Площадь поверхности

Площадь поверхности - площадь заданной поверхности. Грубо говоря, числовой характеристикой "количества" поверхности. Измеряется в квадратных единицах длины.

Вычисления

Если поверхность параметризованных, т.е. задано векторной функцией \ Mathbf {r} (u, v) , Тогда площадь S , Поверхности \ Omega , Вычисляется по формуле: [1]

S = \ iint \ limits_ {\ Omega} dS = \ iint \ limits_ {\ Omega '} | \ mathbf {T} _u \ times \ mathbf {T} _v | du dv ,

где \ Mathbf {T} _u и \ Mathbf {T} _v - Касательные векторы, \ Mathbf {a} \ times \ mathbf {b} - векторное произведение двух векторов.

Другой вид площади параметрически заданной поверхности:

S = \ iint \ limits_ {\ Omega '} \ sqrt {EG-F ^ 2} du dv ,

где E, F, G - Коэффициенты Гаусса, E = \ left (\ mathbf {T} _u, \ mathbf {T} _u \ right), G = \ left (\ mathbf {T} _v, \ mathbf {T} _v \ right), F = \ left (\ mathbf {T} _u, \ mathbf {T} _v \ right) .

Если поверхность \ Omega задано функцией z = z (x, y) над некоторой областью \ Omega ' (Или \ Omega ' есть проекцией поверхности \ Omega на плоскость xOy [2]), тогда

S = \ iint \ limits_ {\ Omega} d \ Omega = \ iint \ limits_ {\ Omega '} \ sqrt {\ left (\ frac {\ partial z} {\ partial x} \ right) ^ 2 + \ left ( \ frac {\ partial z} {\ partial y} \ right) ^ 2 + 1} \, dx dy.