Преобразования Лоренца

Две системы отсчета, одна из которых движется со скоростью \ Vec {v} относительно другой

Преобразования Лоренца это линейные преобразования координат, оставляющих неизменным пространственно-временной интервал. Преобразования Лоренца связывают координаты событий в разных инерциальных системах отсчета и имеют фундаментальное значение в физике. Инвариантность физической теории относительно преобразований Лоренца, или общая ковариантность, является необходимым условием достоверности этой теории.


1. Формулировка

Наиболее распространенная форма записи преобразований Лоренца связывает координаты события в инерциальной системе отсчета K с координатами того же события в системе K ', движущейся относительно K со скоростью V вдоль оси x:

x '= \ frac {x-Vt} {\ sqrt {1 - \ frac {V ^ 2} {c ^ 2}}}, \ quad y' = y, \ quad z '= z, \ quad t' = \ frac {t-(V / c ^ 2) x} {\ sqrt {1 - \ frac {V ^ 2} {c ^ 2}}} ,
где x, y, z, t - координаты события в системе K; x ', y', z ', t' - координаты того же события в системе K 'V - относительная скорость двух систем; c - скорость света.

Обратные формулы (переход от системы K 'в K) можно получить заменой V →-V:

x = \ frac {x '+ Vt'} {\ sqrt {1 - \ frac {V ^ 2} {c ^ 2}}}, \ quad y = y ', \ quad z = z', \ quad t = \ frac {t '+ (V / c ^ 2) x'} {\ sqrt {1 - \ frac {V ^ 2} {c ^ 2}}} .

2. Свойства преобразований Лоренца

Из формул преобразований легко увидеть, что при предельном переходе c → ∞ к классической механики или - что то же самое - при скоростях значительно меньших скорости света формулы преобразования Лоренца переходят в преобразования Галилея по принципу соответствия.

При V> c координаты x, t становятся мнимыми, что означает тот факт, что движение со скоростью, большей скорости света в вакууме, невозможно. Невозможно использовать систему отсчета, которая двигалась со скоростью света, потому что тогда знаменатели в формулах равны бы нулю.

В отличие от преобразований Галилея преобразования Лоренца некоммутативную: результат двух последовательных преобразований Лоренца зависит от их порядка. Математически это можно увидеть с формальной истолкование преобразований Лоренца как вращений четырехмерного системы координат, где, как известно, результат двух вращений вокруг различных осей зависит от порядка их выполнения. Исключением из этого правила являются лишь преобразования с параллельными векторами скоростей V 1 | | V 2, которые эквивалентны поворотам системы координат относительно одной оси.


3. Историческая справка

Толчком к открытию преобразований Лоренца послужил нулевой результат интерференционного эксперимента Майкельсона-Морли. Для устранения выявленных проблем теории эфира Лоренц предположил, что все тела при поступательном движении изменяют свои размеры, а именно, что уменьшение размеров тела в направлении движения определяется множителем \ Varkappa \ sqrt {1-v ^ 2 / c ^ 2} , Где \ Varkappa - Уменьшение размеров в направлении перпендикулярном движению тела. Необходимо было органично ввести это уменьшение размеров в теорию.

Первым формулы, известные сейчас как преобразования Лоренца, вывел Джозеф Лармор в 1900 году, и таким образом учел изменение масштаба времени при движении. В 1904 Лоренц доказал инвариантность уравнений Максвелла относительно преобразований Лоренца, но у них еще входил неопределенный множитель \ Varkappa и две инерционные системы еще не рассматривались полностью равноправными.

В 1905 Анри Пуанкаре исправил пробелы в работе Лоренца и достиг полной ковариантности электродинамики. Принцип относительности был определен им как общее и строгое положение. Именно в работах Пуанкаре впервые встречаются названия преобразования Лоренца и группа Лоренца.



4. Вывод

В рамках основного вывода используются четыре аксиомы.

4.1. Одномерные Покомпонентный преобразования Лоренца для пространственной и временной компонент

Одномерные Покомпонентный преобразования Лоренца для пространственной и временной компонент.

Пусть функции преобразований между результатами наблюдения некоторого события в разных ИСО \ K, K ' с относительной скоростью \ Mathbf u = const для одномерного случая задаются как

\ X '= f (x, u, t), \ quad t' = g (x, u, t) \ qquad (.0) .

Учитывая то, что пространство-время однородно [1] (качественно - каждая точка пустого пространства-времени ничем не отличается от других точек), можно утверждать, что все геометрические соотношения между геометрическими объектами не изменяются в зависимости от выбора точки начала координат ИСО . Это означает, что функции \ (0) будут линейными функциями своих аргументов, причем коэффициенты при аргументах будут зависеть только от относительной скорости ИСО:

\ X '= Ax + Bt + const_ {1}, \ quad t' = Cx + Dt + const_ {2} \ qquad (.0.1) .

Доказательство.

Пусть имеется бесконечные малое смещение \ Dx ' в системе \ K ' . Соответствующее смещение \ Dx системы \ K будет равно \ Dx , А промежуток времени, соответствующий смещению - \ Dt .

Тогда для функции координаты (для функции времени - аналогично)

dx '= \ frac {\ partial f} {\ partial x} dx + \ frac {\ partial f} {\ partial t} dt + \ frac {\ partial f} {\ partial u} du = \ frac {\ partial f} {\ partial x} dx + \ frac {\ partial f} {\ partial t} dt .

Поскольку пространство-время однородно, то смещение dx ' не должно зависеть от точки пространства-времени, а следовательно, \ \ Frac {\ partial f} {\ partial x}, \ frac {\ partial f} {\ partial t} одинаковы для всех точек пространства и всех моментов времени \ \ Left (\ frac {\ partial f} {\ partial x}, \ frac {\ partial f} {\ partial t} = const \ right) , А следовательно, являются постоянными при заданной относительной скорости. Следовательно, их можно в записи функции \ F (x, u, t) представить в виде коэффициентов, которые могут зависеть только от относительной скорости (поскольку функция \ F = f (x, u, t) зависит только от координаты, времени и относительной скорости ИСО):

\ X '= Ax + Bt + const_ {1}, t' = Cx + Dt + const_ {2} ,

где

\ A = A (u), \ quad B = B (u), \ quad C = C (u), \ quad D = D (u) .

Более глубокое доказательства.

Пусть, опять же,

\ X '= f (x, t), \ quad t' = g (x, t) \ Rightarrow dx '= f'_ {x} dx + f'_ {t} dt, \ quad dt' = g ' _ {x} dx + g'_ {t} dt ,

где \ F'_ {k}, g'_ {k} - Производные от функций по аргументу k. Тогда скорость некоторого целевого тела в ИСО А ', относительно которой кинематические характеристики соответствуют значениям \ X ', t' , Равна

\ V '= \ frac {dx'} {dt '} = \ frac {f'_ {x} dx + f'_ {t} dt} {g'_ {x} dx + g'_ {t} dt } = \ frac {f'_ {x} v + f'_ {t}} {g'_ {x} v + g'_ {t}} .

