Параметрическое уравнение

Пример кривой определенной параметрическими уравнениями кривая бабочка.

В математике, параметрические уравнения метод представления функции через параметры. Простой кинематический пример когда в викристовуеться как параметр для задания позиции, скорости и другой информации о тело в движении.


1. Параметрическое представление функции

Предположим, что функциональная зависимость y от x не задана прямо y = f (x), а через промежуточную величину - t. Тогда формулы

x = \ varphi (t) ~; ~~ Y = \ psi (t)

задают параметрические уравнения для функции одной переменной.

Если предположить, что обе эти функции \ Varphi и \ Psi имеют производные и для \ Varphi существует обратная функция θ, явное представление функции имеет вид [1] :

~ Y = \ psi (\ theta (x)) = f (x)

и производная функции может быть рассчитана как

y '(x) = \ frac {dy} {dx} = \ frac {y'_t} {x'_t} = \ frac {\ psi

2. 2D Примеры

2.1. Парабола

Тривиальный пример, уравнение параболы:

y = x ^ 2 \,

может быть параметризованы с использованием параметра t таким образом

x = t \,
y = t ^ 2. \,

2.2. Круг

Для круга радиуса a:

x = a \ cos (t) \,
y = a \ sin (t). \,

3. 3D примеры

3.1. Винтовая линия

Параметризованных винтовая линия

Параметрические уравнения зрични для описания кривых и в многомерных пространствах. Например:

x = a \ cos (t) \,
y = a \ sin (t) \,
z = bt \,

описывает трехмерную кривую, винтовая линия, которая имеет радиус a и поднимается на 2π b за оборот.

Подобные выражения, записанные как

r (t) = (x (t), y (t), z (t)) = (a \ cos (t), a \ sin (t), bt). \,

4. Полезность

Такой способ представления является практическим и эффективным; например, можно интегрировать и принимать производную почленно. Таким образом, скорость точки, движущейся согласно этим ривняннямиы может быть представлена ​​как:

v (t) = r '(t) = (x' (t), y '(t), z' (t)) = (-a \ sin (t), a \ cos (t), b) \ ,

и ускорение:

a (t) = r'' (t) = (x'' (t), y'' (t), z'' (t)) = (-a \ cos (t),-a \ sin (t ), 0) \,

В общем, параметризованных кривая является функцией от одного параметра (обычно t). Для видповидного случае с двумя и более параметрами, смотри параметрическая поверхность.


Примечания

  1. Г. М. Фихтенгольц. "Курс дифференциального и интегрального исчисления". Том I. Москва 1969 г. Стр. 218