Надо Знать

добавить знаний



Площадь



План:


Введение

Прямоугольник 5x4 имеет площадь 20

Площадь - величина, определяющая размер поверхности, одно из основных свойств геометрических фигур. Исторически, вычисление площади называлось квадратурой. Фигура, имеет площадь, называется квадрованою. Площадь несложных геометрических фигур определяют, подсчитывая количество единичных квадратов, которыми фигуры можно покрыть.

Площадь принято обозначать большой латинской буквой S, в англоязычной литературе - буквой A от англ. area .


1. Формальное определение

Площадью планиметрии может назваться любая величина, которая удовлетворяет условиям:

  • она положительно-определенная (т.е. не меньше нуля)
  • она аддитивная (площадь объединения двух фигур, которые не пересекаются, есть сумма площадей двух фигур)
  • в конгруэнтных фигур она одинакова
  • для квадрата со стороной 1 она принимается равной 1.

Для фигур на плоскости, не склодаються с целого числа единичных квадратов, а также для трехмерных поверхностей, площадь определяется с помощью предельного перехода.


2. Площадь в аналитической геометрии

Аналитическая геометрия позволяет решать геометрические задачи алгебраическими методами, оперируя такими понятиями как система координат, вектор, т.. Плоскость в трехмерном пространстве имеет две поверхности. Площади двух поверхностей обозначаются с противоположными знаками. Поскольку ориентация поверхности задается вектором нормали к ней, то площадь тоже определяют как вектор, коллинеарный нормали к поверхности.

Например, для параллелограмма, побудованоно на векторах \ Mathbf {a} и \ Mathbf {b} площадь определяется как векторное произведение :

\ Mathbf {S} = [\ mathbf {a} \ times \ mathbf {b}] .

При изменении порядка множителей в этой формуле, \ Mathbf {S} меняет знак, что соответствует нормалям до двух разных сторон поверхности. Как произведение двух векторов \ Mathbf {S} есть псевдовекторы - при изменении направления каждого из векторов \ Mathbf {a} и \ Mathbf {b} на противоположный, \ Mathbf {S} направлении не меняет.


3. Площадь в математическом анализе

Площадь между двумя графиками можно найти как разность интегралов соответствующих функций

Математический анализ предоставляет широкие возможности для вычисления площади криволинейных фигур. Понятие интеграла, которое имеет широкое применение и в других областях, имеет простую интерпретацию, как площадь криволинейной фигуры ограниченной подинтегральной функцией, осью абсцисс и двумя прямыми, параллельными оси ординат:

S = \ int_a ^ b f (x) dx .

Поскольку функция f (x) может иметь как дотатни, так и отрицательные значения на интервале [a, b], то интеграл тоже может быть положительным или отрицательным. Для того, чтобы получить площадь фигуры в ее геометрическом смысле нужно интегрировать абсолютной величине функции:

S = \ int_a ^ b | f (x) | dx .

Исходя из этого определения, площадь между двумя графикам функций можно найти как интегралов одной функции, f (x), минус интеграл иной функции, g (x).

S = \ int_a ^ b | f (x) - g (x) | dx .

Площадь криволинейной фигуры, ограниченной функцией r = r (\ varphi) , Выраженной в полярных координатах, определяют по формуле

S = {1 \ over 2} \ int_0 ^ {2 \ pi} r ^ 2 \, d \ varphi .

Площадь ограниченную параметрической кривой \ Mathbf {u} (t) = (x (t), y (t)) с конечными точками \ Mathbf {u} (t_0) = \ mathbf {u} (t_1) находят по теоремой Грина криволинейным интегралом

\ Oint_ {t_0} ^ {t_1} x \ dot y \, dt = - \ oint_ {t_0} ^ {t_1} y \ dot x \, dt = {1 \ over 2} \ oint_ {t_0} ^ {t_1} (x \ dot y - y \ dot x) \, dt

Вместе, эта формула z-координатой векторного произведения:

{1 \ over 2} \ oint_ {t_0} ^ {t_1} \ mathbf {u} \ times \ dot {\ mathbf {u}} \, dt.

В этой формуле точка над \ Mathbf {u} означает производную.

Для поверхности \ Omega в трехмерном пространстве, заданной функцией z = z (x, y) над некоторой областью \ Omega ' (Или \ Omega ' есть проекцией поверхности \ Omega на плоскость xOy [1]):

S = \ iint \ limits_ {\ Omega} d \ Omega = \ iint \ limits_ {\ Omega '} \ sqrt {1 + \ left (\ frac {\ partial z} {\ partial x} \ right) ^ 2 + \ left (\ frac {\ partial z} {\ partial y} \ right) ^ 2} \, dx dy.