Если считать, что скорость постоянна (это можно сделать, поскольку функции \ F, g не зависят от нее), и использовать идею однородности пространства времени, то скорость как функция от \ F ', g' не зависит от \ X, t . Тогда, принимая частные производные по \ X, t от выражения для скорости, можно получить:

\ \ Frac {\ partial v '} {\ partial x} = \ frac {f'' _ {xx} v + f'' _ {xt}} {g'_ {x} v + g'_ {t} } - \ frac {(g'' _ {xx} v + g'' _ {xt}) (f'_ {x} v + f'_ {t})} {(g'_ {x} v + g'_ {t}) ^ {2}} = \ frac {f'' _ {xx} v ^ {2} g'_ {x} + f'' _ {xx} vg'_ {t} + f '' _ {xt} g'_ {x} v + f'' _ {xt} g'_ {t} - g'' _ {xx} f'_ {x} v ^ {2} - g'' _ {xx} vf'_ {t} - g'' _ {xt} f'_ {x} v - g'' _ {xt} f'_ {t}} {(g'_ {x} v + g'_ {t}) ^ {2}} = 0 \ Rightarrow

\ \ Rightarrow v ^ {2} (f'' _ {xx} g'_ {x} - g'' _ {xx} f'_ {x}) + v (f'' _ {xx} g'_ {t} + f'' _ {xt} g'_ {x} - g'' _ {xx} f'_ {t} - g'' _ {xt} f'_ {x}) + f'' _ {xt} g'_ {t} - g'' _ {xt} f'_ {t} = 0 .

Далее, опять же, можно использовать идею произвольности скорости \ V без уменьшения общности полученных выражений и занулить ее. Отсюда

\ F'' _ {xt} g'_ {t} = g'' _ {xt} f'_ {t} \ qquad (.0.2) ,

\ F'' _ {xx} g'_ {t} + f'' _ {xt} g'_ {x} = g'' _ {xx} f'_ {t} + g'' _ {xt} f'_ {x} \ qquad (.0.3) ,

\ F'' _ {xx} g'_ {x} = g'' _ {xx} f'_ {x} \ qquad (.0.4) .

Аналогично, для производной выражения \ V ' по времени, можно записать:

\ \ Frac {\ partial v '} {\ partial t} = \ frac {v ^ {2} (f'' _ {xt} g'_ {x} - g'' _ {xt} f'_ {x }) + v (f'' _ {xt} g'_ {t} + f'' _ {tt} g'_ {x} - g'' _ {xt} f'_ {t} - g'' _ {tt} f'_ {x}) + f'' _ {tt} g'_ {t} - g'' _ {tt} f'_ {t}} {(g'_ {x} v + g'_ {t}) ^ {2}} = 0 \ Rightarrow

\ \ Rightarrow f'' _ {xt} g'_ {x} = g'' _ {xt} f'_ {x} \ qquad (.0.5) ,

\ F'' _ {xt} g'_ {t} + f'' _ {tt} g'_ {x} = g'' _ {xt} f'_ {t} + g'' _ {tt} f'_ {x} \ qquad (.0.6) ,

\ F'' _ {tt} g'_ {t} = g'' _ {tt} f'_ {t} \ qquad (.0.7) .

Если вычесть из \ (.0.3) (.0.5) , А от \ (.0.6) - \ (.0.2) , Можно получить:

\ F'' _ {xx} g'_ {t} = g'' _ {xx} f'_ {t} \ qquad (.0.8) ,

\ F'' _ {tt} g'_ {x} = g'' _ {xx} f'_ {x} \ qquad (.0.9) .

Домножившы \ (.0.2) на \ F'_ {t} , А \ (.0.8) - На \ F'_ {x} , И после этого отняв эти выражения, и аналогично - с умножения \ (.0.7) на \ F'_ {x} и \ (.0.9) - На \ F'_ {t} , Можно получить, что

\ F'' _ {xx} g'_ {t} f'_ {x} - g'' _ {xx} f'_ {t} f'_ {x} - f'' _ {xx} g ' _ {x} f'_ {t} + g'' _ {xx} f'_ {x} f'_ {t} = f'' _ {xx} (g'_ {t} f'_ {x } - g'_ {x} f'_ {t}) = 0 ,

\ F'' _ {tt} g'_ {t} f'_ {x} - g'' _ {tt} f'_ {t} f'_ {x} - f'' _ {tt} g ' _ {x} f'_ {t} + g'' _ {xx} f'_ {t} f'_ {x} = f'' _ {tt} (g'_ {t} f'_ {x } - g'_ {x} f'_ {t}) = 0 .

Выражения в скобках соответствуют якобиан, которые не могут быть равными нулю. Отсюда \ F'' _ {tt} = f'' _ {xx} = 0 . Используя эти равенства и выражения \ (.0.2) - (.0.7) , Можно получить условия равенства нулю всех остальных частных производных второго порядка. Отсюда следует, что преобразование-функции \ F (x, t), g (x, t) должны быть линейными.

При нулевом значении \ T, t ' выполняется следующее условие:

\ T = t '= 0 \ Rightarrow x = x' = 0 ,

есть, при начале отсчета времени начала координат ИСО совпадают. Это означает равенство нулю констант в \ (.0.1) , Причем всеобщность преобразований уменьшена контексте (из-за однородности пространства-времени):

\ X '= Ax + Bt, \ quad t' = Cx + Dt \ qquad (.1) .

Тогда система \ K будет двигаться относительно точки \ X '= 0 с изменением координаты в \ X = ut , А точка \ X ' будет двигаться относительно системы \ X = 0 с изменением координаты в \ X '=-ut' . Если подставить данные значения в \ (.1) , Можно найти величины \ A, B, C, D :

\ Begin {cases} 0 = Aut + Bt \ Rightarrow B =-Au \ qquad (.2) \ \ t '= Cx + Dt \ \ \ end {cases} ,

\ Begin {cases} ut '= Bt \ Rightarrow B = - \ frac {ut'} {t} =-uD \ qquad (.3) \ \ t '= Dt \ Rightarrow \ frac {t'} {t} = D \ \ \ end {cases} .

С \ (.2), ​​(.3) можно сделать вывод, что \ A = D . Можно ввести функции относительных скоростей:

\ \ Gamma (u) = A, \ quad \ sigma (u) = - \ frac {C} {D} .

Тогда \ (.1) примет вид:

\ Begin {cases} x '= \ gamma (u) [x - ut] \ \ t' = \ gamma (u) [t - \ sigma (u) x] \ \ \ end {cases} \ qquad (.4 ) .

Для определения вида функций следует ввести дополнительную аксиоматику.

Пусть инерциальные системы отсчета равноправны [2]. Это означает, что переход от \ K в \ K ' в \ (4) будет таким же, как и от \ K ' в \ K , И обратное преобразование будет отличаться от прямого с точностью до знака относительной скорости \ U->-u . Тогда можно рассмотреть три ИСО \ K_ {1}, K_ {2}, K_ {3} , Причем \ U_ {K_2, K_1} = u_ {1} u_ {K_3, K_2} = u_ {2} . Тогда \ (.4) для преобразований между ИСО примет вид:

\ Begin {cases} x_ {2} = \ gamma_ {1} [x_ {1} - u_ {1} t_ {1}] \ \ t_ {2} = \ gamma_ {1} [t_ {1} - \ sigma_ {1} x_ {1}] \ \ \ end {cases} ,

\ Begin {cases} x_ {3} = \ gamma_ {2} [x_ {2} - u_ {2} t_ {2}] = \ gamma_ {2} \ left [\ gamma_ {1} (x_ {1} - u_ {1} t_ {1}) - u_ {2} \ gamma_ {1} (t_ {1} - \ sigma_ {1} x_ {1}) \ right] = \ gamma_ {1} \ gamma_ {2} \ left [x_ {1} (1 + u_ {2} \ sigma_ {1}) - t_ {1} (u_ {1} + u_ {2}) \ right] = \ gamma_ {3} [x_ {1} - u_ {3} t_ {1}] \ \ t_ {3} = \ gamma_ {2} [t_ {2} - \ sigma_ {2} x_ {2}] = \ gamma_ {2} \ left [\ gamma_ {1 } (t_ {1} - \ sigma_ {1} x_ {1}) - \ sigma_ {2} \ gamma_ {1} (x_ {1} - u_ {1} t_ {1}) \ right] = \ gamma_ { 2} \ gamma_ {1} \ left [t_ {1} (1 + \ sigma_ {2} u_ {1}) + x_ {1} (\ sigma_ {1} + \ sigma_ {2}) \ right] = \ gamma_ {3} [t_ {1} - \ sigma_ {3} x_ {1}] \ \ \ end {cases} \ qquad (.5) .

