Надо Знать

добавить знаний



Полярная система координат



План:


Введение

Полярная сетка на которой отложено несколько углов с пометками в градусах.

Полярная система координат - двумерная система координат, в которой каждая точка на плоскости определяется двумя числами - углом и расстоянием. Полярная система координат особенно полезна в случаях, когда отношения между точками проще изобразить в виде расстояний и углов в распространенном, Декартовой, или прямоугольной системе координат, такие отношения можно установить только путем применения тригонометрических уравнений.

Полярная система координат задается лучом, который называют нулевым или полярной осью. Точка, из которой выходит этот луч называется началом координат или полюсом. Любая другая точка на плоскости определяется двумя полярными координатами: радиальной и угловой. Радиальная координата (обычно обозначается r ) Соответствует расстоянию от точки до начала координат. Угловая координата, также называется полярным углом или азимутом и обозначается φ, равен углу, на который нужно повернуть против часовой стрелки полярную ось для того, чтобы попасть в эту точку. [1]

Определенная таким образом радиальная координата может принимать значения от нуля до бесконечности, а угловая координата изменяется в пределах от 0 ? до 360 ?. Однако, для удобства область значений полярной координаты можно расширить за пределы полного угла, а также позволить ему принимать отрицательные значения, что отвечать поворота полярной оси по часовой стрелке.


1. История

Понятие угла и радиуса были известны еще в первом тысячелетии до н. е. Греческий астроном Гиппарх (190-120 гг. н.э.) создал таблицу, в которой для разных углов приводились длины хорд. Существуют свидетельства о применении им полярных координат для определения положения небесных тел. [2] Архимед в своем произведении Спирали, описывает спираль Архимеда, функцию, радиус которой зависит от угла. Работы греческих исследователей, однако, не развились в целостное определение системы координат.

В 9-том веке персидский математик Хабас аль-Хасиб аль-Марвази применял методы картографических проекций и сферической тригонометрии для преобразования полярных координат в другую систему координат с центром в некоторой точке на сфере, в этом случае, для определения Киблы - направления на Мекку. [3] Персидский географ Абу Райхан Бируни (973-1048) выдвинул идеи, которые выглядят как описание полярной системы координат. [4] Он был первым, кто, ​​примерно в 1025 году, описал полярную экви-азимутальной еквидистанцийну проекцию небесной сферы. [5]

Существуют разные версии о введении полярных координат в качестве формальной системы координат. Полную историю возникновения и исследование описано в труде профессора Гарварда Джулиан Лоувел Кулидж Происхождение полярных координат. [6] Грегуар де Сен-Венсан и Бонавентура Кавальери независимо друг от друга пришли к похожей концепции в середине 17-го века. Сен-Венсан описал полярную систему в личных заметках о 1625 году, напечатав свои работы в 1647, а Кавальери напечатал свои работы в 1635 году, и исправленную версию в 1653 году. Кавельери применял полярные координаты для вычисления площади, ограниченной спирали Архимеда. Блез Паскаль впоследствии использовал полярные координаты для вычисления длин параболических дуг.

В книге Методы Флукций (написанный 1671, напечатанной в 1736), сэр Исаак Ньютон исследовал преобразование между полярными координатами, которые он обозначал как "Седьмой способ; Для спиралей" ( англ. Seventh Manner; For Spirals ) И девятью другими системами координат. [7] В статье, опубликованной в 1691 году в журнале Acta Eruditorum, Якоб Бернулли использовал систему с точкой на прямой, которые он назвал полюсом и полярной осью, соответственно. Координаты задавались как расстояние от полюса и угол от полярной оси. Работа Бернулли была посвящена проблеме нахождения радиуса кривизны кривых, определенных в этой системе координат.

