Надо Знать

добавить знаний



Правильный многоугольник



План:


Введение

Правильный многоугольник - это многоугольник, у которого все углы и все стороны равны между собой.


1. Свойства

1.1. Координаты

Пусть x_0 и y_0 - Координаты центра, а R - радиус описанной около правильного многоугольника круга, {\ Phi} _0 - Угловая координата первой вершины, тогда декартовы координаты вершин правильного многоугольника определяются формулами

x_i = x_0 + R \ cos \ left ({\ phi} _0 + \ frac {2 \ pi i} {n} \ right) ,
y_i = y_0 + R \ sin \ left ({\ phi} _0 + \ frac {2 \ pi i} {n} \ right) ,

где i = 0 \ dots n - 1 .


1.2. Размеры

Пусть R - радиус описанной около правильного многоугольника круга, тогда радиус вписанной окружности равна

r = R \ cos \ frac {\ pi} {n} ,

а длина стороны многоугольника равна

t = 2 R \ sin \ frac {\ pi} {n} .

1.3. Площадь

Площадь правильного многоугольника с числом сторон n и длиной стороны t вычисляется по формуле

S = \ frac {n} {4} t ^ 2 \ mathop {\ mathrm {ctg}} \, \ frac {\ pi} {n} .

Площадь правильного многоугольника с числом сторон n , Вписанного в окружность радиуса R вычисляется по формуле

S = \ frac {n} {2} R ^ 2 \ sin \ frac {2 \ pi} {n} .

Площадь правильного многоугольника с числом сторон n , Описанного вокруг окружности радиуса r вычисляется по формуле

S = n r ^ 2 \ mathop {\ mathrm {tg}} \, \ frac {\ pi} {n} (Площадь основания n-угольных правильной призмы)

Правильный многоугольник может быть разложенным на столько равных ривнобедренних треугольников, сколько у него есть сторон. Каждый из треугольников имеет основу сторону многоугольника, а как высоту - апофему. Достаточно вспомнить, как находят площадь треугольника, т.е. S = \ frac {1} {2} bh где S - площадь, b - основа, h - высота. Итак, площадь правильного многоугольника вычисляется по формуле : '' S'' = \ frac {1} {2} lan = \ frac {1} {2} pa где l - сторона, a - апофема, n - количество сторон, p - периметр.
Обратные формулы : p = \ frac {2S} {a}
a = \ frac {2S} {p}
Чтобы облегчить ситуацию, для каждого правильного многоугольника нашли отношение между апофемами и стороной. Для равностороннего треугольника такое отношение составляет ~ 0,29, для квадрата - 0,5, для правильного пятиугольника - ~ 0,69, для шестиугольника - ~ 0,87 и т. д.


2. Применение

Правильных многоугольников по определению грани правильных многогранников.

Древнегреческие математики ( Антифон, Брисон, Архимед и др.). использовали правильные многоугольники для вычисления числа \ Pi . Они вычисляли площади вписанных в круг и описанных вокруг него многоугольников, постепенно увеличивая число их сторон и получая таким образом оценку площади круга. [1]


3. История

Построение правильного многоугольника (n-угольника) оставалась проблемой для математиков до XIX века. Такое построение идентична разделению круга на n равных частей, поскольку соединив между собой точки, делящие круг на равные части, можно получить искомый многоугольник.

Евклид в своих "Началах" занимался построением правильных многоугольников в книге IV, решая задачу для n = 3, 4, 5, 6, 15. Кроме этого, он уже определил определенный критерий побудовности многоугольников: хотя этот критерий и не было озвучено в "Началах", древнегреческие математики умели строить многоугольник с 2 m сторонами (при целом m> 1), имея уже построен многоугольник с числом сторон 2 m - 1 : Пользуясь умением разбиения дуги на две части, из двух полукругов мы строим квадрат, затем правильный восьмиугольник, правильный шистнадцятикутник и так далее. Кроме этого, в этой же книге Евклид указывает и второй критерий: если известно, как строить многоугольники с r и s сторонами, и r и s взаимно простые числа, то можно построить и многоугольник с r ? s сторонами. Синтезируя эти два способа, можно прийти к выводу, что древние математики умели строить правильные многоугольники с 2 ^ m \ cdot {p_1} ^ {k_1} \ cdot {p_2} ^ {k_2} сторонами, где m - целое неотрицательное число, {P_1}, {p_2} - Числа 3 и 5, а {K_1}, {k_2} принимают значения 0 или 1.

Средневековая математика почти никак не продвинулась в этом вопросе. Только в 1796 году Карлу Фридриху Гауссу удалось доказать, что если число сторон правильного многоугольника равна простому числу Ферма, к которым, кроме 3 и 5, относятся 17, 257 и 65537, то его можно построить с помощью циркуля и линейки. Если брать вообще, из этого следует, что правильный многоугольник можно построить, если число его сторон равно 2 ^ {k_0} {p_1} ^ {k_1} {p_2} ^ {k_2} \ cdots {p_s} ^ {k_s} , Где {K_0} - Целое неотрицательное число, {K_1}, {k_2} \ cdots {k_s} принимают значения 0 или 1, а \ Mathrm {p_j} - Простые числа Ферма.

Гаусс подозревал, что это условие является не только достаточным, но и необходимым, но впервые это было доказано Пьером-Лораном Ванцелем в 1836 году.

Точку в деле построения правильных многоугольников поставило нахождения построений 17 -, 257 - и 65537-угольника. Первая была найдена Йоханесом Ерхингером в 1825 году, второе - Фридрихом Юлиусом Ришель в 1832 году, а последнее - Иоганном Густавом Гермесом в 1894 году.

С тех пор проблема считается полностью решенной.


См.. также

Nuvola apps edu mathematics blue-p.svg
В Википедии есть портал

Примечания

  1. А. В. Жуков. О числе \ Pi . - М.: МЦНМО, 2002. ISBN 5-94057-030-5.

код для вставки
Данный текст может содержать ошибки.

скачать

© Надо Знать
написать нам