Тогда, если приравнять во втором уравнении \ (5)\ \ Gamma_ {3} в \ \ Gamma_ {2} \ gamma_ {1} [t_ {1} (1 + \ sigma_ {2} u_ {1})] и в первом уравнении \ \ Gamma_ {3} в \ \ Gamma_ {1} \ gamma_ {2} [(1 + u_ {2} \ sigma_ {1})] , То можно получить, что

\ 1 + \ sigma_ {2} u_ {1} = 1 + u_ {2} \ sigma_ {1} \ Rightarrow \ frac {\ sigma_ {1}} {u_ {1}} = \ frac {\ sigma_ {2} } {u_ {2}} = \ alpha = const .

Тогда, согласно принципа равноправия ИСО, можно записать, пользуясь \ (4) :

\ X = \ gamma (-u) [x '+ ut'] = \ gamma (-u) [\ gamma (u) (x - ut) + \ gamma (u) (t - \ sigma (u) x) u] = \ gamma (-u) \ gamma (u) x (1 - u \ sigma (u)) =

\ = \ Gamma (-u) \ gamma (u) x (1 - \ alpha u ^ {2}) \ Rightarrow \ gamma (-u) \ gamma (u) = \ frac {1} {1 - \ alpha u ^ {2}} \ qquad (.6) .

Наконец, если ввести принцип изотропии пространства в ИСО [3], то можно утверждать, что при инверсиях системы координат \ (X ->-x , \ X '->-x', u ->-u) преобразования \ (.4) не изменят вид. Тогда

\-X '= \ gamma (-u) (-x + ut) ,

из чего видно, что при повторной инверсии это выражение перейдет в исходное (до первой инверсии) только при условии, что \ \ Gamma (u) является четной функцией скорости, т.е. подтверждается равенство \ \ Gamma (-u) = \ gamma (u) . Поэтому, применяя \ (.6) , Можно будет получить:

\ \ Gamma (u) = \ frac {1} {\ sqrt {1 - \ alpha u ^ {2}}} .

Очевидно, что \ \ Alpha будет иметь размерность квадрата скорости в -1 степени, а вот знак этой константы можно получить только экспериментально. Эксперимент же показывает, что знак этой константы положительный, а значит,

\ \ Gamma (u) = \ sqrt {\ frac {1} {1 - \ frac {u ^ {2}} {c ^ {2}}}} ,

Тогда \ (.4) примут вид

\ X '= \ frac {x - ut} {\ sqrt {1 - \ frac {u ^ {2}} {c ^ {2}}}} \ qquad t' = \ frac {t - \ frac {ux } {c ^ {2}}} {\ sqrt {1 - \ frac {u ^ {2}} {c ^ {2}}}} \ qquad (.7) ,

т.е. вид одномерных преобразований Лоренца для координат.


4.2. Четырехмерные Покомпонентный преобразования Лоренца

Четырехмерные Покомпонентный преобразования Лоренца.

Если обобщить преобразования Лоренца на случай трехмерного пространства, причем \ \ Mathbf u = (u, 0, 0) , Вид \ (.0) изменится в

\ X '= f (x, y, z, t), \ quad y' = g (x, y, z, t), \ quad z '= F (x, y, z, t), \ quad t '= G (x, y, z, t) .

Используя рассуждения, приведенные в предыдущем разделе, можно сделать вывод, что при совпадении начала координат при начале отсчета функции связки координат \ G, F при переходе между ИСО вступят вида

\ Y '= A_ {1} x + B_ {1} y + C_ {1} z + D_ {1} t, \ quad z' = A_ {2} x + B_ {2} y + C_ {2} z + D_ {2} t \ qquad (.8) .

Пусть далее для первого равенства рассматривается точка \ Y '= 0 \ Rightarrow y = 0 , А для второй - \ Z '= 0 \ Rightarrow z = 0 (Опять же, через условие однородности пространства-времени всеобщность функций через выбор особых значений координат не уменьшается). Тогда равенства

\ 0 = A_ {1} x + C_ {1} z + D_ {1} t, \ quad 0 = A_ {2} x + B_ {2} y + D_ {2} t

должны выполняться для любых \ X, y, z, t . Это означает, что

\ A_ {1} = C_ {1} = D_ {1} = A_ {2} = B_ {2} = D_ {2} = 0 ,

а следовательно, \ (.8) примет вид

\ Y '= Ky, \ quad z' = Kz \ Rightarrow y = \ frac {1} {K} y ', \ quad z = \ frac {1} {K} z' .

причем \ B_ {1} = C_ {2} как следствие равноправия координат \ Y, z относительно условия \ \ Mathbf u = (u, 0, 0) .

Полученные равенства связи штрихованных и нештрихованих координат можно упростить, использовав принцип равноправия ИСО. Поскольку ИСО равноправны, то относительное изменение \ K должна быть равна \ \ Frac {1} {K} , Откуда \ K = + / - 1 . Выбирается вариант \ K = 1 , Поскольку при \ K = -1 формальный переход от одной ИСО к такого же приводил к инверсии осей.

Итак, \ Y '= y, \ quad z' = z . Таким образом, при движении по оси \ O_ {x} компоненты \ Y, z не смешиваются друг с другом, а также - с \ X, t , И превращаются отдельно. Это означает также, что коэффициенты при \ Y, z в выражениях для \ X ', t' равны нулю. Из этого, наконец, следует, что в описанных выше условиях

\ X '= \ gamma (x - ut), \ quad y' = z, \ quad z '= z, \ quad t' = \ gamma \ left (t - \ frac {ux} {c ^ {2}} \ right) \ qquad (.9) .


4.3. Преобразования Лоренца для радиус-вектора

Преобразования Лоренца для радиус-вектора.