Введение термина полярные координаты приписывают Грегорио Фонтана. В 18-м веке он входил в лексикон итальянских авторов. В английский язык термин попал через перевод трактата Сильвестра Лакруа Дифференциальное и интегральное исчисление, выполненного в 1816 году Джорджем Пикок. [8] [9] Для трехмерного пространства полярные координаты впервые предложил Алекси Клеро, а Леонард Эйлер был первым, кто разработал соответствующую систему. [6]


2. Графическое представление

Точка в полярной системе координат.

Каждая точка в полярной системе координат может быть определена двумя полярными координатами, обычно имеют название r (Радиальная координата) и φ (угловая координата, полярный угол, азимут, иногда пишут θ или t). Координата r соответствует расстоянию до полюса, а координата φ равен углу в против часовой направлении от луча через 0 ? (иногда называется полярной осью). [1]

Например, точка с координатами (3, 60 ?) будет выглядеть на графике как точка на луче, который лежит под углом 60 ? к полярной оси, на расстоянии 3 единиц от полюса. Точка с координатами (-3, 240 ?) будет нарисована на том же месте, поскольку отрицательная расстояние изображается в положительную в противоположном направлении (на 180 ?).

Одной из важных особенностей полярной системы координат является то, что одна и та же точка может быть представлена ​​бесконечным количеством способов. Это происходит потому, что для определения азимута точки нужно повернуть полярную ось таким образом, чтобы он указывал на точку. Но направление на точку не изменится, если осуществить произвольное число дополнительных полных оборотов. В общем случае точка ( r , Φ) может быть представлена ​​в виде ( r , Φ ? n ? 360 ?) или (- r , Φ ? (2 n + 1) 180 ?), где n - Произвольное целое число. [10]

Для обозначения полюса используют координаты (0, φ). Независимо от координаты φ точка с нулевой расстоянием от полюса всегда находиться на нем. [11] Для получения однозначных координат точки, обычно следует ограничить значение расстояния до невидьемених значений r ≥ 0 а угол φ в интервал [0, 360 ?) или (-180 ?, 180 ?] (в радианах [0, 2π) или (-π, π]). [12]

Углы в полярных координатах задаются либо в градусах, или в радианах, при этом 2 П RAD = 360 ?. Выбор, как правило, зависит от области применения. В навигации традиционно используют градуса, в то время как в некоторых разделах физики, и почти во всех разделах математики используют радианы. [13]


2.1. Связь между декартовыми и полярными координатами

Пару полярных координат r и φ можно перевести в Декартовы координаты x и y путем применения тригонометрических фукнций синуса и косинуса:

x = r \ cos \ varphi \,
y = r \ sin \ varphi, \,

в то время как две декартовы координаты x и y могут быть переведены в полярную координату r :

r 2 = y ^ 2 + x ^ 2 \, (За теоремой Пифагора).

Для определения угловой координаты φ, следует принять во внимание два следующие соображения:

  • Для r = 0, φ может быть произвольным действительным числом.
  • Для r ≠ 0, чтобы получить уникальное значение φ, следует ограничиться интервалом в 2π. Обычно выбирают интервал [0, 2π) или (-π, π].

Для вычисления φ в интервале [0, 2π), можно воспользоваться такими уравнениями ( \ Text {arctg} \; обозначает обратную функцию к тангенсу):

\ Varphi = \ begin {cases} \ text {arctg} \; (\ frac {y} {x}) & x> 0, \ quad y \ ge 0 \ \ \ text {arctg} \; (\ frac {y } {x}) + 2 \ pi & x> 0, \ quad y <0 \ \ \ text {arctg} \; (\ frac {y} {x}) + \ pi & x <0 \ \ \ frac { \ pi} {2} & x = 0, \ quad y> 0 \ \ \ frac {3 \ pi} {2} & x = 0, \ quad y <0 \ end {cases}

Для вычисления φ в интервале (-π, π], можно воспользоваться такими уравнениями: [14]

