Начала Евклида

Фронтиспис перевода Начал латыни Аделардо с Бату, 1309 - 1316.

Начала Евклида ( греч. Στοιχεῖα , лат. Elementa ) - математический и геометрический трактат, состоящий из 13 книг, написанных греческим математиком Евклидом из Александрии около 300 до н. е. Он состоит из собрания определений, постулатов ( аксиом), утверждений ( теорем и построений) и математических доказательств этих утверждений. Тринадцать книг охватывают Евклидову геометрию и древнегреческий версию теории чисел. За исключением книги В подвижной сфере Автолика, Начала - самый греческий математический трактатов [1], который сохранился до наших дней и это старейшая работа по аксиоматичным дедуктивным выводом в математике. [2] Она усовершенствовала инструментарий для развития логики и современной науки.

Начала Евклида успешная [3] [4] и имела крупнейших влияние из всех когда-либо написанных книг. [5] Впервые напечатана в Венеции в 1482, одна из первых математических работ напечатанных после изобретения печатного пресса и уступает только Библии по количеству переизданий [5], число которых приближается к тысяче [6]. Она использовалась как основной текст по геометрии в западном мире на протяжении около 2000 лет. На протяжении веков, когда квадривиум был включен в учебный план университетов, знание как минимум части Евклидовых Начал требовалось от всех студентов. Не раньше 20-го века, к которому книга повсеместно преподавался в школьных учебниках, она перестала считаться чем-то, что образованный человек должен был прочитать. [7]


1. История

Один из древнейших существующих рукописей Начал (фрагмент ИИ книги), найденный в Оксиринху в Егтпти, датируется примерно 100 годом

Евклид был греческим математиком, который написал Начала в Александрии во времена эллинистического периода (около 300 до н.э.). Ученые считают, что Начала главным образом сборник теорем доказанных другими математиками и подкреплена некоторыми собственными работами. Прокл, греческий математик, живший несколько веков после Евклида, написал в своих комментариях к Начал: "Евклид, написавший Начала, собрал много Евдоксових теорем, усовершенствовал Теэтет, а также довел до неопровержимого вида теоремы, содержащие недостатки в доказательстве сформулированы предшественниками" .

Также известно, например благодаря Цицерону, не сохранилась запись текста в переводе латыни выполнен намного раньше это сделал Боэций в пятом или шестом веке. [8] Арабы получили Начала от византийцев примерно в 760; эту версию, которую написал ученик Евклида Прокл, перевел на арабский Харун аль Рашид около 800 н.э. [8] Старейшая версия Начал латыни, полностью сохранилась, это перевод с арабского Аделардо с Бату [8]. Первая печатная версия появилась в 1482 году (на основе редакции Джованни Кампано 1260) и с тех пор была переведена на многие языки и напечатано около тысячи различных изданий. В 1570, Джон Ди написал широко уважаемый "Введение в математике", который также содержал англоязычный перевод Начал Генри Билингсли и обширные примечания с вспомогательными материалами.

Копии греческого текста сохранились до сегодняшних дней, некоторые из них находятся в библиотеке Ватикана и библиотеке Бодлина в Оксфорде. Доступные манускрипты разного качества, в которых не хватает различных частей. Содержание оригинального текста (которого уже нет) воспроизведен с помощью тщательного анализа переводов и частей оригинала. Для такой работы важны древние тексты, касающиеся Начал вообще и математических теорий, бывших в употреблении в те времена. Такой анализ был проведен Хейбергу и Томасом Литл Гизом в их редакциях Начал.

Схолии или примечания в текстах книг тем имеют большое значение для исследователей. Эти приложения, которые часто отличаются от основного текста (в зависимости от манускрипта), постепенно накапливались со временем, в зависимости от того, как предпочитали растолковать или объяснить. Некоторые из них полезны и добавляются к тексту, но многие нет.


2. Содержание

Ватиканский манускрипт, т.1, 38v - 39r. Euclid I prop. 47 ( теорема Пифагора)

Основное произведение Евклида называется "Начала". Книги с таким же названием, в которых последовательно излагались все основные факты геометрии и теоретической арифметики, составлялись ранее Гиппократом Хиосським, Леонтий и Февдием. Однако "Начала" Евклида вытеснили все эти произведения из употребления и в течение более чем двух тысячелетий оставались базовым учебником геометрии. Создавая свой учебник, Евклид включил в него многое из того, что было создано его предшественниками, обработав этот материал и сведя его воедино.

"Начала" состоят из тринадцати книг. Первая и некоторые другие книги предшествуют списку определений. Первой книге предшествует также список постулатов и аксиом. Как правило, постулаты задают базовые построения (например, "нужно, чтобы через любые две точки можно провести прямую?), а аксиомы - общие правила вывода при операции с величинами (например, "если две величины равны третьей, они равны между собой "). С современной точки зрения, разницы между постулатами и аксиомами нету.