В произвольном случае, когда радиус-вектор НЕ спивнапрямлений с вектором относительной скорости двух ИСО, можно получить более общий вид преобразований Лоренца, разложив радиус-вектор на вектор, параллельный вектору относительной скорости, и вектор, перпендикулярный вектору относительной скорости. Тогда, используя то, что, как следует из прошлого пункта, ортогональные по отношению к вектору относительной скорости компоненты радиус-вектора переходят сами в себя, можно получить:

\ \ Mathbf r = \ mathbf r_ {| |} + \ mathbf r_ {\ perp} \ qquad \ mathbf r_ {\ perp} '= \ mathbf r_ {\ perp} \ qquad \ mathbf r_ {| |}' = \ frac {\ mathbf r_ {| |} - \ mathbf ut} {\ sqrt {1 - \ frac {u ^ {2}} {c ^ {2}}}} \ qquad t '= \ frac {t - \ frac {(\ mathbf u \ cdot \ mathbf r_ {| |})} {c ^ {2}}} {\ sqrt {1 - \ frac {u ^ {2}} {c ^ {2}}} } ,

и

\ T '= \ frac {t - \ frac {(\ mathbf u \ cdot \ mathbf r)} {c ^ {2}}} {\ sqrt {1 - \ frac {u ^ {2}} {c ^ { 2}}}} = \ gamma (t - \ frac {(\ mathbf u \ cdot \ mathbf r)} {c ^ {2}}) \ qquad (.10) ,

\ \ Mathbf r '= \ mathbf r_ {\ perp}' + \ mathbf r_ {| |} '= \ mathbf r - \ mathbf r_ {| |} + \ frac {\ mathbf r_ {| |} - \ mathbf ut } {\ sqrt {1 - \ frac {u ^ {2}} {c ^ {2}}}} = \ mathbf r - \ mathbf r_ {| |} + \ frac {\ mathbf r_ {| |}} { \ sqrt {1 - \ frac {u ^ {2}} {c ^ {2}}}} - \ frac {\ mathbf ut} {\ sqrt {1 - \ frac {u ^ {2}} {c ^ { 2}}}} = \ left | \ Gamma = \ frac {\ gamma - 1} {\ frac {u ^ {2}} {c ^ {2}}} \ right | = \ mathbf r + \ mathbf r_ { | |} (\ gamma - 1) - \ gamma \ mathbf ut = \ mathbf r + \ Gamma \ mathbf r_ {| |} \ frac {u ^ {2}} {c ^ {2}} - \ gamma \ mathbf ut =

\ = \ Mathbf r + \ Gamma \ mathbf u \ frac {(\ mathbf u \ cdot \ mathbf r)} {c ^ {2}} - \ gamma \ mathbf ut \ qquad (.10) ,

которые являются преобразованиями Лоренца для радиус-вектора.


4.4. Интервал. Геометрический смысл преобразований Лоренца

Интервал.

Из полученных преобразований Лоренца элементарно вывести инвариантность величины

\ C ^ {2} \ Delta t ^ {2} - \ Delta x ^ {2} = c ^ {2} \ Delta t '^ {2} - \ Delta x' ^ {2} ,

которая называется интервалом \ \ Delta S (Конечно, его можно записать и в виде бесконечно малых приращений).

Вывод.

Для доказательства достаточно расписать правую часть в явном виде, используя преобразования Лоренца:

\ C ^ {2} \ Delta t '^ {2} - \ Delta x' ^ {2} = \ frac {(t_ {2} - \ frac {u x_ {2}} {c ^ 2} - (t_ {1} - \ frac {u x_ {1}} {c ^ 2})) ^ {2} - (x_ {2} - ut_ {2} - (x_ {1} - ut_ {1})) ^ { 2}} {1 - \ frac {u ^ {2}} {c ^ {2}}} = \ frac {c ^ {2} \ Delta t ^ {2} - 2u \ Delta t \ Delta x + \ frac {u ^ {2}} {c ^ {2}} \ Delta x ^ {2} - \ Delta x ^ {2} + 2u \ Delta x \ Delta t + u ^ {2} \ Delta t ^ {2} } {1 - \ frac {u ^ {2}} {c ^ {2}}} =

\ = \ Frac {c ^ {2} \ Delta t ^ {2} - u ^ {2} \ Delta t ^ {2} - \ Delta x ^ {2} + \ frac {u ^ {2}} {c ^ {2}} \ Delta x ^ {2}} {1 - \ frac {u ^ {2}} {c ^ {2}}} = \ frac {(c ^ {2} \ Delta t ^ {2} - \ Delta x ^ {2}) (1 - \ frac {u ^ {2}} {c ^ {2}})} {1 - \ frac {u ^ {2}} {c ^ {2}}} = c ^ {2} \ Delta t ^ {2} - \ Delta x ^ {2} .

Интервал имеет смысл расстояния между событиями в четырехмерном пространстве-времени. Знак интервала определяет тип этого расстояния.

Если два события причинно связаны, то, принимая скорость распространения "события" в равной \ U , Можно записать выражение для интервала следующим образом:

\ DS ^ 2 = c ^ 2dt ^ 2 - dx ^ 2 - dy ^ 2 - dz ^ 2 = | dx ^ 2 - dy ^ 2 - dz ^ 2 = U ^ 2dt ^ 2 | = dt ^ {2} (c ^ 2 - U ^ {2}) = c ^ {2} dt ^ {2} (1 - \ frac {U ^ {2}} {c ^ {2}}) \ geqslant 0 ,

т.е. квадрат интервала всегда положительный. Соответствующий интервал называют часоподибним. Полученное выражение является квадратом собственного времени "события", который является инвариантным относительно любой ИСО (понятие собственного времени тесно связано с принципом наименьшего действия).

Если данное условие не выполняется, то интервал называют простороподибним, и он выражает условие разобщенности в пространстве событий при их причинной независимости.

Геометрический смысл преобразований Лоренца.

Интервал \ S , Который является модулем 4-вектора, компонентами которого являются пространственными и временными координатами - инвариант. При переходе от одной ИСО к другой инвариантом его оставляют или параллельные переносы, или кручение базиса. Параллельные переносы только смещают начало координат, поэтому не является интересными. Тогда остаются только кручение базиса, которые в общем виде при переходе от ИСО А в ИСО А 'можно представить так:

\ X = x 'ch (\ Psi) + ct' sh (\ Psi) \ qquad (1) ,

\ Ct = x'sh (\ Psi) + ct 'ch (\ Psi) \ qquad (2) .

Конечно, выражения \ (1), (2) оставляют величину интервала \ S инвариантной:

\ X ^ {2} - c ^ {2} t ^ {2} = x '^ {2} ch ^ {2} (\ Psi) + 2x'ct'ch (\ Psi) sh (\ Psi) + c ^ {2} t '^ {2} sh ^ {2} (\ Psi) - x' ^ {2} sh ^ {2} (\ Psi) - 2x'ct'ch (\ Psi) sh (\ Psi) - c ^ {2} t '^ {2} ch ^ {2} (\ Psi) =

\ (X '^ {2} - c ^ {2} t' ^ {2}) (ch ^ {2} (\ Psi) - sh ^ {2} (\ Psi)) = x '^ {2} - c ^ {2} t '^ {2} .

Доказательство верности данного вида преобразований Лоренца.

Если расположить ИСО А 'в начале координат (то есть, \ X '= 0 ) И разделить \ (1) на \ (2) , Можно получить:

\ \ Frac {x} {ct} = \ frac {u} {c} = th (\ Psi) \ Rightarrow sh (\ Psi) \ frac {u} {c \ sqrt {1 - \ frac {u ^ { 2}} {c ^ {2}}}} ch (\ Psi) \ frac {1} {\ sqrt {1 - \ frac {u ^ {2}} {c ^ {2}}}} \ qquad (3) .

Применяя \ (3) в \ (1), (2) , Можно получить:

\ X = \ frac {x '+ \ frac {ct'u} {c}} {\ sqrt {1 - \ frac {u ^ {2}} {c ^ {2}}}} = \ frac {x' + t'u} {\ sqrt {1 - \ frac {u ^ {2}} {c ^ {2}}}}, y = y ', z = z', t = \ frac {\ frac {x ' u} {c ^ {2}} + t '} {\ sqrt {1 - \ frac {u ^ {2}} {c ^ {2}}}} \ qquad (4) .