\ Varphi = \ begin {cases} \ text {arctg} \; (\ frac {y} {x}) & x> 0 \ \ \ text {arctg} \; (\ frac {y} {x}) + \ pi & x <0, \ quad y \ ge 0 \ \ \ text {arctg} \; (\ frac {y} {x}) - \ pi & x <0, \ quad y <0 \ \ \ frac {\ pi} {2} & x = 0, \ quad y> 0 \ \ - \ frac {\ pi} {2} & x = 0, \ quad y <0 \ end {cases}

Несмотря на то, что для вычисления полярного угла недостаточно знать отношение y к x, а еще и дополнительно знаки одного из этих чисел, многие современные языков программирования имеют среди своих функций кроме фукнция atan, которая определяет арктангенс числа, еще и дополнительную функцию atan2, которая имеет отдельные аргументы для числителя и знаменателю. В языках программирования поддерживающих необязательные аргументы (например, в Common Lisp), функция atan может получать значение координаты x.


3. Уравнения кривых в полярных координатах

Благодаря радиальной природе полярной системы координат, некоторые кривые могут быть достаточно просто описаны полярным уравнением, тогда как уравнение в декартовой системе координат были бы намного сложнее. Среди самых известных кривых можно назвать полярную розу, спираль Архимеда, Лемниската, улитка Паскаля и кардиоида.

3.1. Круг

Круг заданное уравнением r (Φ) = 1

Общее уравнение окружности с центром в ( r_0, \ theta ) И радиусом a имеет вид:

r ^ 2 - 2 r r_0 \ cos (\ varphi - \ theta) + r_0 2 = a ^ 2. \,

Это уравнение может быть упрощено для отдельных случаев, например

r (\ varphi) = a \,

является уравнением, определяющим круг с центром в полюсе и радиусом a . [15]


3.2. Прямая

Радиальные прямые (те, что проходят через полюс) определяются уравнением

\ Varphi = \ theta \, ,

где θ - угол, на который прямая отклоняется от полярной оси, то есть, θ = arctg m где m - Наклон прямой в декартовой системе координат. Нерадиальными прямая, перпендикулярно пересекает радиальную прямую φ = θ в точке ( r 0, θ) определяется уравнением

r (\ varphi) = {r_0} \ sec (\ varphi-\ theta). \,

3.3. Полярная роза

Полярная роза задана уравнением r (Φ) = 2 sin 4φ.

Полярная роза - известная математическая кривая, похожая на цветок с лепестками. Она может быть определена простым уравнением в полярных координатах:

r (\ varphi) = a \ cos (k \ varphi + \ theta_0) \,

для произвольной постоянной \ Theta_0 (Включая 0). Если k - целое число, то это уравнение определять розу с k лепестками для нечетных k, или с 2 k лепестками для четных k. Если k - рациональное, но не целое, график заданный уравнением образует фигуру подобную розы, но лепестки будут перекрываться. Розы из 2, 6, 10, 14 и т. д. лепестками этим уравнением определить невозможно. Переменная a определяет длину лепестков.



3.4. Спираль Архимеда

Одна из ветвей спирали Архимеда что задается уравнением r (φ) = φ для 0 <θ <6π

Известная спираль Архимеда названа в честь ее изобретателя, давногрецького математика Архимеда. Эту спираль можно определить с помощью простого полярного уравнения

r (\ varphi) = a + b \ varphi. \,

Изменения параметра a приводят к повороту спирали, а параметру b - расстояния между витками, которая является константой для конкретной спирали. Сприаль Архимеда имеет две ветви, одну для φ> 0 а другую φ <0. Две ветви плавно соединяются в полюсе. Зеркальное отражение одной ветви относительно прямой проходящей через угол 90 ? / 270 ? даст другую ветку. Эта кривая интересна тем, что была описана в математической литературе одним из первых, после конического сечения, и лучше среди других определяется именно полярным уравнением.



3.5. Конические сечения

Эллипс.

