Поверхностный интеграл

Определение поверхностного интеграла опирается на разбитие поверхности на малые элементы

В математике поверхностный интеграл - это определенный интеграл, который берется по поверхности (которая может быть согнутой множеством в пространстве), его можно рассматривать как двойной интегральный аналог линейного интеграла. Учитывая поверхности, можно интегрировать скалярные поля (то есть функции, которые возвращают числа как значения) и векторные поля (то есть функции, которые возвращают векторы как значение).

Поверхностные интегралы имеют применения в физике, в частности в классической теории электромагнетизма.


1. Поверхностные интегралы

Кусок поверхности \! S , Заданный в параметрические форме: \! X = x (u, v) , \! Y = y (u, v) , \! Z = z (u, v) , Причем (u, v) пробегают некоторую область \! \ Gamma плоскости, называется гладким, если различные пары значений \! (U, v) дают разные точки \! S , частные производные функций \! X = x (u, v) , \! Y = y (u, v) , \! Z = z (u, v) непрерывные и всегда

\! A ^ 2 + B ^ 2 + C ^ 2> 0,

A = \ begin {vmatrix} {\ partial y \ over \ partial u} & {\ partial y \ over \ partial v} \ \ {\ partial z \ over \ partial u} & {\ partial z \ over \ partial v } \ \ \ end {vmatrix}

\; B = \ begin {vmatrix} {\ partial z \ over \ partial u} & {\ partial z \ over \ partial v} \ \ {\ partial x \ over \ partial u} & {\ partial x \ over \ partial v} \ \ \ end {vmatrix}

\; C = \ begin {vmatrix} {\ partial x \ over \ partial u} & {\ partial x \ over \ partial v} \ \ {\ partial y \ over \ partial u} & {\ partial y \ over \ partial v} \ \ \ end {vmatrix}

Если поверхность \! S состоит из конечного числа гладких кусков поверхности, то \! S называется кусочно гладкой.

Гладкая поверхность \! S называется двусторонней, если при обходе каждой замкнутой кривой на \! S , Исходя из любой точки \! M_0 на \! S , Возвращаемся в исходное положение с направлением нормали, избранным в \! M_0 . Обе стороны двустороннего поверхности могут быть, таким образом, охарактеризованы направлением соответствующих нормалей. Односторонней поверхностью является, например, лист Мебиуса. Всюду в дальнейшем под поверхностью понимается двусторонняя поверхность.


2. Площадь гладкой поверхности

Пусть поверхность \! S задана параметрически: \! X = x (u, v) , \! Y = y (u, v) , \! Z = z (u, v) , Причем \! U и \! V пробегают некоторую область \! \ Gamma плоскости \! U , \! V . Тогда площадь \! S поверхности определяется поверхностным интегралом

\ Iint_ {\ Gamma} \ sqrt {EG-F ^ 2} \, du \, dv , Где E = {\ left (\ frac {\ partial x} {\ partial u} \ right)} ^ 2 + {\ left (\ frac {\ partial y} {\ partial u} \ right)} ^ 2 + {\ left (\ frac {\ partial z} {\ partial u} \ right)} ^ 2

F = {\ partial x \ over \ partial u} {\ partial x \ over \ partial v} + {\ partial y \ over \ partial u} {\ partial y \ over \ partial v} + {\ partial z \ over \ partial u} {\ partial z \ over \ partial v}

G = {\ left (\ frac {\ partial x} {\ partial v} \ right)} ^ 2 + {\ left (\ frac {\ partial y} {\ partial v} \ right)} ^ 2 + {\ left (\ frac {\ partial z} {\ partial v} \ right)} ^ 2 ;

подынтегральная выражение

dS = \ sqrt {EG-F ^ 2} dudv

называется элементом поверхности.

Если \! S задана явно уравнением \! Z = \ phi (x, y) , Причем \! (X, y) пробегают область \! S ' (Проекцию области \! S на плоскость x0y), то:

S = \ iint_ {\ S \ prime} \ sqrt {1 + p ^ 2 + q ^ 2} \, dx \, dy ,

где

p = {\ partial z \ over \ partial x} , q = {\ partial z \ over \ partial y}

3. Поверхностные интегралы 1-го и 2-го рода

3.1. Поверхностные интегралы 1-го рода

Рис. 1

Определение поверхностного интеграла 1-го рода.