Выражение (4) является выражением для преобразований Лоренца пространственной и временной координат.

Итак, обобщая написанное, можно утверждать, что из набора аксиом, которые были использованы при выводе преобразований Лоренца, следует, что мы живем в локально псевдоевклидовом пространстве размерности \ 3 + 1 , Причем интервал приобретает также содержания длины 4-векторов в таком пространстве.


4.5. Преобразования Лоренца для скорости. Инвариантность фундаментальной скорости и максимальность скорости распространения взаимодействия

Преобразования Лоренца для скорости. Инвариантность фундаментальной скорости и максимальность скорости распространения взаимодействия.

Если продифференцировать выражения \ (.9) и разделить первое выражение на последней, можно получить

\ \ Frac {dx '} {dt'} = v'_ {x} = \ frac {(\ frac {dx} {dt} - \ frac {dt} {dt} u) \ sqrt {1 - \ frac { u ^ {2}} {c ^ {2}}}} {(\ frac {dx} {dt} \ frac {u} {c ^ {2}} - \ frac {dt} {dt}) \ sqrt { 1 - \ frac {u ^ {2}} {c ^ {2}}}} = \ frac {u - v_ {x}} {1 - \ frac {uv_ {x}} {c ^ {2}}} \ qquad (.11) ,

\ \ Frac {dy ', z'} {dt '} = v'_ {y, z} = \ frac {\ frac {dy, z} {dt} \ sqrt {1 - \ frac {u ^ {2} } {c ^ {2}}}} {\ frac {dt} {dt} - \ frac {dx} {dt} \ frac {u} {c ^ {2}}} = \ frac {v_ {y, z } \ sqrt {1 - \ frac {u ^ {2}} {c ^ {2}}}} {1 - \ frac {v_ {x} u} {c ^ {2}}} \ qquad (.11) ,

что является преобразованиями Лоренца для компонент скорости.

Если продифференцировать выражения \ (.10) и разделить второе выражение на первый, можно получить

\ Mathbf v '= \ frac {\ mathbf v + \ Gamma \ mathbf u \ frac {(\ mathbf u \ cdot \ mathbf v)} {c ^ {2}} - \ gamma \ mathbf u} {\ gamma (1 - \ frac {(\ mathbf u \ cdot \ mathbf v)} {c ^ {2}})} \ qquad (.12) ,

что является преобразованиями Лоренца для вектора скорости.

С \ (.11) направления следует инвариантность скорости, равная \ C , Относительно любой ИСО.

Для доказательства этого целесообразно рассмотреть две ИСО \ A, A ' , В которых тело имеет скорость \ {U_ {0}} _ {{u_ {0}} _ {x}, {u_ {0}} _ {y}, {u_ {0}} _ {z}}, {u_ {1}} _ {{u_ {1}} _ {x}, {u_ {1}} _ {y}, {u_ {1}} _ {z}} соответственно, причем вектор скоростей, для упрощения, в обоих случаях ориентирован по оси \ X . Тогда, согласно преобразований Лоренца, при переходе к ИСО \ A ' , Движущегося со скоростью \ U относительно ИСО \ A , Компоненты скорости изменяются следующим образом:

\ {U_ {1}} _ {x} = \ frac {{u_ {0}} _ {x} - u} {1 - \ frac {{u_ {0}} _ {x} u} {c ^ { 2}}} \ qquad (.13) ;

\ {U_ {1}} _ {y} = \ frac {{u_ {0}} _ {y}} {1 - \ frac {{u_ {0}} _ {x} u} {c ^ {2} }} \ sqrt {1 - \ frac {u ^ {2}} {c ^ {2}}} \ qquad (.14) ;

\ {U_ {1}} _ {z} = \ frac {{u_ {0}} _ {z}} {1 - \ frac {{u_ {0}} _ {x} u} {c ^ {2} }} \ sqrt {1 - \ frac {u ^ {2}} {c ^ {2}}} \ qquad (.15) .

Поскольку

\ U_ {0} ^ {2} = {u_ {0}} _ {x} ^ {2} + {u_ {0}} _ {y} ^ {2} + {u_ {0}} _ {z} ^ {2} = c ^ {2} ,

\ U_ {1} ^ {2} = {u_ {1}} _ {x} ^ {2} + {u_ {1}} _ {y} ^ {2} + {u_ {1}} _ {z} ^ {2} \ qquad (.16) ,

то, с учетом \ (.13) - (.15) и начальных предположений, выражение \ (.16) можно переписать:

\ U_ {1} ^ {2} = {u_ {1}} _ {x} ^ {2} \ Rightarrow u_ {1} = {u_ {1}} _ {x} = \ frac {{u_ {0} } _ {x} - u} {1 - \ frac {{u_ {0}} _ {x} u} {c ^ {2}}} .

Тогда можно выразить скорость \ U_ {1} :

\ U_ {1} = \ frac {{c ^ {2} (u_ {0}} _ {x} - u)} {c ^ {2} - {u_ {0}} _ {x} u} = \ frac {c ^ {2} (c - u)} {c (c - u)} = c ,

из чего видно, что скорость \ C инвариантна относительно любой ИСО.

Аналогично можно получить данный результат в более общем случае для модуля вектора скорости света. Пусть в преобразованиях для вектора скорости \ \ Mathbf v = \ mathbf c . Тогда, взяв модуль от преобразования для вектора скорости и объединив, в полученной подкоренное равенства, первое слагаемое с последним, второй - с четвертым, а третий - с пятым, можно получить

\ | \ Mathbf v '| = \ sqrt {(\ mathbf v' \ cdot \ mathbf v ')} = \ frac {1} {\ gamma \ left (1 - \ frac {(\ mathbf u \ cdot \ mathbf v )} {c ^ {2}} \ right)} \ sqrt {\ mathbf v ^ {2} + 2 \ frac {\ Gamma} {c ^ {2}} (\ mathbf u \ cdot \ mathbf v) ^ { 2} - 2 \ gamma (\ mathbf u \ cdot \ mathbf v) + \ frac {\ Gamma ^ {2}} {c ^ {4}} u ^ {2} (\ mathbf u \ cdot \ mathbf v) ^ {2} - 2 \ frac {\ Gamma \ gamma} {c ^ {2}} u ^ {2} (\ mathbf u \ cdot \ mathbf v) + \ gamma ^ {2} u ^ {2}} =

\ = | \ Mathbf u = \ mathbf c | = \ frac {1} {\ gamma \ left (1 - \ frac {(\ mathbf u \ cdot \ mathbf c)} {c ^ {2}} \ right)} \ sqrt {c ^ {2} \ left (1 + \ gamma ^ {2} \ frac {u ^ {2}} {c ^ {2}} \ right) - 2 \ gamma (\ mathbf u \ cdot \ mathbf c) \ left (1 + \ Gamma \ frac {u ^ {2}} {c ^ {2}} \ right) + \ frac {\ Gamma} {c ^ {2}} (\ mathbf u \ cdot \ mathbf c) \ left (2 + \ Gamma \ frac {u ^ {2}} {c ^ {2}} \ right)} =

\ = \ Left | 1 + \ gamma ^ {2} \ frac {u ^ {2}} {c ^ {2}} = \ gamma ^ {2}, \ quad 2 + \ Gamma \ frac {u ^ {2 }} {c ^ {2}} = 1 + \ gamma = \ frac {1 + \ gamma} {\ gamma ^ {2}} \ gamma ^ {2} = \ frac {\ gamma ^ {2}} {\ Gamma} \ quad 1 + \ Gamma \ frac {u ^ {2}} {c ^ {2}} = \ gamma \ right | = \ frac {\ gamma} {\ gamma \ left (1 - \ frac {( \ mathbf u \ cdot \ mathbf c)} {c ^ {2}} \ right)} \ sqrt {c ^ {2} - 2 (\ mathbf u \ cdot \ mathbf c) + \ frac {1} {c ^ {2}} (\ mathbf u \ cdot \ mathbf c) ^ {2}} =

\ = C \ frac {\ sqrt {1 - 2 \ frac {(\ mathbf u \ cdot \ mathbf c)} {c ^ {2}} + \ frac {(\ mathbf u \ cdot \ mathbf c)} {c ^ {4}}}} {1 - \ frac {(\ mathbf u \ cdot \ mathbf c)} {c ^ {2}}} = c ,

что и требовалось доказать.

