Надо Знать

добавить знаний



Оболочечная модель ядра



План:


Введение

Оболочечная модель ядра - модель ядра атома, в которой нуклоны : протоны и нейтроны рассматриваются как квантовые частицы, движущиеся в самосогласованной центральном потенциале и имеют дискретный энергетический спектр, подобный спектру электронов в атоме. Используя принцип Паули, модель объясняет существование так называемых магических ядер.

Оболочечная модель была независимо разработана Марией Гепперт-Майер и Гансом Иенсен в 1949, за что они получили Нобелевскую премию по 1963.

В рамках модели нуклоны движутся в центральном потенциале ядра. Считается, что они не взаимодействуют между собой. Для правильного описания движения нужно учесть спин-орбитального взаимодействия. В качестве потенциала выбирается потенциал трехмерного гармонического осциллятора или потенциал Вудса-Саксона.


1. Математическая модель

Ядро с массовым числом A и зарядовой числом Z целом описывается гамильтонианом

\ Hat {H} = \ sum_ {k = 1} ^ A - \ frac {\ hbar ^ 2} {2M} \ Delta_k + \ sum_ {k <j} V_ {kj} (\ mathbf {r} _k - \ mathbf {r} _j) ,

где M - масса нуклона, \ Hbar - возведена постоянная Планка, \ Delta_k - оператор Лапласа для координат k-го нуклона, V_ {kj} - Потенциал сильного взаимодействия между нуколонамы, вообще неизвестен.

Поскольку задача нахождения энергетического спектра гамильтониана с A частицами, где A может будет достаточно большим, нереальная, в оболочечной модели этот гамильтониан заменяется приближенным, в котором на каждый нуклон действует центральный потенциал

\ Hat {H} _0 = \ sum_ {k = 1} ^ A - \ frac {\ hbar ^ 2} {2M} \ Delta_k + V (\ mathbf {r} _k) .

Если использовать в качестве центрального потенциала V (r) - гармонический потенциал

V (r) = \ frac {M \ omega ^ 2} {2} r ^ 2 ,

где \ Omega - Параметр размерностью частоты, то каждый нуклон будет описываться трехмерным гармоничным осциллятором. Спектр одночастичных возбуждений одинаков для всех нуклонов, однако рассчитаны уровне должны заполняться с учетом принципа Паули, отдельно для протонов и нейтронов. Учитывая вырожденность состояний трехмерного гармонического осциллятора, а также два возможных спиновые состояния для каждого из нуклонов, число нуклонов на каждой оболочке будет:

2, 6, 12, 20, 30, 42

что дает магические числа

2, 8, 20, 40, 70, 112.

Только три первые из них правильные, т.е. совпадают с экспериментальными.

Для улучшения модели нужно учесть спин-орбитальное взаимодействие, которое для нуклонов в ядре гораздо больше спин-орбитального взаимодействия электронов в атоме. При учете спин-орбитального взаимодействия гамильтониан записывается в виде

\ Hat {H} _0 = \ sum_ {k = 1} ^ A - \ frac {\ hbar ^ 2} {2M} \ Delta_k + V (\ mathbf {r} _k) + f_ {ls} (r_k) (\ hat {\ mathbf {l}} _k \ cdot \ hat {\ mathbf {s}} _k) ,

где \ Hat {\ mathbf {l}} _k - Оператор орбитального момента нуклона, а \ Hat {\ mathbf {s}} _k - Оператор спина нуклона.

Спин-орбитальное взаимодействие приводит к тому, что нуклон притягивается к ядру сильнее, когда его спин и орбитальный момент параллельные, и слабее, когда они антипараллельно. Вырождение по орбитальным моментом снимается и уровни нуклонов расщепляются. Это расщепление может быть значительным и привести к перегруппировке уровней.

Однонуклонний состояние характеризуется четырьмя квантовыми числами: главным квантовым числом n, орбитальным квантовым числом l, квантовым числом полного момента j и магнитным квантовым числом полного момента m_j . В следующей таблице состояния сгруппированы по энергетическим квантовым числом N = 2 (n-1) + l . Количество состояний в каждой группе дается числом 2g_N +2 . Приведены также число нейтронов, которые могут быть в каждой группе - \ Bar {N} _n (N) . Для протонов нужно учитывать дополнительную кулоновского взаимодействия, поэтому числа несколько иные.

N 0 1 2 3 4 5 6
l 0 1 2, 0 3, 1 4, 2, 0 5, 3, 1 6, 4, 2, 0
j \ Frac {1} {2}\ Frac {3} {2} , \ Frac {1} {2}\ Frac {5} {2} , \ Frac {3} {2} , \ Frac {1} {2}\ Frac {7} {2} , \ Frac {5} {2} , \ Frac {3} {2} , \ Frac {1} {2}\ Frac {9} {2} , \ Frac {7} {2} , \ Frac {5} {2} , \ Frac {3} {2} , \ Frac {1} {2}\ Frac {11} {2} , \ Frac {9} {2} , \ Frac {7} {2} , \ Frac {5} {2} , \ Frac {3} {2} , \ Frac {1} {2}\ Frac {13} {2} , \ Frac {11} {2} , \ Frac {9} {2} , \ Frac {7} {2} , \ Frac {5} {2} , \ Frac {3} {2} , \ Frac {1} {2}
2 g_N + 2 6 8 14 22 32 44 58
\ Bar {N} _n (N) 6 14 28 50 82 126 184

Подытоживая приведенные в таблице результаты, ряд магических чисел принимает вид

2, 8, (14), 20, 28, 40, 50, 82, (114) p, 126, (186) n.

В скобках указаны "напивмагични" числа, для которых магические свойства, то есть особая стабильность, выражены слабо. Индексами обозначены магические числа только по числу протонов или нейтронов. В общем, теория согласуется с экспериментом.


2. Дальнейшее развитие

По мере дальнейшего накопления экспериментальных данных о свойствах атомных ядер появлялись новые факты, которые не всегда укладывались в рамки описанных моделей. Так возникли обобщенная модель ядра (синтез капельной и оболонковби моделей), оптическая модель ядра (объясняет взаимодействие ядер с частицами, налетающих) и другие.

Источники

  • Булавин Л.А., Тартаковский В.К. Ядерная физика. - М.: Знание, 2005.
  • Гепперт-Майер М., Йенсен И., Элементарная теория ядерных оболочек, Иностранная литература, М., 1958.

См.. также


Физика Это незавершенная статья по физики.
Вы можете помочь проекту, исправив и дополнив ее.

код для вставки
Данный текст может содержать ошибки.

скачать

© Надо Знать
написать нам