Коническое сечение, один из полюсов которого находится в полюсе, а другой где-то на полярной оси (так, что малая полуось лежит вдоль полярной оси) задается уравнением:

r = {\ ell \ over {1 + e \ cos \ varphi}}

где e - эксцентриситет, а \ Ell - Фокальный параметр. Если e> 1, это уравнение определяет гиперболу : если e = 1, то параболу : если e <1, то эллипс. Частным случаем является e = 0, определяет круг с радиусом \ Ell .


4. Комплексные числа

Пример комплексного числа z нанесенного на комплексную плоскость.
Пример комплексного числа нанесенного на график с использованием формулы Эйлера.

Каждое комплексное число может быть представлено точкой на комплексной плоскости, и, соответственно, эта точка может определяться в декартовых координатах (прямоугольная или декартова форма), или в полярных координатах (полярная форма). Комплексное число z может быть записано в прямоугольной форме как:

z = x + iy \,

где i - мнимая единица, или в полярной (см. формулы преобразования между системами координат выше)

z = r \ cdot (\ cos \ varphi + i \ sin \ varphi)

и отсюда, как:

z = re ^ {i \ varphi} \,

где e - число Эйлера. Благодаря формуле Эйлера, оба представления эквивалентны. [16] (Следует отметить, что в этой формуле, подобно другим формул, содержащих возведение в степень углов, угол φ задано в радианах.)

Для перехода между прямоугольным и полярным представлением комплексных чисел, могут использоваться приведенные выше формулы преобразования между системами координат.

Операции умножения, деления и возведение в степень с комплексными числами, обычно, проще проводить в полярной форме. Согласно правилам возведения в степень:

  • Умножения:
r_0 e ^ {i \ varphi_0} \ cdot r_1 e ^ {i \ varphi_1} = r_0 r_1 e ^ {i (\ varphi_0 + \ varphi_1)} \,
  • Деление:
\ Frac {r_0 e ^ {i \ varphi_0}} {r_1 e ^ {i \ varphi_1}} = \ frac {r_0} {r_1} e ^ {i (\ varphi_0 - \ varphi_1)} \,
(Re ^ {i \ varphi}) ^ n = r ^ ne ^ {in \ varphi} \,

5. В математическом анализе

Операции математического анализа также можно сформулировать, используя полярные координаты. [17] [18]


5.1. Дифференциальное исчисление

Справедливы следующие формулы:

r \ tfrac {\ partial} {\ partial r} = x \ tfrac {\ partial} {\ partial x} + y \ tfrac {\ partial} {\ partial y} \,
\ Tfrac {\ partial} {\ partial \ varphi} =-y \ tfrac {\ partial} {\ partial x} + x \ tfrac {\ partial} {\ partial y}.

Чтобы найти тангенс угла наклона касательной к любой данной точки полярной кривой r (φ) в декартовых координатах, выразим их через систему уравнений в параметрическом виде:

x = r (\ varphi) \ cos \ varphi \,
y = r (\ varphi) \ sin \ varphi \,

Диференцюючы оба уравнения по φ получим:

\ Frac {dx} {d \ varphi} = r
\ Frac {dy} {d \ varphi} = r

Разделив эти уравнения (второе на первое), получим искомый тангенс угла наклона касательной в декартовой системе координат в точке (r, r (φ)):


5.2. Интегральное исчисление

Область R, которая образована полярной кривой r (φ) и лучами φ = a и φ = b.

Пусть R - область, которую образуют полярная кривая r (φ) и лучи φ = a и φ = b, где 0 - a <2π. Тогда площадь этой области находится определенным интегралом :

\ Frac12 \ int_a ^ b \ left [r (\ varphi) \ right] ^ 2 \, d \ varphi.
Область R ближних образована из n секторов (здесь, n = 5).