Следующая аксиома - принцип причинности [4], который накладывает условия на максимальность скорости распространения взаимодействия. Пусть событие, произошедшее в т. \ X_ {2} , Является следствием происшедшего события в т. \ X_ {1} , Скорость распространения взаимодействия данного события является \ U . Тогда, в ИСО K,

\ \ Frac {x_ {2} - x_ {1}} {U} = t_ {2} - t_ {1} \ Rightarrow x_ {2} - x_ {1} = (t_ {2} - t_ {1}) U \ qquad (.17) .

Если же записать для ИСО К ' \ (.9) , То, с учетом принципа причинности, можно будет получить:

\ T_ {2} '- t_ {1}' = \ frac {t_ {2} - t_ {1} - \ frac {u} {c ^ {2}} (x_ {2} - x_ {1})} {\ sqrt {1 - \ frac {u ^ {2}} {c ^ {2}}}} = | (.17) | = \ frac {(t_ {2} - t_ {1}) (1 - \ frac {uU} {c ^ {2}})} {\ sqrt {1 - \ frac {u ^ {2}} {c ^ {2}}}} \ geqslant 0 \ Rightarrow 1 - \ frac {uU} { c ^ {2}} \ geqslant 0 \ Rightarrow U \ leqslant c ,

из чего видно, что скорость \ C является максимальной скоростью распространения взаимодействия ( \ U <c , Поскольку иначе преобразования Лоренца были бы комплексными).

Остается только предположить, что величина \ C численно равная скорости света в вакууме (основания выбрать за эту константу именно скорость света в вакууме были получены, в основном, исторически - через теорию Максвелла и опыты Майкельсона-Морли).

Если же добавить принцип абсолютности одновременности событий относительно различных ИСО, можно будет получить классические преобразования Галилея:

\ \ Delta t = 0 \ Rightarrow \ Delta t '= \ frac {\ Delta t - \ frac {\ Delta xu} {c ^ {2}}} {\ sqrt {1 - \ frac {u ^ {2}} {c ^ {2}}}} = \ Delta t = 0 \ Rightarrow c = \ infty \ Rightarrow x '= x - ut ,

а значит, если классическая механика сформулирована без противоречий, то релятивистская - также, поскольку они базируются на одинаковом наборе аксиом.


4.6. Преобразования Лоренца для силы

Преобразования Лоренца для силы.

В рамках СТВ общее выражение для вектора силы дается производной от вектора импульса:

\ \ Mathbf F = \ frac {d \ mathbf p} {dt} = \ frac {d} {dt} (\ frac {m \ mathbf v} {\ sqrt {1 - \ frac {v ^ {2}} { c ^ {2}}}}) \ frac {m \ frac {d \ mathbf v} {dt} \ sqrt {1 - \ frac {v ^ {2}} {c ^ {2}}} + m \ mathbf v \ frac {d \ mathbf v} {dt} \ frac {d} {d \ mathbf v} (\ sqrt {1 - \ frac {v ^ {2}} {c ^ {2}}})} { 1 - \ frac {v ^ {2}} {c ^ {2}}} = \ frac {m \ frac {d \ mathbf v} {dt}} {\ sqrt {1 - \ frac {v ^ {2} } {c ^ {2}}}} + \ frac {m \ mathbf v (\ mathbf v \ cdot \ frac {d \ mathbf v} {dt})} {c ^ {2} (1 - \ frac {v ^ {2}} {c ^ {2}}) ^ {\ frac {3} {2}}} \ qquad (.18) .

Для величины \ \ Frac {d \ mathbf v} {dt} не вводится никакого обозначения, поскольку в релятивистской физике, как видно из \ (.18) , Она не может быть названа ускорением, исходя из определения силы как \ \ Mathbf F = m \ mathbf a .

Сила, как 3-вектор, не является инвариантной в рамках СТО. Для определения закона связи векторов силы относительно наблюдателей в ИСО \ K, K ' для силы, вектор которой спивнапрямлений с вектором относительной скорости ИСО (который задает ось \ O_ {x} ), Нужно последовательно найти дифференциалы

\ DE '= \ frac {dE - dp_ {x} u} {\ sqrt {1 - \ frac {u ^ {2}} {c ^ {2}}}} \ qquad dp_ {x}' = \ frac {dp_ {x} - \ frac {dE u} {c ^ {2}}} {\ sqrt {1 - \ frac {u ^ {2}} {c ^ {2}}}} \ qquad (.19) .

Для начала, производная от энергии по времени равна

\ \ Frac {dE} {dt} = (\ mathbf F \ cdot \ mathbf v) .

Вывод.

\ \ Frac {dE} {dt} = \ frac {d \ mathbf v} {dt} \ frac {d} {d \ mathbf v} \ frac {mc ^ {2}} {\ sqrt {1 - \ frac { v ^ {2}} {c ^ {2}}}} = \ frac {d \ mathbf v} {dt} \ frac {m \ mathbf v} {(1 - \ frac {v ^ {2}} {c ^ {2}}) ^ {\ frac {3} {2}}} = \ frac {d \ mathbf v} {dt} \ frac {m \ mathbf v - m \ mathbf v \ frac {v ^ {2} } {c ^ {2}} + m \ mathbf v \ frac {v ^ {2}} {c ^ {2}}} {(1 - \ frac {v ^ {2}} {c ^ {2}} ) ^ {\ frac {3} {2}}} = \ frac {m (\ mathbf v \ cdot \ mathbf a)} {\ sqrt {1 - \ frac {v ^ {2}} {c ^ {2} }}} + \ frac {mv ^ {2} (\ mathbf v \ cdot \ mathbf a)} {c ^ {2} (1 - \ frac {v ^ {2}} {c ^ {2}}) ^ {\ frac {3} {2}}} = (\ mathbf F \ cdot \ mathbf v) .

Далее следует найти собственное время частицы, инвариантный относительно любой ИСО. В принципе, выражение для него уже был получен при анализе интервала причинно связанных событий, но целесообразно будет получить другой вывод. Для этого можно записать преобразования Лоренца для времени:

\ \ Sqrt {1 - \ frac {v '^ {2}} {c ^ {2}}} dt' = \ sqrt {1 - \ frac {v ^ {2}} {c ^ {2}}} dt \ qquad (.20) .

Вывод.