Пусть некоторая функция \! F (x, y, z) определена и ограничена на гладкой поверхности \! S . Пусть \! Z обозначает некоторое разбиение \! S на конечное число элементарных поверхностей \! S_i (I = 1, 2 .... и) с площадями \! \ Delta S_i , \! \ Delta (Z) является наибольшим диаметром элементарных поверхностей \! S_i и \! M_i = (x_i, y_i, z_i) - Произвольная точка на соответствующей элементарной поверхности (рис. 1). Число

\! S (Z) = \ sum_ {i = 1} ^ N {f (x_i, y_i, z_i) \ Delta S_i}

называется интегральной суммой, соответствующей разбиению \! Z . Если существует число \! I с таким свойством: для каждого \! \ Epsilon> 0 найдется такое \! \ Delta (\ epsilon)> 0 , Что для каждого разбиения \! Z с \! \ Delta (Z) <\ delta , Независимо от выбора точек \! M_i\! | S (Z) - I | <\ delta , То \! I называется поверхностным интегралом 1-го рода от \! F (x, y, z) по поверхности \! S и записывается

\! I = \ iint_ {S} f (x, y, z) \ ds

Для частного случая подынтегральная выражения \! F (x, y, z) \ equiv 1

число \! I дает площадь \! S поверхности \! S .

Вычисления (сведение к двойного интеграла): если поверхность задана параметрически:

\! X = x (u, v) , \! Y = y (u, v) , \! Z = z (u, v) ,

причем \! U и \! V пробегают область \! \ Gamma плоскости \! U , \! V

\! I = \ iint_ {S} f (x, y, z) \ ds = \ iint_ {\ Gamma} f (x (u, v), y (u, v), z (u, v)) \ sqrt {EG-F ^ 2} \, du dv

Если поверхность задана явно уравнением \! Z = \ phi (x, y) причем \! (X, y) пробегают область \! S ' , То

\! I = \ iint_ {S} f (x, y, z) \ ds = \ iint_ {S '} f (x, y, \ phi (x, y)) \ sqrt {1 + p ^ 2 + q ^ 2} \ dx dy

Аналогичные формулы верны, если \! S представлена ​​уравнениями вида \! X = \ psi (y, z) или \! Y = \ chi (x, z)


3.2. Поверхностные интегралы 2-го рода

Рис. 2

Ориентация двусторонней незамкнутой поверхности: выбирается определенная сторона поверхности \! S , На каждой замкнутой кривой на \! S определяется положительный направление обхода так, что он вместе с нормалью выбранной стороны образовывал правую тройку векторов.

Пусть в точках поверхности \! S , Расположенной однозначно над плоскостью \! X, y и заданной явно уравнением \! Z = \ phi (x, y) , Определена ограничена функцией \! F (x, y, z) . Пусть \! Z является разбиение поверхности \! S на конечное число элементарных поверхностей \! S_i , \! (I = 1, 2, .... n) , \! \ Delta {Z} - Наибольший диаметр элементарных поверхностей, \! M_i = (x_i, y_i, z_i) - Произвольная точка, выбранная на элементарной поверхности \! S_i . Если выбрана определенная сторона поверхности и тем самым ориентация по ней, то направление обхода границы каждой элементарной поверхности \! S_i определяет направление обхода в плоскости \! X, y , У границы проекции \! S'_i . Площадь \! \ Delta S'_i этой проекции берется со знаком "+", если граница проекции \! S'_i проходится в положительном направлении; иначе - со знаком "-" (Рис. 2).

Число

\! S (Z) = \ sum_ {i = 1} ^ N f (x_i, y_i, z_i) \ Delta S'_i

называется интегральной суммой, соответствующей разбиению \! Z . В противоположность образованию интегральных сумм поверхностных интегралов 1-го рода, здесь \! F (M_i) умножается не на площадь \! \ Delta S'_i (Элементарной поверхности \! S_i а на взятую со знаком площадь \! \ Delta S'_i проекции \! S'_i поверхности \! S_i на плоскость \! X, y .