4. Полезные уравнения

Area.svg

4.1. Часто уравнение для вычисления площади планиметрических фигур

Фигура Уравнение Переменные
Квадрат s ^ 2 \, \!s - Длина стороны квадрата.
Правильный треугольник \ Frac {\ sqrt {3}} {4} s ^ 2 \, \!s - Длина стороны треугольника.
Правильный шестиугольник \ Frac {3 \ sqrt {3}} {2} s ^ 2 \, \!s - Длина стороны шестиугольника.
Правильный восьмиугольник 2 (1 + \ sqrt {2}) s ^ 2 \, \!s - Длина стороны восьмиугольника
Правильный многоугольник \ Frac {P ^ 2 / n} {4 \ cdot \ tan (\ pi / n)} \, \!P - Периметр, а n - Количество сторон.
Правильный многоугольник (углы в градусах) \ Frac {P ^ 2 / n} {4 \ cdot \ tan (180 ^ \ circ / n)} \, \!P - Периметр, а n - Количество сторон. ага.
Прямоугольный треугольник \ Frac {ab} {2} \, \!a и b - Катеты треугольника.
Произвольный треугольник \ Frac {1} {2} ah \, \!a - Сторона треугольника, h - Высота, проведенная к этой стороне.
\ Frac {1} {2} ab \ sin \ alpha \, \!a , b - Любые две стороны, \ Alpha - Угол между ними.
\ Sqrt {p (p - a) (p - b) (p - c)} \, \! ( формула Герона) a , b , c - Стороны треугольника, p - Полупериметр \ Left (p = \ frac {a + b + c} {2} \ right) .
\ Frac {1} {2} \ begin {vmatrix} x_0 & y_0 & 1 \ \ x_1 & y_1 & 1 \ \ x_2 & y_2 & 1 \ end {vmatrix} в случае обхода вершин треугольника по часовой стрелке получим положительный результат, иначе отрицательный.
Прямоугольник ab \, \!a и b - Длины сторон прямоугольника (его длина и ширина).
Параллелограмм ah \, \!a и h - Длина стороны и опущенной на нее высоты соответственно.
ab \ sin \ alpha \, \!a и b - Соседние стороны параллелограмма, \ Alpha - Угол между ними.
Ромб \ Frac {1} {2} cdc и d - Длины диагоналей ромба.
Эллипс \ Pi ab \, \!a и b - Длины малой и большой полуосей соответственно.
Трапеция \ Frac {1} {2} (a + b) h \, \!a и b - Параллельные стороны и h - Расстояние между ними (высота трапеции).

4.2. Формулы для вычисления площади круга, его частей, описанных и вписанных в круг фигур

Фигура Уравнение Переменные
Круг \ Pi r ^ 2 \, \! или \ Frac {\ pi d ^ 2} {4} \, \!r - Радиус, а d - диаметр круга.
Сектор круга \ Frac {\ alpha r ^ 2} {2} \, \!r - Радиус круга, \ Alpha - Центральный угол сектора (в радианах).
Сегмент круга \ Frac {r ^ 2} {2} (\ alpha - \ sin \ alpha) \, \!r - Радиус круга, \ Alpha - Центральный угол сегмента (в радианах).
Треугольник, вписанный в круг \ Frac {abc} {4R}a , b , c - Стороны треугольника, R - Радиус описанной окружности.
Произвольный многоугольник, описанный вокруг окружности \ Frac {1} {2} Pr \, \!r - Радиус окружности, вписанной в многоугольник, а P - периметр многоугольника.

4.3. Формулы для вычисления площади поверхности тел в пространстве

Тело Уравнение Переменные
Полная площадь поверхности цилиндра 2 \ pi r ^ 2 +2 \ pi r h \, \!r и h - Радиус и высота соответственно.
Площадь боковой поверхности цилиндра 2 \ pi r h \, \!r и h - Радиус и высота соответственно.
Полная площадь конуса \ Pi r (l + r) \, \!r и l - Радиус и высота боковой поверхности соответственно.
Площадь боковой поверхности конуса \ Pi r l \, \!r и l - Радиус и образующая боковой поверхности соответственно.
Площадь поверхности сферы ( шара) 4 \ pi r ^ 2 \, \! или \ Pi d ^ 2 \, \!r и d радиус и диаметр, соответственно.

Приведенные выше формулы предназначены для вычисления площади многих фигур.


5. Единицы измерения

5.1. Метрические единицы


5.2. Британские / американские единицы

См.. также

Nuvola apps edu mathematics blue-p.svg
В Википедии есть портал

6. Сноски

  1. Мышкис А. Д. Лекции по Высшей Математика, 1973.


Сигма Это незавершенная статья математики.
Вы можете помочь проекту, исправив и дополнив ее.

Данный текст может содержать ошибки.

скачать

© Надо Знать
написать нам