\ Dt '= \ gamma \ left (dt - \ frac {u dx} {c ^ {2}} \ right) = \ gamma (1 - \ frac {vu} {c ^ {2}}) dt = \ left | \ gamma \ left (1 - \ frac {vu} {c ^ {2}} \ right) = \ sqrt {\ frac {c ^ {2} - v ^ {2}} {c ^ {2} - v '^ {2}}} \ right | = \ sqrt {\ frac {c ^ {2} - v ^ {2}} {c ^ {2} - v' ^ {2}}} dt \ Rightarrow \ sqrt { 1 - \ frac {v '^ {2}} {c ^ {2}}} dt' = \ sqrt {1 - \ frac {v ^ {2}} {c ^ {2}}} dt .

Промежуточное преобразование \ \ Gamma \ left (1 - \ frac {vu} {c ^ {2}} \ right) = \ sqrt {\ frac {c ^ {2} - v ^ {2}} {c ^ {2} - v '^ {2}}} было получено следующим образом (принимается, что ось \ O_ {x} спивнапрямлена с вектором относительной скорости ИСО):

\ V '^ {2} = v_ {x}' ^ {2} + v_ {y} '^ {2} + v_ {z}' ^ {2} = \ frac {v ^ {2} + u ^ { 2} - 2v_ {x} u - (v_ {y} ^ {2} + v_ {z} ^ {2}) \ frac {u ^ {2}} {c ^ {2}}} {(1 - \ frac {v_ {x} u} {c ^ {2}}) ^ {2}} \ Rightarrow v '^ {2} - c ^ {2} = \ frac {v ^ {2} + u ^ {2} - 2v_ {x} u - (v_ {y} ^ {2} + v_ {z} ^ {2}) \ frac {u ^ {2}} {c ^ {2}}} {(1 - \ frac { v_ {x} u} {c ^ {2}}) ^ {2}} - c ^ {2} =

= \ Frac {v ^ {2} + u ^ {2} - 2v_ {x} u - (v_ {y} ^ {2} + v_ {z} ^ {2}) \ frac {u ^ {2}} {c ^ {2}} - c ^ {2} + 2v_ {x} u - \ frac {v_ {x} u} {c ^ {2}}} {(1 - \ frac {v_ {x} u} {c ^ {2}}) ^ {2}} = \ frac {v ^ {2} + u ^ {2} - \ frac {v ^ {2} u ^ {2}} {c ^ {2}} - c ^ {2} - \ frac {v_ {x} ^ {2} u ^ {2}} {c ^ {2}}} {(1 - \ frac {v_ {x} u} {c ^ {2 }}) ^ {2}} = \ frac {c ^ {2} (\ frac {u ^ {2}} {c ^ {2}} - 1) + v ^ {2} (1 - \ frac {u ^ {2}} {c ^ {2}})} {(1 - \ frac {v_ {x} u} {c ^ {2}}) ^ {2}} =

\ = \ Frac {(v ^ {2} - c ^ {2}) (1 - \ frac {u ^ {2}} {c ^ {2}})} {(1 - \ frac {v_ {x} u} {c ^ {2}}) ^ {2}} \ Rightarrow 1 - \ frac {v '^ {2}} {c ^ {2}} = \ frac {(1 - \ frac {v ^ {2 }} {c ^ {2}}) (1 - \ frac {u ^ {2}} {c ^ {2}})} {(1 - \ frac {v_ {x} u} {c ^ {2} }) ^ {2}} .

Если разделить \ (.19) на \ (.20) , Можно будет получить преобразования Лоренца для компонент силы:

\ \ Frac {(\ mathbf F '\ cdot \ mathbf v')} {\ sqrt {1 - \ frac {v '^ {2}} {c ^ {2}}}} = \ frac {(\ mathbf F \ cdot \ mathbf v) - F_ {x} u} {\ sqrt {1 - \ frac {u ^ {2}} {c ^ {2}}} \ sqrt {1 - \ frac {v ^ {2}} {c ^ {2}}}} ,

\ \ Frac {F_ {x} '} {\ sqrt {1 - \ frac {v' ^ {2}} {c ^ {2}}}} = \ frac {F_ {x} - \ frac {(\ mathbf F \ cdot \ mathbf v) u} {c ^ {2}}} {\ sqrt {1 - \ frac {u ^ {2}} {c ^ {2}}} \ sqrt {1 - \ frac {v ^ {2}} {c ^ {2}}}} .

Вывод.

\ \ Frac {dE '} {\ sqrt {1 - \ frac {v' ^ {2}} {c ^ {2}}} dt '} = \ frac {(\ mathbf F' \ cdot \ mathbf v ') } {\ sqrt {1 - \ frac {v '^ {2}} {c ^ {2}}}} = \ frac {dE - dp_ {x} u} {\ sqrt {1 - \ frac {u ^ { 2}} {c ^ {2}}} \ sqrt {1 - \ frac {v ^ {2}} {c ^ {2}}} dt} = \ frac {(\ mathbf F \ cdot \ mathbf v) - F_ {x} u} {\ sqrt {1 - \ frac {v ^ {2}} {c ^ {2}}} \ sqrt {1 - \ frac {u ^ {2}} {c ^ {2}} }} \ Rightarrow \ frac {(\ mathbf F '\ cdot \ mathbf v')} {\ sqrt {1 - \ frac {v '^ {2}} {c ^ {2}}}} = \ frac {( \ mathbf F \ cdot \ mathbf v) - F_ {x} u} {\ sqrt {1 - \ frac {u ^ {2}} {c ^ {2}}} \ sqrt {1 - \ frac {v ^ { 2}} {c ^ {2}}}} ,

\ \ Frac {dp_ {x} '} {\ sqrt {1 - \ frac {v' ^ {2}} {c ^ {2}}} dt '} = \ frac {F_ {x}'} {\ sqrt {1 - \ frac {v '^ {2}} {c ^ {2}}}} = \ frac {dp_ {x} - \ frac {dE u} {c ^ {2}}} {\ sqrt {1 - \ frac {u ^ {2}} {c ^ {2}}} \ sqrt {1 - \ frac {v ^ {2}} {c ^ {2}}} dt} = \ frac {F_ {x} - \ frac {(\ mathbf F \ cdot \ mathbf v) u} {c ^ {2}}} {\ sqrt {1 - \ frac {u ^ {2}} {c ^ {2}}} \ sqrt { 1 - \ frac {v ^ {2}} {c ^ {2}}}} \ Rightarrow \ frac {F_ {x} '} {\ sqrt {1 - \ frac {v' ^ {2}} {c ^ {2}}}} = \ frac {F_ {x} - \ frac {(\ mathbf F \ cdot \ mathbf v) u} {c ^ {2}}} {\ sqrt {1 - \ frac {u ^ { 2}} {c ^ {2}}} \ sqrt {1 - \ frac {v ^ {2}} {c ^ {2}}}} .

Векторными преобразованиями силы при переходе между ИСО является, аналогично преобразований вектора скорости как производной по времени от преобразований радиус-вектора, производная от выражения для преобразования вектора импульса по собственному времени:

\ \ Frac {d \ mathbf p '} {\ sqrt {1 - \ frac {v' ^ {2}} {c ^ {2}}} dt '} = \ frac {d \ mathbf p - \ gamma \ frac {\ mathbf u dE} {c ^ {2}} + \ Gamma \ mathbf u \ frac {(\ mathbf u \ cdot d \ mathbf p)} {c ^ {2}}} {\ sqrt {1 - \ frac {v ^ {2}} {c ^ {2}}} dt} \ Rightarrow \ frac {\ mathbf F '} {\ sqrt {1 - \ frac {v' ^ {2}} {c ^ {2}} }} = \ frac {\ mathbf F - \ gamma \ frac {\ mathbf u (\ mathbf F \ cdot \ mathbf v)} {c ^ {2}} + \ Gamma \ mathbf u \ frac {(\ mathbf u \ cdot \ mathbf F)} {c ^ {2}}} {\ sqrt {1 - \ frac {v ^ {2}} {c ^ {2}}} dt} .

