Надо Знать

добавить знаний



Непрерывная функция



План:


Введение

Непрерывная функция - одно из основных понятий математического анализа. Непрерывные функции встречаются гораздо чаще, чем дифференцируемые, множество всех непрерывных функций замкнутая относительно арифметических операций (за исключением деления) и композиции и образует ли не самый важный класс функций в анализе. Однако строгое математическое определение непрерывной функции, принадлежащего Коши - сравнительно недавнее, и требует продвинутого уровня математической абстракции. Интуитивное же определение такое: функция f (x)действительной переменной непрерывная, если малым изменениям \ Delta xаргумента x соответствуют малые изменения \ Delta f значение функции, можно записать так: \ Delta f \ to 0 когда \ Delta x \ to 0. Это означает, что график непрерывной функции не имеет скачков, т.е. может быть начертан "не отрывая карандаш от бумаги". Все элементарные функции - непрерывные на своей области определения.


1. Определение

Пример непрерывной функции
Пример разрывной функции в точке x = 2 . Функция не является непрерывной слева от точки x = 2
\ Lim_ {x \ to 2 \ atop x <2} f (x) = 2 \ ne f (2)f однако является непрерывной справа:
\ Lim_ {x \ to 2 \ atop x> 2} f (x) = 3 = f (2)f .

Функция f (x) действительной переменной, данная в области D \ subseteq \ mathbb {R} , Непрерывна в точке x_0 \ in D если для произвольного \ Epsilon> 0 найдется такое \ Delta> 0 (Которое зависит от \ Epsilon ), Что с x \ in D, | x-x_0 | <\ delta следует | F (x)-f (x_0) | <\ epsilon. Функция f (x) непрерывна в области S \ subseteq \ mathbb {R} , Если f (x) непрерывна в каждой точке этой области.


Пусть A \ subset \ mathbf {R} \ quad f: A \ to \ mathbf {R} , x_0 - предельная точка множества A.


1.1. Определение непрерывности в точке x_0

Функция f называется непрерывной в точке x_0 если:

  1. функция f (x) определена в точке x 0.
  2. существует предел \ Lim_ {x \ to x_0} {f (x)}
  3. \ Lim_ {x \ to x_0} {f (x)} = f (x_0) .

1.2. Определение непрерывности в точке x_0 по Коши

Функция f называется непрерывной в точке x_0 если: \ Forall (\ epsilon> 0)\ Exist (\ delta> 0) \ forall x , Что \ Left | x - x_0 \ right | <\ delta => \ Left | f (x) - f (x_0) \ right | <\ epsilon


1.3. Определение непрерывности в точке x_0 за Гейне

Функция f называется непрерывной в точке x_0 если: \ Forall x_n , Если \ Lim_ {n \ to \ infty} {x_n} = x_0 , То \ Lim_ {n \ to \ infty} {f (x_n)} = f (x_0) .

2. Точки разрыва

Точка разрыва - это такая точка (значение аргумента), в которой функция не является непрерывной.

Различают следующие виды точек разрыва:

Разрыв называют убираемой, если в данной точке существует предел функции, не совпадает со значением функции.

Точку называют точкой разрыва первого рода, если существуют конечные левая и правая границы в данной точке, и они не совпадают.

Если хотя бы одна односторонняя граница не существует, бесконечная, то точку называют точкой разрыва второго рода.


Сигма Это незавершенная статья математики.
Вы можете помочь проекту, исправив и дополнив ее.



См.. также

Литература

  • С. Т. Завал Элементы анализа. Алгебра многочленов.. - М.: Просвещение, 1972.


код для вставки
Данный текст может содержать ошибки.

скачать

© Надо Знать
написать нам