В I книге изучаются свойства треугольников и параллелограммов; эту книгу венчает знаменитая теорема Пифагора для прямоугольных треугольников. Книга II, исходит от пифагорейцев, посвящена так называемой "геометрической алгебре". В III и IV книгах излагается геометрия кругов, а также вписанных и описанных многоугольников, при работе над этими книгами Евклид мог воспользоваться сочинениями Гиппократа Хиосського. В V книге вводится общая теория пропорций, построенная Евдоксом Книдским, а в VI книге она прилагается к теории подобных фигур. VII-IX книги посвящены теории чисел и вновь передаются в пифагорейцев; автором VIII книги, возможно, был Архит Тарентский. В этих книгах рассматриваются теоремы о пропорциях и геометрические прогрессии, вводится метод для нахождения наибольшего общего делителя двух чисел (известный ныне как алгоритм Евклида), строится четные совершенные числа, приходится бесконечность множества простых чисел. В X книге, является объемной и сложной частью ?Начал?, строится классификация иррациональностей; возможно, что ее автором является Теэтет Афинский. XI книга содержит основы стереометрии. В XII книге с помощью метода исчерпывания доказываются теоремы о соотношении площадей кругов, а также объемов пирамид и конусов; автором этой книги по общему признанию является Евдокс Книдский. Наконец, XIII книга посвящена построению пяти правильных многогранников; считается, что часть построений была разработана Теэтет Афинским.

В рукописях, дошедших до нас, до сих тринадцати книг добавлены еще две. XIV книга принадлежит александрийцев Гипсикл (около 200 г. до н.э.), а в XV книгу создан при жизни Исидора Милетского, строителя храма св. Софии в Константинополе (начало VI в. Н. Э).

"Начала" предоставляют общую основу для дальнейших геометрических трактатов Архимеда, Аполлония и других античных авторов; доказаны в них предположение считаются общеизвестными. Комментарии к "Начал" в античности составляли Герон, Порфирий, Папп, Прокл, Симпликий. Сохранилось комментарий Прокла к I книге, а также комментарий Паппа к X книге (в арабском переводе). От античных авторов комментаторская традиция переходит к арабам, а затем и в Средневековой Европы.

В создании и развитии науки Нового времени "Начала" также сыграли важную идейную роль. Они оставались образцом математического трактата, строго и систематически излагает основные положения той или иной математической науки.


3. Трудности текста

Хотя мы считаем Начала элементарным текстом по геометрии, но так было не всегда. Говорят, что царь Птолемей просил способа обучения геометрии проще чем Начала. На что Евклид ответил, что "в геометрии форуме царской дороги". Более недавно Томас Литл Гиз написал в своем вступлении к изданию Начал библиотеки Евримана 1932

Правда заключается в том, что эта книга не писалась для школьников и школьниц, а для взрослых мужчин, имели необходимые знания и суждения чтобы оценить достаточно дискуссионный материал, который еще надо развить хотя бы попыткой выставить суть Евклидовой геометрии более четкую логическую чистое ... [9].

Первым трудным местом в Книге I считается пятый утверждение, так называемый "ослиный мостик" латыни pons asinorum (обычно трудно заставить осла перейти мостик).


4. Сноски

  1. Boyer (1991) ст. 101 "За исключением Сферы Автолика, уцелела работа Евклида - старейший существующий греческий математический трактат; хотя оригиналы текста Евклида более чем наполовину потеряны"
  2. Ball (1960).
  3. Encyclopedia of Ancient Greece (2006) by Nigel Guy Wilson, в 278. "Начала Евклида впоследствии станут основой всей математического образования не только в Римский и Византийский периоды, но и до сих пор до половины 20-го века, это может служить доказательством что это успешная книга из когда-либо написанных"
  4. Boyer (1991) ст. 100 "Как школьных учителей, он назвал ряд ученых, среди которых автор наиболее невероятно успешной математической книги всех времен - Начал Евклида"
  5. а б Boyer (1991) ст. 119 "Начала Евклида не только самая основательная греческая математическая работа, которая дошла до нас, но и книга, имевшая найбильщий влияние из когда-либо написанных ... Первая друковна версия Начал появилась в Венеции в 1482 и была одной из самых ранних напечатанных математических книг; подсчитано, что с тех пор опубликовано не менее тысячи переизданий. Возможно, ни одна другая книга кроме Библии не может похвастаться таким числом изданий, и обычная ни математическая книга не оказала влияния, сравнимого с Началами "
  6. The Historical Roots of Elementary Mathematics by Lucas Nicolaas Hendrik Bunt, Phillip S. Jones, Jack D. Bedient (1988) ст. 142 "Начала стали известны Западной Европе благодаря арабам и марокканцам. Тогда Начала стали основой математического образования. На сегодня известно более 1000 изданий Начал. Вероятно, после Библии, это наиболее широко распространенная книга в цивилизации западного мира."
  7. Ball (1960)
  8. а б в Russell, Bertrand. A History of Western Philosophy. ст. 212.
  9. Heath: Everyman's Library Euclid Introduction [1]

Литература

  • Ball, WW Rouse A Short Account of the History of Mathematics 4th ed. [Reprint. Original publication: London: Macmillan & Co., 1908]. - С. pp. 50-62. - New York: Dover Publications, 1960. ISBN 0-486-20630-0.
  • Boyer, Carl B. A History of Mathematics Second Edition. - John Wiley & Sons, Inc., 1991. ISBN 0471543977.