Надо Знать

добавить знаний



Принцип Ферма



План:


Введение

Принцип Ферма - основной принцип геометрической оптики, который утверждает, что оптическая длина L \, реального луча, проходящей между точками P_1 \, и P_2 \, меньше оптическую длину любой другой кривой, которую можно провести между этими двумя точками.

L = \ int_ {P_1} ^ {P_2} n ds ,

где n - показатель преломления, минимальный для реального луча.

Другая формулировка состоит в том, что луч выбирает такую траекторию, чтобы затратить наименьшее время на преодоление расстояния между двумя точками.

Пьер Ферма опубликовал принцип наименьшего времени в 1657, утверждая "природа всегда выбирает кратчайший путь".

Исходя из принципа Ферма можно вывести все законы геометрической оптики, например, закон преломления.


1. История

Один из фундаментальных принципов физики возник в то время, когда еще и самой физики в современном понимании не было. Более того, не было даже классической механики ( механика Ньютона тогда еще только зарождалась), в рамках которой и возникла впервые идея развития физической теории, базирующейся на аксиоматическом подходе Евклида.

Принцип Ферма, подобно Александрийского маяка освещал путь, которым шла физика в направлении аксиоматизации своей теории на протяжении последних 350 лет. Его идея была использована при аксиоматизации классической механики, оптики, электродинамики. Более того, эти идеи были использованы при закладке основ квантовой механики (формальное вывода уравнений Шредингера и Клейна - Гордона). Поскольку дифференциальное исчисление тогда еще только создавалась в воображении гениального Ньютона (свои "Начала" даже он написал используя геометрический подход, хотя при получении формул пользовался дифференциальным исчислением), поэтому Ферма сформулировал свой ​​принцип в словесной форме. Современная интерпретация гласит:

Свет распространяется из одной точки среды в другую по пути, для прохождения которого расходуется меньше времени.

Математическая формулировка возможно в пределах вариационного исчисления, которое возникло только в середине 18-го века:

\ Delta \ int_ {-A} ^ {B} dS = 0 ,

где A и B - точки, между которыми распространяется свет;

dS = ndl \

- Элемент оптической длины пути, n = n (x, y, z) \ - Абсолютный показатель преломления среды.


2. Современная формулировка

В основе современного вывода принципа Ферма лежит использование комплексной плоской волны в общей форме, справедливой как для электромагнитных колебаний, так и квантовых:

\ Psi (\ mathbf {r}, t) = a (\ mathbf {r}) \ exp (i [\ omega t - k_0 \ phi (\ mathbf {r})]) .

где a (\ mathbf {r}) \ - амплитуда колебаний, \ Omega \ - циклическая частота, k_0 -волновое число, а \ Phi (\ mathbf {r}) \ - Функция ейконала.

Эта функция удовлетворяет волновом уравнению Даламбера:

\ Delta F - \ frac {1} {v ^ 2} \ frac {\ partial ^ 2 F} {\ partial t ^ 2} = 0 .

где v - скорость распространения волны F - произвольная функция, например напряженность электрического поля.

Систему из двух дифференциальных уравнений для определения ейконала находится путем дифференцирования, подставляя волновую функцию в уравнение д'Аламбера:

(\ Nabla \ phi) ^ 2 = n ^ 2 + \ frac {\ Delta a} {ak_0 ^ 2}

где n = \ omega / vk_0 - показатель преломления.

a \ Delta \ phi + 2 (\ nabla a, \ nabla \ phi) = 0

где k_0 = \ omega / c = 2 \ pi / \ lambda - волновое число.

Если длина волны \ Lambda мала, а амплитуда a меняется не очень быстро, тогда:

\ Left | \ frac {\ Delta a} {ak_0 ^ 2} \ right | <n ^ 2,
\ Left | \ lambda ^ 2 \ frac {\ partial ^ 2 a} {\ partial x ^ 2} \ right | \ ll \ left | \ lambda \ frac {\ partial a} {\ partial x} \ right | \ ll a

и дифференциальные уравнения для определению ейконалу упрощаются:

\ Nabla \ phi = n \ mathbf {s}
a \ Delta \ phi + 2n \ frac {\ partial a} {\ partial \ mathbf {s}} = 0

где \ Mathbf {s} - единичный вектор нормали к фронта волны :

\ Omega t - k_0 \ phi = \ text {const} \ ,

проведен в сторону ее движения. Последнее дифференциальное уравнение и называют уравнением ейконала. Оно определяет скорость распространения фронта волны в направлении нормали \ Mathbf {s} :

\ Mathbf {v} = \ frac {d \ mathbf {s}} {dt} .

Данные дифференциальные уравнения и определяют систему уравнений геометрической оптики. Последнее уравнение можно проинтегрировать в общем виде:

a = a_0 \ exp \ left (- \ int_ {0} ^ {S} \ frac {\ Delta \ phi} {2n} \, dS \ right)

где a_0 - амплитуда в точке луча, от которого отсчитывается его длина S .

Эти уравнения можно привести и к известной формы, традиционно используется при формулировке принципа Ферма:

\ Phi (S) = \ int_ {0} ^ {S} n (S ^ ') \, dS ^' ,

откуда следует известное выражение принципа Ферма:

\ Delta \ phi (S) = \ delta \ int_ {0} ^ {S} n (S ^ ') \, dS ^' = 0 .

3. Смотри также


Источники

  • Борн М., Вольф Э.. Основы оптики .. - Москва: Наука., 1973.
  • Кузьмичев В.Е. Законы и формулы физики. Справочник. - Киев, Наукова думка, 1989.-862с.

код для вставки
Данный текст может содержать ошибки.

скачать

© Надо Знать
написать нам