Если существует число \! I с таким свойством: для каждого \! \ Epsilon> 0 найдется такое \! \ Delta (\ epsilon)> 0 , Что для каждого разбиения \! Z с \! \ Delta (Z) <\ delta , Независимо от выбора точек \! M_i , Всегда | \! | S (Z)-I | <\ epsilon , То \! I называют поверхностным интегралом 2-го рода от

\! F (x, y, z) по выбранной стороной \! S и пишут

\! \ Iint_ {S} f (x, y, z) \ dx \; dy

Если \! S не имеет взаимно однозначного проекции на плоскость \! X, y , Но ее можно разбить на конечное число поверхностей, для каждой из которых существует такая проекция, то поверхностный интеграл по \! S определяется как сумма интегралов по отдельным поверхностях.

Если \! S имеет однозначную проекцию на плоскость \! Y, z или \! X, z , То можно определить аналогично два других поверхностных интеграла 2-го рода

\! \ Iint_ {S} f (x, y, z) \ dy dz

\! \ Iint_ {S} f (x, y, z) \ dz dx

где в соответствующих интегральных суммах стоят площади проекций \! S_i на плоскость \! Y, z или \! X, z .

Наконец, для трех функций \! P (x, y, z) , \! Q (x, y, z) , \! R (x, y, z) , Определенных на \! S , Эти интегралы можно добавить и определить более общий поверхностный интеграл второго рода:


\! \ Iint_ {S} P \; dy \; dz + Q \; dz \; dx + R \; dz \; dy = \ iint_ {S} P \; dy \; dz + \ iint_ {S} Q \; dz \; dx + \ iint_ {S} R \; dx \; dy


3.2.1. Вычисление поверхностного интеграла 2-го рода (сведение к двойного интеграла)

1. Пусть поверхность \! S имеет явное представление \! Z = \ phi (x, y) , Причем \! (X, y) изменяются в области \! S ' . Тогда поверхностный интеграл по той стороне \! S , Для которой угол между нормалью и осью \! Z является острым, вычисляется так:

\! \ Iint_ {S} f (x, y, z) dx dy = - \ iint_ {S '} f (x, y, \ phi (x, y))

Если выбрана другая сторона поверхности, то

\! \ Iint_ {S} f (x, y, z) dx dy = \ iint_ {S} f (x, y, \ phi (x, y))

Аналогичные формулы получаются для других интегралов:

\! \ Iint_ {S} f (x, y, z) dy dz = - \ iint_ {S '} f (\ psi (y, z), y, z)

где \! S задана уравнением \! X = \ psi (y, z) , \! S ' - Проекция \! S на плоскость \! Y, z , А поверхностный интеграл берется по той стороне, нормаль к которой образует с осью \! X острый угол. Так же

\! \ Iint_ {S} f (x, y, z) dz dx = - \ iint_ {S '} f (x, \ chi (z, x), y) dz dx

где \! S задана уравнением \! Y = \ chi (z, x) , \! S ' проекция \! S на плоскость \! X, z , А поверхностный интеграл берется по той стороне, нормаль к которой составляет с осью в острый угол.

2. Если поверхность \! S задана в параметрической форме: \! X = x (u, v) , \! Y = y (u, v) , \! Z = z (u, v) , То

\! \ Iint_ {S} f (x, y, z) dx dy = \ pm \ iint_ {\ Gamma} f (x (u, v), y (u, v), z (u, v)) C \; du \; dv

\! \ Iint_ {S} f (x, y, z) dy dz = \ pm \ iint_ {\ Gamma} f (x (u, v), y (u, v), z (u, v)) A \; du \; dv

\! \ Iint_ {S} f (x, y, z) dz dx = \ pm \ iint_ {\ Gamma} f (x (u, v), y (u, v), z (u, v)) B \; du \; dv

где

\! A = {\ partial (y, z) \ over \ partial (u, v)}

\! B = {\ partial (z, x) \ over \ partial (u, v)}

\! C = {\ partial (x, y) \ over \ partial (u, v)}

смотри уравнение вверху, положительный знак перед интегралом дело используется тогда, когда ориентация области \! \ Gamma плоскости \! U, v соответствует ориентации выбранной стороны. Для суммы трех интегралов получаем

