Проекция Меркатора

Карта мира в проекции Меркатора
Меркаторова карта мира 1569

Равноугольная цилиндрическая проекция Меркатора - одна из основных картографических проекций. Разработана Герард Меркатор для применения в его "Атласе".

"Равноугольная" в названии проекции подчеркивает то, что проекция сохраняет углы между направлениями. Все локсодромы в ней изображаются прямыми линиями. Меридианы в проекции Меркатора представляются параллельными равноотстоящими линиями. Параллели же представляют собой параллельные линии, расстояние между которыми равно расстоянию между меридианами в районе экватора и быстро увеличивается при приближении к полюсов. Сами полюса не могут быть изображены на проекции Меркатора (они соответствуют особенности функции, отображающей координаты на сфере координатами на плоскости), поэтому обычно карту в проекции Меркатора ограничивают областями до 80-85 ? градусов северной и южной широты.

Масштаб на карте в этой проекции не является постоянным, он увеличивается от экватора к полюсам (как обратный косинус широты), однако масштабы по вертикали и по горизонтали всегда равны, чем, собственно, и достигается ривнокутнисть проекции. На картах в данной проекции всегда указывается, к какой параллели относится основной масштаб карты.

Искажение площадей в проекции Меркатора

Поскольку проекция Меркатора имеет различный масштаб на разных участках, эта проекция не сохраняет площади. Если основной масштаб относится к экватору, то наибольшие искажения размеров объектов будут у полюсов. Это хорошо заметно на картах в этой проекции: на них Гренландия кажется в 2-3 раза больше от Австралии и сравнима по размерам с Южной Америкой. В реальности Гренландия втрое меньше Австралии и в 8 раз меньше Южной Америки.

Проекция Меркатора оказалась весьма удобной для нужд мореходства, особенно в давние времена. Объясняется это тем, что траектория движения корабля, идущего под одним и тем же румбом к меридиану (т.е. с неизменным положением стрелки компаса относительно шкалы) изображается прямой линией на карте в проекции Меркатора.


Математическое представление проекции Меркатора

Карта мира в проекции Меркатора с координатными линиями, проведенными через 20 ?.

Для начала рассмотрим самый простой вариант проекции Меркатора: проекцию сферы на цилиндр. Этот вариант не учитывает сплюснутости Земли у полюсов. Цилиндричнисть проекции сразу дает нам выражение для горизонтальной координаты на карте: она просто пропорциональна долготе точки \ Lambda (При использовании в расчетах следует учесть, что представляться эта величина должна в радианах)

x = c (\ lambda-\ lambda_0) .

Условие ривнокутности - это просто равенство масштабов по горизонтальной и вертикальной оси. Поскольку масштаб по оси X на широте \ Theta равен просто c / (R \ cos \ theta) (R - радиус Земли), то из условия dy R \ cos \ theta / c = R d \ theta Мы получаем выражение для зависимости y от \ Theta

\ Begin {matrix} y & = & c \ ln \ mathop {\ rm tg} \ left (\ frac {\ theta} {2} + \ frac {\ pi} {4} \ right) \ \ & = & c \, \ mathop {\ rm ath} \ sin \ theta \ end {matrix} .

Обратное преобразование

\ Begin {matrix} \ theta & = & 2 \ mathop {\ rm arctg} \ left (e ^ {y / c} \ right) - \ frac {1} {2} \ pi \ \ \ \ \ & = & \ mathop {\ rm arctg} \ left (\ mathop {\ rm sh} (y / c) \ right) \ \ \ \ \ lambda & = & x / c + \ lambda_0. \ End {matrix}

Теперь нетрудно получить выражения для равноугольная проекции с учетом эллипсоидальной формы Земли. Для этого надо записать метрическую форму для эллипсоида (a - большая полуось, b - меньшая) в географических координатах

dl ^ 2 = \ frac {a ^ 2 d \ lambda ^ 2} {1 + \ frac {a ^ 2} {b ^ 2} \ mathop {\ rm tg} ^ 2 \ theta} + \ frac {b ^ 4 } {a ^ 2} \ frac {d \ theta ^ 2} {(\ cos ^ 2 \ theta + \ frac {b ^ 2} {a ^ 2} \ sin ^ 2 \ theta) ^ 3},

перейти в ней к координатам x и y и приравнять масштабы по осям. После несколько медлительного интегрирования получаем

\ Begin {matrix} x & = & c (\ lambda-\ lambda_0) \ \ y & = & c [\ mathop {\ rm ath} \ sin \ theta-\ varepsilon \ mathop {\ rm ath} (\ varepsilon \ sin \ theta)]. \ End {matrix}

Здесь \ Varepsilon = \ sqrt {a ^ 2-b ^ 2} / a - эксцентриситет земного эллипсоида. Обратное преобразование не выражается в элементарных функциях, но уравнение для обратного преобразования легко решить методом теории возмущений по малым \ Epsilon .

Итерационная формула для обратного преобразования имеет следующий вид:

\ Theta_ {n +1} = f \ left (\ theta_ {n}, y \ right) , Где \ Theta_0 можно принять равным 0 или приблизительно рассчитать по формуле для сфероида.
\ Theta_ {n +1} = arcsin \ left (1 - \ frac {(1 + \ sin \ theta_n) (1 - \ varepsilon \ sin \ theta_n) ^ \ varepsilon} {e ^ \ frac {2y} {c} (1 + \ varepsilon \ sin \ theta_n) ^ \ varepsilon} \ right)