Такой результат можно получить следующим образом. Сначала разобьем интервал [a, b] на произвольное число пидинтервалив n. Таким образом длина такого пидинтервалу Δφ равна b - a (полная длина интервала) разделена на n (число пидинтервалив). Пусть для каждого пидинтервалу i = 1, 2, ..., n φ i - средняя точка. Построим сектора с центром в полюсе, радиусами ri), центральными углами Δφ и длиной дуг r (\ varphi_i) \ Delta \ varphi \, . Поэтому площадь каждого такого сектора будет \ Tfrac12r (\ varphi_i) ^ 2 \ Delta \ varphi . Отсюда, полная площадь всех секторов:

\ Sum_ {i = 1} ^ n \ tfrac12r (\ varphi_i) ^ 2 \, \ Delta \ varphi.

Если число пидинтервалив n увеличивать, то погрешность такого приближенного выражения будет уменьшаться. Положив n → ∞, вищеотримана сумма станет интегральной. Предел этой суммы при Δφ → 0 определяет вышеописанный интеграл :

\ Lim_ {\ Delta \ varphi \ rightarrow 0} \ sum_ {i = 1} ^ \ infty \ tfrac12r (\ varphi_i) ^ 2 \, \ Delta \ varphi = \ frac12 \ int_a ^ b \ left [r (\ varphi) \ right] ^ 2 \, d \ varphi

5.2.1. Обобщение

Используя декартовы координаты, площадь бесконечно малого элемента может быть вычислена как dA = dx dy. При переходе к другой системе координат в многократных интегралах, необходимо использовать определитель Якоби :

J = \ det \ frac {\ partial (x, y)} {\ partial (r, \ varphi)} = \ begin {vmatrix} \ frac {\ partial x} {\ partial r} & \ frac {\ partial x } {\ partial \ varphi} \ \ \ frac {\ partial y} {\ partial r} & \ frac {\ partial y} {\ partial \ varphi} \ end {vmatrix}

Для полярной системы координат, определитель матрицы Якоби равен r:

J = \ begin {vmatrix} \ cos \ varphi &-r \ sin \ varphi \ \ \ sin \ varphi & r \ cos \ varphi \ end {vmatrix} = r \ cos ^ 2 \ varphi + r \ sin ^ 2 \ varphi = r.

Следовательно, площадь элемента в полярных координатах можно записать так:

dA = J \, dr \, d \ varphi = r \, dr \, d \ varphi.

Теперь, функция, записанная в полярных координатах, может быть интегрированной следующим образом:

\ Iint_R f (r, \ varphi) \, dA = \ int_a ^ b \ int_0 ^ {r (\ varphi)} f (r, \ varphi) \, r \, dr \, d \ varphi.

Здесь область R такая же, как и в предыдущем разделе, есть такая, которую образуют полярная кривая r (φ) и лучи φ = a и φ = b.

Формула для вычисления площади, которая описана в предыдущем разделе, получена в случае f = 1. Интересным результатом применения формулы для многократных интегралов есть интеграл Гаусса:

\ Int_ {- \ infty} ^ \ infty e ^ {-x ^ 2} \, dx = \ sqrt \ pi.

5.3. Векторный анализ

К полярным координатам можно применить элементы векторного анализа. Любое векторное поле \ Mathbf {F} можно записать в полярной системе координат, используя единичные векторы

\ Mathbf {e} _r = (\ cos \ varphi, \ sin \ varphi) \,

в направлении \ Mathbf {r} , И

\ Mathbf {e} _ \ varphi = (- \ sin \ varphi, \ cos \ varphi) \, :
\ Mathbf {F} = F_r \ mathbf {e} _r + F_ \ varphi \ mathbf {e} _ \ varphi .

Связь между декартовыми компонентами поля F_x \, и F_y \, и его компонентами в полярной системе координат задается уравнениями:

F_x = F_r \ cos \ varphi - F_ \ varphi \ sin \ varphi \,
F_y = F_r \ sin \ varphi + F_ \ varphi \ cos \ varphi \,

Соответственно в полярной системе коорднинат определяются операторы векторного анализа. Например, градиент скалярного поля \ Phi (r, \ varphi) \, записывается:

\ Text {grad} \ Phi = \ frac {\ partial \ Phi} {\ partial r} \ mathbf {e} _r + \ frac {1} {r} \ frac {\ partial \ Phi} {\ partial \ varphi} \ mathbf {e} _ \ varphi .

