Надо Знать

добавить знаний



Плоскость



План:


Введение

Плоскость - одно из основных понятий геометрии. При систематическом изложении геометрии понятие плоскости обычно рассматривается как первоначальное, которое лишь косвенно определяется аксиомами геометрии. Уравнение плоскости впервые встречается в А.К.Клеро ( 1731), уравнение плоскости в отрезках, очевидно, впервые встречается в Ламе ( 1816 - 1818), нормальное уравнение ввел ( 1861).


1. Некоторые характерные свойства плоскости

2. Уравнение плоскости

Плоскость - алгебраическая поверхность первого порядка: в декартовой системе координат плоскость может быть задана уравнением первой степени.

  • Общее (полное) уравнение плоскости
Ax + By + Cz + D = 0 \ qquad (1)

где A, B, C и D - Стали, при чем A, B и C все равны нулю в векторной форме:

(\ Mathbf {r}, \ mathbf {N}) + D = 0

где \ Mathbf {r} - Радиус-вектор точки M (x, y, z) , Вектор \ Mathbf {N} = (A, B, C) перпендикулярен плоскости ( нормальный вектор). Направляющие косинусы вектора \ Mathbf {N} :

\ Cos \ alpha = \ frac {A} {\ sqrt {A ^ 2 + B ^ 2 + C ^ 2}},
\ Cos \ beta = \ frac {B} {\ sqrt {A ^ 2 + B ^ 2 + C ^ 2}},
\ Cos \ gamma = \ frac {C} {\ sqrt {A ^ 2 + B ^ 2 + C ^ 2}}.

Если один из коэффициентов в уравнении плоскости равна нулю уравнение называется неполным. При D = 0 плоскость проходит через начало координат, при A = 0 (Или B = 0 , C = 0 ) Плоскость параллельна оси Ox (Соответственно Oy или Oz ). При A = B = 0 ( A = C = 0 , Или B = C = 0 ) Плоскость параллельна плоскости Oxy (Соответственно Oxz или Oyz ).

  • Уравнение плоскости в отрезках:
\ Frac {x} {a} + \ frac {y} {b} + \ frac {z} {c} = 1,

где a =-D / A, b =-D / B, c =-D / C - Отрезки, плоскость отсекает на осях Ox, Oy и Oz .

  • Уравнение плоскости, проходящей через точку M (x_0, y_0, z_0) перпендикулярно вектору \ Mathbf {N} (A, B, C) :
A (x-x_0) + B (y-y_0) + C (z-z_0) = 0;

в векторной форме:

((\ Mathbf {r} - \ mathbf {r_0}), \ mathbf {N}) = 0.
  • Уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки M (x_i, y_i, z_i) , Которые не лежат на одной прямой:
((\ Mathbf {r} - \ mathbf {r_1}) (\ mathbf {r} - \ mathbf {r_2}) (\ mathbf {r} - \ mathbf {r_3})) = 0

(Смешанный произведение векторов), другими словами

\ Left | \ begin {matrix} x-x_1 & y-y_1 & z-z_1 \ \ x_2-x_1 & y_2-y_1 & z_2-z_1 \ \ x_3-x_1 & y_3-y_1 & z_3-z_1 \ \ \ end {matrix} \ right | = 0.
  • Нормальное (нормированное) уравнение плоскости
x \ cos \ alpha + y \ cos \ beta + z \ cos \ gamma - p = 0 \ qquad (2)

в векторной форме:

(\ Mathbf {r}, \ mathbf {N ^ 0}) = 0,

где \ Mathbf {N ^ 0} - единичный вектор, p - Расстояние от плоскости до начала координат. Уравнение (2) можно получить из уравнения (1), умножив его на нормирующий множитель

\ Mu = \ pm \ frac {1} {\ sqrt {A ^ 2 + B ^ 2 + C ^ 2}}

(Знаки \ Mu и D противоположны).


3. Связанные понятия

  • Отклонение точки M_1 (x_1, y_1, z_1) от плоскости
\ Delta = x_1 \ cos \ alpha + y_1 \ cos \ beta + z_1 \ cos \ gamma - p;

\ Delta> 0 , Если M_i и начало координат лежат по разные стороны плоскости, в противном случае \ Delta <0 . Расстояние от точки до плоскости равно | \ Delta |.

  • Угол между плоскостями Если уравнение плоскости заданы в виде (1), то
\ Cos \ varphi = \ frac {A_1A_2 + B_1B_2 + C_1C_2} {\ sqrt {(A_1 ^ 2 + B_1 ^ 2 + C_1 ^ 2) (A_2 ^ 2 + B_2 ^ 2 + C_2 ^ 2)}};

Если в векторной форме, то

\ Cos \ varphi = \ frac {(\ mathbf {N_1} \ mathbf {N_2})} {| \ mathbf {N_1} | | \ mathbf {N_2} |}.
\ Frac {A_1} {A_2} = \ frac {B_1} {B_2} = \ frac {C_1} {C_2} или [\ Mathbf {N_1} \ mathbf {N_2}] = 0.
A_1A_2 + B_1B_2 + C_1C_2 = 0 или (\ Mathbf {N_1} \ mathbf {N_2}) = 0 .
  • Пучок плоскостей - уравнение произвольной плоскости, проходящей через линию пересечения двух плоскостей
\ Alpha (A_1x + B_1y + C_1z) + \ beta (A_2x + B_2y + C_2z) = 0,

где \ Alpha и \ Beta - Произвольные числа, не одновременно равны нулю.


Литература

  • Ильин В. А., Позняк Э.. Г. Аналитическая геометрия М.: Физматлит / 2002 г., 240с.
Nuvola apps edu mathematics blue-p.svg
В Википедии есть портал

Данный текст может содержать ошибки.

скачать

© Надо Знать
написать нам