Надо Знать

добавить знаний



Основная теорема алгебры



План:


Введение

Основная теорема алгебры утверждает, что всякий отличный от константы многочлен над полем комплексных чисел имеет комплексный корень. [1]

Отсюда следует, что многочлен степени n имеет n комплексных корней, учитывая их кратности.


1. Доведение

Проще доведение этой теоремы дается методами комплексного анализа. Используется тот факт, что функция, аналитическая на всей комплексной плоскости и не имеет особенностей на бесконечности, является константа. Поэтому, функция, обратная многочленов, должна иметь хоть один полюс на комплексной плоскости, а, соответственно, многочлен имеет хоть один корень.


2. История

Как предположение эта теорема впервые встречается у немецкого математика Питера Роут (ум. 1617). Первые доказательство основной теоремы алгебры принадлежат Жирар, 1629 г., и Декарту, 1637 г., в формулировке, отличном от современного. Маклорена и Эйлер уточнили формулировки придав ей форму, эквивалентную современной:

" Всякий многочлен с действительными коэффициентами можно разложить в произведение линейных и квадратичных множителей с действительными коэффициентами. "

Даламбер первый в 1746 г. опубликовал доказательство этой теоремы. Его доказательство основывалось на лемме, что если для какой-то xf (x) ≠ 0, где f (x) - многочлен степени ≥ 1, то найдется точка x 1 такая, что | f (x 1) | <| f (x) |. Доказательство это был бы абсолютно строгим, если бы Д'Аламбер мог доказать, что где-то на комплексной плоскости значение модуля многочлена достигает наименьшего значения. Во 2-й половине XVIII века появляются доказательства Эйлера, Лапласа, Лагранжа и других. Во всех этих доказательствах предполагается заранее, что какое-то "идеальный" корень многочлена существует, а потом приходится, что по крайней мере один из них является комплексным числом. Гаусс первым дал доказательство без этого предположения (единственным недоказанным Гауссом предположением было то, что многочлен с действительными коэффициентами принимает как положительное, так и отрицательное значение также имеет и корень, достаточно геометрически очевидно). Его доказательство, по сути, содержит построение поля разложения многочлена.

Со времен доказательство теоремы в алгебре было открыто очень много нового, поэтому сегодня "основной" эту теорему назвать уже нельзя: это название теперь исторической. Кроме того доказательство теоремы не вполне "алгебраическое", оно применяет утверждение о топологию комплексной плоскости, или хотя бы действительной прямой.


код для вставки
Данный текст может содержать ошибки.

скачать

© Надо Знать
написать нам