Надо Знать

добавить знаний



Принцип нерозризнюваности частиц



План:


Введение

Принцип нерозризнюваности частиц - одно из основных утверждений квантовой механики, согласно которому частицы одинакового рода никак не возможно различить между собой и проиндексировать.

В отличие от классической физики, в квантовой механике положение частицы не является четко определенным в пространстве. Вероятность найти частицу в той или иной точке задается квадратом абсолютного значения волновой функции. Поэтому, каждая из одинаковых частиц имеет определенную вероятность находиться в какой-либо определенной точке пространства. При таких условиях невозможно различить, какую из них мы видим. Если в классической физике частицы одинаковые, мы все же можем мысленно присвоить каждой из них номер и отслеживать их траектории. В квантовой механике это невозможно.


1. Симметричные и антисимметричные волновые функции

Условие нерозризнюваности частиц накладывает дополнительные требования на волновую функцию многочастичного системы. Вероятность найти частицу в заданной точке не зависит от произвольно присвоенного этой частице индекса. То есть, в случае изменения индекса вероятность должна остаться той же.

Взаимодействие между частицами зависит от расстояния между ними, и в случае перестановки не изменяется. Например, электрон, обозначен индексом 1, взаимодействует с электроном, обозначенным индексом 2, внося вклад в потенциальной энергии квантомеханичнои системы \ Frac {e ^ 2} {r_ {12}} . Если изменить нумерацию, и обозначить первый электрон индексом 2, а второй электрон индеском 1, то этот вклад в потенциальной энергии не изменится.

Похоже утверждение справедливо относительно волновой функции. Вследствие перестановкм частиц вероятность найти частицу определенного сорта в любые точке пространства не должна измениться. Но волновая функция задает лишь амплитуду вероятности, поэтому после перестановки частиц волновая функция может остаться такой же, или же изменить знак на противоположный. Изменение знака волновой функции не влияет на вероятность.

Таким образом, в квантовой механике существует два вида частиц. Для одного из них знак волнового функции не меняется от перестановки частиц. Такие частицы называют бозонами.

Частицы, для которых волновая функция результате перестановки меняет знак, называют фермионами.


2. Собственные значения оператора перестановок

Формально утверждение предыдущего параграфа доказывается следующим образом.

Назовем оператором перестановок такое действие на любую многочастичного хвильвову функцию, переставляет индексы частиц.

\ Hat {\ Pi} _ {i, j} \ psi (\ mathbf {r} _1, \ mathbf {r} _2, ..., \ mathbf {r} _i, ..., \ mathbf {r} _j , ..., \ mathbf {r} _N) = \ psi (\ mathbf {r} _1, \ mathbf {r} _2, ..., \ mathbf {r} _j ..., \ mathbf {r} _i, ..., \ mathbf {r} _N)

Оператор перестановок коммутирует с гамильтонианом

[\ Hat {\ Pi} _ {i, j}, \ hat {H}] = 0.

Таким образом, оператор перестановок имеет общие с гамильтонианом собственные функции.

Пусть \ Psi - Собственная функция оператора перестановок с определенным собственным числом \ Lambda

\ Hat {\ Pi} _ {i, j} \ psi = \ lambda \ psi .

Очевидно, повторное действие оператора перестановок на функцию возвращает ее в исходное вида, а потому

\ Hat {\ Pi} _ {i, j} \ hat {\ Pi} _ {i, j} \ psi = \ lambda ^ 2 \ psi = \ psi

Отсюда получаем уравнение для нахождения \ Lambda

\ Lambda ^ 2 = 1

Два возможных решения этого уравнения

\ Lambda = 1 и
\ Lambda = -1 ,

а значит при перестановке частиц волновая функция или остается неизменной или меняет знак.


3. Значение

Нерозризнюванисть частиц в квантовой механике приводит к существованию особой квантовой статистики, различной для фермионов и бозонов. Фермионы подчиняются статистике Ферми-Дирака, бозоны - статистике Бозе-Эйнштейна.

Антисиметричнисть волновой функции электронов влечет образование ковалентных связей (спаривания валентных электронов) в химических соединениях.


См.. также

Источники

  • Юхновский И.Р. Основы квантовой механики. - Киев: Лыбидь, 2002.

код для вставки
Данный текст может содержать ошибки.

скачать

© Надо Знать
написать нам