Надо Знать

добавить знаний



Перпендикулярность



План:


Введение

Перпендикулярность - бинарное отношение между различными объектами ( векторами, прямыми, подпространствами т.п.) в евклидовом пространстве. Частный случай ортогональности.


1. Перпендикулярность прямых на плоскости

Две прямые на плоскости называются перпендикулярными, если при пересечении они образуют 4 прямых угла. Две прямые называются перпендикулярными, если они пересекаются под прямым углом. Теорема 1. Если две прямые, которые пересекаются, параллельные соответственно двум другим перпендикулярным прямым, то другие прямые тоже перпендикулярны. Теорема 2. Через любую точку прямой в пространстве можно провести множество перпендикулярных к ней прямых (см. рисунок). (Все прямые лежат в плоскости, перпендикулярной данной прямой и пересекает ее в данной точке.)


В аналитическом виде прямые, заданные линейными функциями y = \ operatorname {tg} \ alpha_1 x + b_1 и y = \ operatorname {tg} \ alpha_2 x + b_2 будут перпендикулярными, если выполняется условие \ Alpha_2 = \ frac {3} {2} \ pi + \ alpha_1 . (Здесь \ Alpha_1, \ alpha_2 - Углы наклона прямой к горизонтали)


2. Перпендикулярность плоскостей

Две плоскости называются перпендикулярными, если двугранный угол между ними равен 90 градусам. Теорема 1. Если две прямые, которые пересекаются, параллельные соответственно двум другим перпендикулярным прямым, то другие прямые тоже перпендикулярны. Теорема 2. Через любую точку прямой в пространстве можно провести множество перпендикулярных к ней прямых (см. рисунок). (Все прямые лежат в плоскости, перпендикулярной данной прямой и пересекает ее в данной точке.)

Через любую точку в пространстве, не принадлежит данной прямой, можно провести прямую, перпендикулярную данной, и только одну. Это будет и перпендикулярна к данной прямой прямая, лежащая в плоскости, определенной данным прямой и точкой:

Обратите внимание, что в пространстве две прямые, перпендикулярные к одной и той же прямой, не обязательно параллельны между собой. На рисунке;.

Прямая, пересекающая плоскость, называется перпендикулярной этой плоскости, если она перпендикулярна к любой прямой, лежащей в этой плоскости и проходит через точку пересечения (см. рисунок).

Теорема 3. Если прямая перпендикулярна двух прямых, лежащих в плоскости и пересекаются, то она перпендикулярна данной плоскости (см. рисунок).

Обратите внимание: если прямая перпендикулярна одной прямой плоскости, то этого достаточно для перпендикулярности прямой и плоскости. На рисунке, но a не перпендикулярна к, в частности a не перпендикулярна к с.

Теорема 4. Через точку, которая не принадлежит данной плоскости, можно провести прямую, перпендикулярную данной плоскости, и только ? одну. Теорема 5. Через данную точку плоскости можно провести одну, и только одну, перпендикулярную к ней прямую. Теорема 6. Через данную точку прямой можно провести одну, и только одну, перпендикулярную к ней плоскость. Теорема 7. Через точку, не лежащую на прямой, можно провести одну, и только одну, плоскость, перпендикулярную данной прямой. Теорема 8. Если плоскость перпендикулярна одной из двух параллельных прямых, то она перпендикулярна и к другой. Теорема 9. Две прямые, перпендикулярные к одной и той же плоскости, параллельны между собой.


3. Перпендикулярность прямых в пространстве

Две прямые в пространстве перпендикулярны между собой, если они соответственно параллельные некоторым другим двум прямым, которые находятся в этом пространстве и прерпендикулярни между собой.

4. Перпендикулярность прямой и плоскости

Прямая называется перпендикулярной плоскости, если она пересекает эту плоскость и перпендикулярна к любой прямой, лежащей в плоскости и проходит через точку пересечения.


Сигма Это незавершенная статья по математики.
Вы можете помочь проекту, исправив и дополнив ее.

Данный текст может содержать ошибки.

скачать

© Надо Знать
написать нам