6. Трехмерное расширение

Полярная система координат распространяется в третье измерение двумя системами: цилиндрической и сферической, обе содержат двумерную полярную систему координат как подмножество. По сути, цилиндрическая система расширяет полярную добавлением еще одной координаты расстояния, а сферическая - еще одной угловой координаты.

6.1. Цилиндрические координаты

Точка P намечена в цилиндрической системе координат.

Цилиндрическая система координат, грубо говоря, расширяет плоскую полярную систему добавлением третьей линейной координаты, называется высоты и равна высоте точки над нулевой плоскостью подобно тому, как Декартова система расширяется на случай 3-х измерений. Третья координата обычно обозначается как z, образуя тройку координат (ρ, φ, z).

Тройку цилиндрических координат можно перевести в декартову систему такими преобразованиями:

\ Begin {align} x & = \ rho \, \ cos \ varphi \ \ y & = \ rho \, \ sin \ varphi \ \ z & = z. \ End {align}

6.2. Сферические координаты

Точка намечена в сферической системе координат.

Также полярные координаты можно расширить на случай трех измерений путем добавления угловой координаты θ, равный углу поворота от вертикальной оси z (называется Зенит или широтой, значения находятся в интервале от 0 до 180 ?). То есть, сферические координаты, это тройка (r, θ, φ), где r - расстояние от центра координат, φ - угол от оси x (как и в плоских полярных координатах), θ - широта. Сферическая система координат подобна географической системы координат для определения места на поверхности Земли, где начало координат совпадает с центром Земли, широта δ является дополнением θ и равна δ = 90 ? - θ, а долгота l вычисляется по формуле l = φ - 180 ?. [19]

Тройку сферических координат можно перевести в декартову систему такими преобразованиями:

\ Begin {align} x & = r \, \ sin \ theta \, \ cos \ varphi \ \ y & = r \, \ sin \ theta \, \ sin \ varphi \ \ z & = r \, \ cos \ theta. \ End {align}

6.3. Обобщение на n измерений

Полярную систему координат можно расширить на случай n-мерного пространства. Пусть x_ {i} \ in \ mathbb {R} , i = 1, \ ldots, n - Координатные векторы n-мерной декартовой системе координат. Необходимые координаты в n-мерном полярной системе можно вводить как угол отклонения вектора x \ in \ mathbb {R} ^ {n} от координатной оси x_ {i +2} .

Для перевода обобщенных n-мерных полярных координат в декартовы можно воспользоваться следующим формулам:

\ Begin {array} {lcr} x_ {1} & = & r \ \ cos \ varphi \ \ sin \ vartheta_ {1} \ \ sin \ vartheta_ {2} \ \ cdots \ \ sin \ vartheta_ {n-3} \ \ sin \ vartheta_ {n-2} \ \ x_ {2} & = & r \ \ sin \ varphi \ \ sin \ vartheta_ {1} \ \ sin \ vartheta_ {2} \ \ cdots \ \ sin \ vartheta_ { n-3} \ \ sin \ vartheta_ {n-2} \ \ x_ {3} & = & r \ \ cos \ vartheta_ {1} \ \ sin \ vartheta_ {2} \ \ cdots \ \ sin \ vartheta_ {n -3} \ \ sin \ vartheta_ {n-2} \ \ x_ {4} & = & r \ \ cos \ vartheta_ {2} \ \ cdots \ \ sin \ vartheta_ {n-3} \ \ sin \ vartheta_ { n-2} \ \ \ vdots & \ vdots & \ vdots \ qquad \ qquad \ qquad \ quad \ \ x_ {n-1} & = & r \ \ cos \ vartheta_ {n-3} \ \ sin \ vartheta_ { n-2} \ \ x_ {n} & = & r \ \ cos \ vartheta_ {n-2} \ end {array}

Как можно показать, случай n = 2 соответствует обычной полярной системе координат на плоскости, а n = 3 обычной сферической системе координат.