\! \ Iint_ {S} P \; dy \; dz + Q \; dz \; dx + R \; dz \; dy = \ pm \ iint_ {\ Gamma} (PA + QB + RC) \; du \; dv


3.3. Связь между поверхностными интегралами 1-го и 2-го рода

Если \! \ Alpha , \! \ Beta , \! \ Gamma - Углы нормали к выбранной стороны поверхности с осями \! X, y и \! Z , То

\! \ Iint_ {S} {P \; dy \; dz + Q \; dz \; dx + R} \; dz \; dy = \ pm {\ iint_ {S} {(P \; \ cos \ alpha + Q \ ; \ cos \ beta P \; + R \ cos \ gamma} \; dS}

есть поверхностный интеграл 2-го рода, стоит слева, превратится в поверхностный интеграл 1-го рода, обстоит дело.

Рис. 3

Поверхностный интеграл

\! \ Iint_ {S} P \; dy \; dz + Q \; dz \; dx + R \; dz \; dy

имеет для разных незамкнутых поверхностей \! S_1 и \! S_2 с одной и той же границей \! C в общем случае разные значения (рис. 3), то есть он в общем случае не вращается в нуль на замкнутой поверхности (аналогично зависимости от пути криволинейного интеграла). Если функции

\! P, Q, R, {\ partial P \ over \ partial x}, {\ partial Q \ over \ partial y}, {\ partial R \ over \ partial z}

непрерывные в односвязна пространственной области \! V (Т.е. в области, которая вместе с каждой замкнутой поверхностью содержит также и область, ограниченную этой поверхностью), то поверхностный интеграл по всякой замкнутой поверхности \! S в \! V вращается в нуль тогда и только тогда, когда

\! {\ Partial P \ over \ partial x} + {\ partial Q \ over \ partial y} + {\ partial R \ over \ partial z} = 0


4. Геометрические и физические применения поверхностного интеграла

4.1. Объем тела

Объем \! V тела ( \! V ), Ограниченного кусочно гладкими поверхностями \! S , Можно разными способами вычислить как поверхностный интеграл второго рода:

\! V = \ iint_ {S} z \; dx \; dy

или

\! V = \ iint_ {S} x \; dy \; dz

или

\! V = \ iint_ {S} y \; dz \; dx


или

\! V = {1 \ over 3} \ iint_ {S} x \; dy \; dz + y \; dz \; dx + z \; dx \; dy

при этом интегралы следует брать по внешней стороне поверхности \! S .


4.2. Центр тяжести и сила притяжения

Если поверхность \! S покрыта массой с поверхностной плотностью \! \ Delta (x, y, z) , То полная масса поверхности \! S равна

\! M = \ iint_ {S} \ delta (x, y, z) \; dS

координаты \! (\ Xi, \ eta, \ zeta) центра тяжести равны

\! \ Xi = {1 \ over M} \ iint_ {S} x \ delta (x, y, z) \; dS

\! \ Eta = {1 \ over M} \ iint_ {S} y \ delta (x, y, z) \; dS

\! \ Zeta = {1 \ over M} \ iint_ {S} z \ delta (x, y, z) \; dS

компоненты силы притяжения \! F этого распределения массы, действующей на материальную точку \! M = (x_0, y_0, z_0) единичной массы, равны

\! F_x = \ gamma \ iint_ {S} {{x-x_0} \ over r ^ 3} \; dS

\! F_y = \ gamma \ iint_ {S} {{y-y_0} \ over r ^ 3} \; dS

\! F_z = \ gamma \ iint_ {S} {{z-z_0} \ over r ^ 3} \; dS

\! \ Gamma = const


5. Смотрите также

Nuvola apps edu mathematics blue-p.svg
В Википедии есть портал
  • Интегральное исчисление.

Источники

  • Бронштейн И. Н., Семендяев К. А. Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов. - М.: Наука, 1980. - 976 с., Ил.


Сигма Это незавершенная статья по математики.
Вы можете помочь проекту, исправив и дополнив ее.