Подмножество

A - подмножество B

Если X и Y - множества и любой элемент из X является элементом из Y, то говорят, что:

  • X является подмножеством (частью) Y, обозначение - XY;
  • Y - над множество (охватывающая множество) X, обозначение - YX.


Каждая множество Y является подмножеством самого себя. Подмножество Y, которая не совпадает с Y называется точной подмножеством (или правильной или собственной частью множества) Y. Если X - точная подмножество Y, то этот факт записывается как XY. Отношение "быть подмножеством" называется включения.


1. Варианты обозначений

Существуют две системы обозначений отношений включения Предыдущая система использует символ "⊂" для обозначения любого подмножества, и символ "⊊" для обозначения точного подмножества. Новая система использует "⊆" для обозначения любого подмножества, и "⊂" для обозначения точного подмножества.

2. Собственная подмножество

С определения прямо следует, что пустое множество должна быть подмножеством любой множества. Также, очевидно, любое множество является своей пидножиною:

\ Varnothing \ subset B, \; B \ subset B \ quad \ forall B .

Если A \ subset B , И A \ ne \ varnothing , A \ ne B , То A называется собственной или нетривиальной опилками.


3. Примеры

4. Свойства

УТВЕРЖДЕНИЕ 1: Пустое множество является подмножеством всякого множества.

Доказательство: Для произвольной множества A нужно доказать, что ∅ является подмножеством A. Это равносильно тому, чтобы показать, что все елементиТ ∅ также элементами A. Но в ∅ не существует ни одного элемента.

Поясним: благодаря тому, что в ∅ нет элементов, "они" не могут быть ничьими элементами. Поэтому для доказательства обратного, ∅ не является подмножеством A, нам нужно было бы найти такой элемент ∅, который не является одновременно элементом A. Таких элементов не существует (их не существует вообще), поэтому утверждение 1 справедливо.

УТВЕРЖДЕНИЕ 2: Если A, B и C являются множества, тогда справедливы следующие свойства отношения включения:

рефлексивность :
  • AA
антисиметричнисть :
  • AB и BA тогда и только тогда, когда A = B
транзитивность :
  • Если AB и BC то AC

Это утверждение говорит о том, что множество X является алгебраической структурой, или решеткой, и если она дистрибутивная (что показано в утверждении 1) и для каждого элемента существует его дополнения, то такая структура называется булевой алгебры.

УТВЕРЖДЕНИЕ 3: Если A, B и C - подмножества S, то выполняется следующее:

существование верхней границы и нижней границы:
  • ? ⊆ AS
существование связей :
  • AAB
  • Если AC и BC то ABC
существование сечения :
  • ABA
  • Если CA и CB то CAB

УТВЕРЖДЕНИЕ 4: Для любых множеств A и B, такие утверждения эквивалентны:

  • AB
  • AB = A
  • AB = B
  • A - B = ?
  • B CA C