Якобиан преобразования полярных координат в декартовы иметь вид:

\ Sin \ vartheta_ {1} \ left (\ sin \ vartheta_ {2} \ right) ^ {2} \ ldots \ left (\ sin \ vartheta_ {n-2} \ right) ^ {n-2}

Где n-мерный элемент объема будет иметь вид:

\ Begin {matrix} \ mathrm dV & = & r ^ {n-1} \ sin \ vartheta_ {1} \ left (\ sin \ vartheta_ {2} \ right) ^ {2} \ ldots \ left (\ sin \ vartheta_ {n-2} \ right) ^ {n-2} \ mathrm dr \ \ mathrm d \ varphi \ \ mathrm d \ vartheta_ {1} \ ldots \ mathrm d \ vartheta_ {n-2} \ \ & = & r ^ {n-1} \ \ mathrm dr \ \ mathrm d \ varphi \ \ prod \ limits_ {j = 1} ^ {n-2} (\ sin \ vartheta_ {j}) ^ {j} \ \ mathrm d \ vartheta_ {j} \ end {matrix}.

7. Применение

Полярная система координат двумерная и поэтому может применяться только в тех случаях, когда местонахождение точки определяется на плоскости, или для случая однородности свойств системы в третьем измерении, например, при рассмотрении течения в круглой трубе. Лучшим контекстом применения полярных координат случаи, сильно связанные с направлением и расстоянием от некоторого центра. Например, в приведенных выше примерах видно, что простых уравнений в полярных координатах достаточно для определения таких кривых как спираль Архимеда, уравнение в декартовой системе координат гораздо сложнее. Кроме того, много физических систем - таких, содержащие тела движутся вокруг центра, или явления, распространяющиеся из некоторого центра - гораздо проще моделировать в полярных координатах. Причиной создания полярной системы координат было исследование орбитального и движения по кругу.


7.1. Позиционирования и навигация

Полярную систему координат часто применяют в навигации, поскольку пункт назначения можно задать как расстояние и направление движения от отправной точки. Например, в авиации, для навигации применяют несколько измененную версию полярных координат. В этой системе, обычно используется для навигации, луч 0 ? называют направлением 360, а углы отсчитываются в направлении по часовой стрелке. Направление 360 соответствует магнитной севере, а направления 90, 180, и 270 соответствуют магнитным востока, югу и югу. [20] Так, самолет, летящий 5 морских миль на восток можно описать как самолет, летящий 5 единиц в направлении 90 ( центр управления полетами назовет его Найн-зиро). [21]


7.2. Моделирование

Фронт мощности звуковой волны промышленного громкоговорителя показан в сферических полярных координатах при шести частотах.

Системы с радиальной симметрией очень хорошо подходят для описания в радиальных координатах, где полюс системы координат совпадает с центром симметрии. В качестве примера можно привести уравнение тока грунтовых вод в случае радиально симметричных колодцев. Системы с центральными силами также подходят для моделирования в полярных координатах. К таким системам относятся гравитационные поля, подчиняются закону возвратно-квадратичной зависимости, так и системы с точечными источниками энергии, такие как радио-антенны.

Трехмерное моделирование звука громкоговорителей может использоваться для прогнозирования их эффективности. Необходимо сделать несколько диаграмм в полярных координатах для широкого диапазона частот, поскольку фронт существенно изменяется в зависимости от частоты звука. Полярные диаграммы помогают увидеть, что многие громкоговорителей с понижением частоты звука теряют направленность.

В полярных координатах также принято представлять характеристику направленности микрофонов, который определяется отношением чувствительности Мα при падении звуковой волны под углом α относительно акустической оси микрофона к его осевой чувствительности: φ = M α / M 0


код для вставки
Данный текст может содержать ошибки.

скачать

© Надо Знать
написать нам