Октонионы

Октонион (число Келли) - Гиперкомплексные числа размерности восемь. Октонионы были изучены 1843 года ирландским математиком Джоном Грейвзом и независимо, через два года Артуром Келли. В честь последнего октонионы довольно часто называют числами Кэли.

Могут быть получены из кватернионов с помощью процедуры удвоения Кэли-Диксона.

Каждый октонион x может быть записано в форме линейной комбинации базовых элементов \ \ {1, i, j, k, l, il, jl, kl \} с действительными коэффициентами:

x = x_0 + x_1 \, i + x_2 \, j + x_3 \, k + x_4 \, l + x_5 \, il + x_6 \, jl + x_7 \, kl.

Таблица умножения базовых элементов:

1 i j k l il jl kl
i -1 k - J il - L - Kl jl
j - K -1 i jl kl - L - Il
k j - I -1 kl - Jl il - L
l - Il - Jl - Kl -1 i j k
il l - Kl jl - I -1 - K j
jl kl l - Il - J k -1 - I
kl - Jl il l - K - J i -1

Алгебра октонионив (алгебра Кэли) является 8-трехмерной неасоциативною, некоммутативных алгеброй над полем действительных чисел. Алгебру Кэли обычно обозначают \ Mathbb {O} (Аналогично системе рациональных чисел \ Q , Системе действительных чисел \ R , Системе комплексных чисел \ C ) Каждая из этих алгебр является расширением предыдущей:

\ Q \ subset \ R \ subset \ C \ subset \ mathbb {O}.

По теоремой Фробениуса, алгебра Кэли является единственной 8-трехмерной действительной альтернативной алгеброй без делителей нуля.


Некоторые определения и свойства

Сопряженным к октиона \ X является октион

x ^ * = x_0 - x_1 \, i - x_2 \, j - x_3 \, k - x_4 \, l - x_5 \, il - x_6 \, jl - x_7 \, kl.

Выполняется равенство \ (Xy) ^ {*} = y ^ {*} x ^ {*} .

Норма октониона x по определению равна:

\ | X \ | = \ sqrt {x ^ {*} x}.

Квадратный корень существует, поскольку x ^ {*} x = xx ^ {*} всегда является неотъемлемым действительным числом:

\ | X \ | ^ 2 = x ^ {*} x = x_0 ^ 2 + x_1 ^ 2 + x_2 ^ 2 + x_3 ^ 2 + x_4 ^ 2 + x_5 ^ 2 + x_6 ^ 2 + x_7 ^ 2.

Из существования нормы на \ Mathbb {O} вытекает существование обратного элемента для всех ненулевых октонионив.

Обратным к \ X \ ne 0 являются:

x ^ {-1} = \ frac {x ^ *} {\ | x \ | ^ 2}.

Выполняются равенства: xx ^ {-1} = x ^ {-1} x = 1.


Сигма Это незавершенная статья по математики.
Вы можете помочь проекту, исправив и дополнив ее.

Статьи по математики, связанные с числами

Число | Натуральные числа | Целые числа | Рациональные числа | Иррациональные числа | Constructible numbers | Алгебраические числа | Трансцендентные числа | Computable numbers | Действительные числа | Комплексные числа | Двойные числа | Дуальные числа | Бикомплексни числа | Гиперкомплексные числа | Кватернионы | Октонионы | Седенионы | Superreal numbers | Hyperreal numbers | Surreal numbers | Nominal numbers | Ординальни числа | Кардинальные числа | P-адични числа | последовательности натуральных чисел | Математические константы | Большие числа | Бесконечность