Предел функции в точке

Предел функции в точке - фундаментальное понятие математического анализа, в частности анализа функций действительной переменной, число, к которому стремится значение функции, если ее аргумент стремится к заданной точки. Строгое математическое определение предела функции дается языке δ-ε.


1. Определение [1]

Пусть A \ subset \ mathbf {R}, \ quad f: A \ to \ mathbf {R} , x_0 - предельная точка множества A. Число a называется границей функции f в точке x_0 , Если

\ Forall \ varepsilon> 0 \ quad \ exists \ delta = \ delta (\ varepsilon)> 0 \ quad \ forall x \ in A \ cap B (x_0, \ delta) \ setminus \ {x_0 \}: | f (x )-a | <\ varepsilon

Обозначения:

a = \ lim_ {x \ to x_0} {f (x)}

или

f (x) \ to a при x \ to x_0

Определение по Гейне: Если для любой последовательности точек взятой из области определения соответствующая последовательность значений функции сходится к тому же число, то это число называют границей функции в точке.


2. Односторонние границы

Односторонняя граница - это граница функции одной переменной в некоторой точке, когда аргумент стремится к значению аргумента в этой точке отдельно со стороны больших аргументов (правосторонняя граница), или со стороны меньших аргументов (левосторонняя граница). То есть, по сути, есть смысл говорить об односторонних предела функции в некоторой точке тогда, когда в этой точке левосторонняя граница функции не равна правостороннее.

  • Правостороннюю границу принято обозначать следующим образом:
    \ Lim \ limits_ {x \ to a +} f (x), \ \ \ lim \ limits_ {x \ to a +0} f (x), \ \ \ lim_ {x \ downarrow a} f (x), \ \ \ lim_ {x \ searrow a} f (x);
  • Для левосторонней границы приняты следующие обозначения:
    \ Lim \ limits_ {x \ to a-} f (x), \ \ \ lim \ limits_ {x \ to a-0} f (x), \ \ \ lim_ {x \ uparrow a} f (x), \ \ \ lim_ {x \ nearrow a} f (x).
  • Используются также следующие сокращения:
    • f \ left (a + \ right) и f \ left (a + 0 \ right) для правой границы;
    • f \ left (a-\ right) и f \ left (a - 0 \ right) для левой границы.

Литература

  • С. Т. Завала Элементы анализа. Алгебра многочленов.. - М.: Просвещение, 1972.


  • М.О.Дзедзинський Математический Анализ для студентов.. - М.: Листок, 2010.

4. Сноски


Сигма Это незавершенная статья по математики.
Вы можете помочь проекту, исправив и дополнив ее.