Обратное преобразование имеет следующий вид:

\ \ Frac {\ mathbf F} {\ sqrt {1 - \ frac {v ^ {2}} {c ^ {2}}}} = \ frac {\ mathbf F '+ \ gamma \ frac {\ mathbf u ( \ mathbf F '\ cdot \ mathbf v')} {c ^ {2}} + \ Gamma \ mathbf u \ frac {(\ mathbf u \ cdot \ mathbf F ')} {c ^ {2}}} {\ sqrt {1 - \ frac {v '^ {2}} {c ^ {2}}}} \ Rightarrow | \ frac {\ sqrt {1 - \ frac {v' ^ {2}} {c ^ {2} }}} {\ sqrt {1 - \ frac {v ^ {2}} {c ^ {2}}}} = \ frac {\ sqrt {1 - \ frac {u ^ {2}} {c ^ {2 }}}} {1 - \ frac {(\ mathbf v \ cdot \ mathbf u)} {c ^ {2}}} | \ Rightarrow \ frac {\ mathbf F \ sqrt {1 - \ frac {u ^ {2 }} {c ^ {2}}}} {1 - \ frac {(\ mathbf v \ cdot \ mathbf u)} {c ^ {2}}} = \ mathbf F '+ \ gamma \ frac {\ mathbf u (\ mathbf F '\ cdot \ mathbf v')} {c ^ {2}} + \ Gamma \ mathbf u \ frac {(\ mathbf u \ cdot \ mathbf F ')} {c ^ {2}} .

Аналогично с интервалом и 4-вектором энергии-импульса, для силы есть 4-вектор с компонентами, которые получаются путем дифференцирования компонент 4-вектора энергии-импульса по собственному времени:

\ F ^ {\ mu} = \ frac {dp ^ {\ mu}} {ds} = \ frac {dp ^ {\ mu}} {\ sqrt {1 - \ frac {v ^ {2}} {c ^ {2}}} dt} = \ frac {(\ frac {dE} {c}, dp_ {x}, dp_ {y}, dp_ {z})} {\ sqrt {1 - \ frac {v ^ {2 }} {c ^ {2}}} dt} = \ left (\ frac {(\ mathbf F \ cdot \ mathbf v)} {c \ sqrt {1 - \ frac {v ^ {2}} {c ^ { 2}}}}, \ quad \ frac {F_ {x}} {\ sqrt {1 - \ frac {v ^ {2}} {c ^ {2}}}}, \ quad \ frac {F_ {y} } {\ sqrt {1 - \ frac {v ^ {2}} {c ^ {2}}}}, \ quad \ frac {F_ {z}} {\ sqrt {1 - \ frac {v ^ {2} } {c ^ {2}}}} \ right) .


5. Формы записи преобразований Лоренца

5.1. Матричный запись преобразований Лоренца

Часто, особенно в англоязычной литературе, преобразования Лоренца записывают в виде матрицы поворота | | Λ α | |, что переводит компоненты 4-вектора x β системы K в компоненты 4-вектора x α' = Λ α x β, системы K':

\ Begin {bmatrix} ct '\ \ x' \ \ y '\ \ z' \ end {bmatrix} = \ begin {bmatrix} \ frac {1} {\ sqrt {1-V ^ 2 / c ^ 2}} & - \ frac {V / c} {\ sqrt {1-V ^ 2 / c ^ 2}} & 0 & 0 \ \ - \ frac {V / c} {\ sqrt {1-V ^ 2 / c ^ 2}} & \ frac {1} {\ sqrt {1-V ^ 2 / c ^ 2}} & 0 & 0 \ \ 0 & 0 & 1 & 0 \ \ 0 & 0 & 0 & 1 \ \ \ end {bmatrix} \ begin {bmatrix} ct \ \ x \ \ y \ \ z \ end {bmatrix} .



5.2. Формулы преобразований Лоренца с произвольной ориентацией осей систем

В случае когда оси x координатных систем не параллельны скорости формулы преобразования были получены Херглотз в 1911 году. Для вывода этих формул удобно разделить радиус-вектор частицы r в системе K на компонента r | |, параллельной скорости V относительного движения инерциальных систем, и компонента r ⊥, перпендикулярной V. Тогда при переходе к другой системе K 'будет изменяться только параллельная составляющая r | |:

\ Mathbf {r_ \ | '} = \ frac {\ mathbf {r_ \ |} - \ mathbf {V} t} {\ sqrt {1 - \ frac {V ^ 2} {c ^ 2}}}, \ quad \ mathbf {r_ \ perp '} = \ mathbf {r_ \ perp} \ quad t' = \ frac {t-(\ mathbf {V, r_ \ |}) / c ^ 2} {\ sqrt {1 - \ frac {V ^ 2} {c ^ 2}}}

Окончательно для радиус-вектора частицы в системе K 'r' = r '| | + r' формулы будут выглядеть так:

\ Mathbf {r '} = \ mathbf {r} + \ frac {1} {V ^ 2} \ left (\ frac {1} {\ sqrt {1-V ^ 2 / c ^ 2}} -1 \ right ) (\ mathbf {r, V}) \ mathbf {V} - \ frac {\ mathbf {V} t} {\ sqrt {1-V ^ 2 / c ^ 2}} ,
t '= \ frac {t-(1 / c ^ 2) (\ mathbf {r, V})} {\ sqrt {1-V ^ 2 / c ^ 2}} .

5.3. Гиперболическая форма записи

С математической точки зрения интервал между двумя событиями можно рассматривать как "расстояние" между двумя точками в четырехмерной системе координат. Итак, согласно определению, преобразования Лоренца должны сохранять неизменной любую длину в четырехмерном пространстве x, y, z, ct. Линейными преобразованиями с такими свойствами являются только параллельные переносы и вращения системы координат. Параллельные переносы и вращения в плоскостях xy, yz, zx сводятся к переносу начала отсчета пространства и времени и обычным пространственным поворотам. Последние три поворота системы координат в плоскостях tx, ty, tz и является преобразованиями Лоренца.

Если ввести "угол поворота" ψ, такой что

\ Text {sh} \, \ psi = \ frac {V / c} {\ sqrt {1-V ^ 2 / c ^ 2}}, \ quad \ text {ch} \, \ psi = \ frac {1} {\ sqrt {1-V ^ 2 / c ^ 2}} ,

то преобразования Лоренца для систем K и K 'с параллельными осями можно записать в гиперболической форме:

ct '= - x shψ + ct chψ,
x '= x chψ - ct shψ,
y '= y,
z '= z.

Эти формулы отличаются от обычных формул преобразования при поворотах системы координат заменой тригонометрических функций гиперболическими. В этом проявляются отмены псевдоевклидовой геометрии Минковского от обычной евклидовой.


Источники

  • Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика: Учеб. пособие. В 10 т. Т. II Теория поля. - М.: Наука, 1988. ISBN 5-02-014420-7.
  • Паули В. Теория относительности. - М.: Наука, 1991. ISBN 5-02-014346-4.

См.. также