Принцип эквивалентности

Принцип эквивалентности - основное утверждение общей теории относительности, по которому наблюдатель не может никоим образом отличить действие гравитационного поля от силы инерции, возникающей в системе отсчета, движущейся с ускорением.

Принцип эквивалентности справедлив благодаря равенства гравитационной и инерционной массы.

Различают слабый принцип эквивалентности и сильный принцип эквивалентности. Разница между ними в том, что слабый принцип - это локальное утверждение, а сильный принцип - это утверждение, что касается любой точки пространства времени, то есть любого места в Вселенной и любого времени в прошлом или будущем.


Математическая формулировка

Посмотрим, как этот принцип отражается в формулах. Для этого рассмотрим мировую линию материальной точки с массой m . Натуральный параметр этой линии обозначим s , Он пропорционален собственному времени материальной точки \ Tau :

(1) \ qquad s = c \ tau

где c - скорость света. Разница d s натурального параметра в двух близких точках четырехмерного пространства-времени называется пространственно-временным интервалом. Он связан с приростами координат следующей формуле:

(2) \ qquad (ds) ^ 2 = c ^ 2 (d \ tau) ^ 2 = g_ {ij} dx ^ idx ^ j

Единичный касательный вектор \ Nu ^ i к мировой линии является настоящим чотиривектором, он выражается через чотиривектор скорости v ^ i = {d x ^ i \ over d \ tau} :

(3) \ qquad \ nu ^ i = {dx ^ i \ over ds} = {v ^ i \ over c}

Геодезическая кривизна мировой линии также настоящим чотиривектором, и равна:

(4) \ qquad k ^ i = {D \ nu ^ i \ over D s} = {d ^ 2 x ^ i \ over ds ^ 2} + \ Gamma ^ i_ {jk} {dx ^ j \ over ds} {dx ^ k \ over ds}

В специальной теории относительности ускорение материальной точки было связано с силой следующей формуле:

(5) \ qquad m {d ^ 2 x ^ i \ over d \ tau ^ 2} = F ^ i

Поскольку в специальной теории относительности символы Кристофеля равны нулю, то мы можем вместо второй производной по времени подставить вектор кривизны k ^ i с соответствующим коэффициентом, и обобщить (5) до следующей тензорной формуле:

(6) \ qquad mc ^ 2 \ left ({d ^ 2 x ^ i \ over ds ^ 2} + \ Gamma ^ i_ {jk} {dx ^ j \ over ds} {dx ^ k \ over ds} \ right ) = F ^ i

Все настоящие силы, кроме силы тяжести и сил инерции (например электромагнитные силы) собраны в векторе F ^ i . Делом можно увидеть такой интересный геометрический факт: геодезическая кривизна мировой линии (размерность обратная расстояния) равна силе, деленной на энергию покоя:.

(7) \ qquad k ^ i = {F ^ i \ over m c ^ 2}

Сила тяжести и силы инерции описываются одним слагаемым в формуле (6), связанным с символами Кристофеля. Перепишем (6), перенеся этот слагаемое в правую часть уравнения, и обозначим эту ложную силу \ Tilde F ^ i (Эф с Тильдой):

(8) \ qquad m {d ^ 2 x ^ i \ over d \ tau ^ 2} = - m_0 \ Gamma ^ i_ {jk} {dx ^ j \ over d \ tau} {dx ^ k \ over d \ tau } + F ^ i = \ tilde F ^ i + F ^ i

Обратим внимание, что масса m в левой части формулы (6) вынесена за скобки, а потому при разрытии скобок будет одинаковой инерционная масса, которая стоит множителем у ускорения в данной системе координат:

(9) \ qquad m {d ^ 2 x ^ i \ over d \ tau ^ 2}

и гравитационная масса, которая стоит множителем в формуле для гравитационной силы:

(10) \ qquad \ tilde F ^ i = - m \ Gamma ^ i_ {jk} {dx ^ j \ over d \ tau} {dx ^ k \ over d \ tau}

Ясно, что отделить силу притяжения от сил инерции трудно, особенно в нестационарном гравитационном поле.

Однако мы можем отдельно говорить о силы инерции в случае плоского пространства Минковского, когда тензор Римана тождественно равна нулю. Также мы можем говорить только о силе гравитации и отсутствие сил инерции, если метрический тензор не зависит от времени и на бесконечности переходит в постоянный тензор Минковского:

(11) \ qquad (g_ {ij}) = \ begin {vmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \ \ 0 & -1 & 0 & 0 \ \ 0 & 0 & -1 & 0 \ \ 0 & 0 & 0 & -1 \ end {vmatrix}


Физика Это незавершенная статья по физики.
Вы можете помочь проекту, исправив и дополнив ее.