m \, .


2.2.2. Другие определения

Хотя стандартная конструкция полезна, но она не является единственной возможной конструкцией. Например:

Обозначим правила так:

  • 0 = \ varnothing;
  • \ Mathbb {} S (n) = \ {n \}.

Тогда имеем

  • 0 = \ varnothing
  • 1 = \ {0 \} = \ {\ varnothing \}
  • 2 = \ {1 \} = \ {\ {\ varnothing \} \}
  • \ Mathbb {} ...

Или можно определить правила так:

  • 0 = \ {\ varnothing \};
  • S (n) = n \ cup \ {n \}.

Тогда имеем

  • 0 = \ {\ varnothing \}
  • 1 = \ {\ varnothing, 0 \} = \ {\ varnothing, \ {\ varnothing \} \}
  • 2 = \ {\ varnothing, 0, 1 \} = \ {\ varnothing, \ {\ varnothing \}, \ {\ varnothing, \ {\ varnothing \} \} \}
  • \ Mathbb {} ...

Возможно, старое определение натуральных чисел - определение, конечно приписываемое Фреге и Расселу, в котором каждое конкретное натуральное число n обозначен как множество всех множеств из n элементами. Это определение может показаться нечетким, но на самом деле оно может быть строго переформулирована следующим образом:

  • 0 = \ {\ varnothing \} - Множество всех множеств без элементов (с нулевой количеством элементов)
  • S (A) = \ {x \ cup \ {y \} \ mid x \ in A \ wedge y \ not \ in x \} , Для любой множества A.

Тогда 0 будет множеством всех множеств без элементов, 1 = S (0) \, будет множеством всех множеств с 1 элементом, 2 = S (1) \, будет множеством всех множеств из 2 элементами, и так далее.


3. Операции над числами

В арифметических операций над числами принято относить следующие операции:

  • Добавление : слагаемое + слагаемое = сумма.
  • Умножения : множитель \ Cdot \, множитель = произведение. Кроме знака \ Cdot \, , Для обозначения умножения используется знак \ Times \, или отсутствие знака (в случае, когда это не вызывает двусмысленности записи).
  • Вычитания : уменьшаемое - \,вычитаемое = разница. При этом, чтобы результат также был натуральным числом, уменьшающееся должно быть больше вычитаемое (а если 0 относить к натуральных чисел, к допустимая также равенство уменьшаемого и вычитаемого). По определению, a-b = c \, , Если a = b + c \, .
  • Деление : деленное / делитель = доля. По определению, a / b = c \, , Если a = bc \, . Деление может сказываться также горизонтальной чертой (делимое сверху, делитель снизу) или двоеточием. Во многих случаях деления выводит за пределы множества натуральных и даже целых чисел (см. Делимость). Поэтому вводится также иная операция.
  • Деление с остатком : делимое / делитель = (доля, остаток). По определению, деленное = a, делитель = b, доля = q, остаток = r, если a = bq + r \, , 0 \ leq r <b \, . Такое действие над числами всегда осуществима однозначна, хотя возможные значения для частного и остатка - это натуральные числа и 0.

Операции сложения и умножения являются основными, а другие обозначаются через них, как описано выше, это характерно для любых математических структур с аналогичными операциями. Отметим также, что сложение и умножение являются замкнутыми операциями в множестве натуральных чисел, поскольку они всегда дают в итоге натуральное число (если были совершены над натуральными числами); этого нельзя сказать об отобрании и деления.


4. Основные свойства

  1. Коммутативность добавления: \, \! a + b = b + a
  2. Коммутативности умножения: \, \! ab = ba
  3. Ассоциативность добавления: \, \! (A + b) + c = a + (b + c)
  4. Ассоциативность умножения: \, \! (Ab) c = a (bc)
  5. Дистрибутивность умножения относительно сложения: \, \! \ Begin {cases} a (b + c) = ab + ac \ \ (b + c) a = ba + ca \ end {cases}

5. Алгебраическая структура

  • Добавление натуральных чисел образует моноид ( полугрупп с нейтральным элементом, а именно 0).
  • Умножения образует моноид с нейтральным элементом 1.
  • С помощью замыкания относительно добавления-вычитания и умножения-деления образуются группы целых чисел \ Z и рациональных положительных чисел \ Mathbb Q_ + соответственно.

См.. также

Nuvola apps edu mathematics blue-p.svg
В Википедии есть портал

Литература

  • Большая Советская Энциклопедия: 3-е изд. - М.: Сов. энциклопедия, 1969 - 1978.

Статьи по математики, связанные с числами

Число | Натуральные числа | Целые числа | Рациональные числа | Иррациональные числа | Constructible numbers | Алгебраические числа | Трансцендентные числа | Computable numbers | Действительные числа | Комплексные числа | Двойные числа | Дуальные числа | Бикомплексни числа | Гиперкомплексные числа | Кватернионы | Октонионы | Седенионы | Superreal numbers | Hyperreal numbers | Surreal numbers | Nominal numbers | Ординальни числа | Кардинальные числа | P-адични числа | последовательности натуральных чисел | Математические константы | Большие числа | Бесконечность