Производная

График функции, обозначены черным цветом, и касательная к нему (красный цвет). Значение тангенса угла наклона касательной является значением производной в указанной точке.

Производная - основное понятие дифференциального исчисления, характеризующее скорость изменения функции. Определяется как граница отношения приращения функции к приращению ее аргумента когда прирост аргумента направляется к нулю (если такая граница существует). Функцию, имеет конечную производную, называют дифференцируемой.


1. Определение

Пусть в некотором окрестности точки x 0 определена функция f. Если мы возьмем произвольное число x в этом округе, то прирост аргумента (обозначается Δx) в этом случае определяется как x-x 0, а прирост функции (Δy) - как f (x)-f (x 0). Тогда, если существует предел \ Lim_ {\ Delta x \ rightarrow 0} {\ frac {\ Delta y} {\ Delta x}} , То она называется производной функции f в точке x 0.

Производной функцией данной функции называется функция, в любой точке области определения равна производной данной функции в этой точке.


2. Дифференцировки и производная

(Кликните для большего изображения). В каждой точке, производная функции \ Scriptstyle f (x) = 1 + x \ sin x ^ 2 равен наклону линии, которая касательная к кривой. Когда производная положительная - касательная зеленая, когда отрицательная - касательная красная, а не равна нулю - черная.

Дифференцирование - это метод вычисления соотношения прироста зависимой переменной y по отношению к приросту независимой переменной x. Это соотношение приростов называется производной функции y по переменной x. Если говорить более точно, зависимость y от x означает, что y функция от x. Эта функциональная зависимость часто обозначается y = ? (x), где ? обозначает функцию. Если x и y действительные числа, и если график функции y изображен относительно x, производная равна наклона касательной к этому графику в каждой точке.

Простейший случай когда y - линейная функция от x, значит график функции y относительно x прямая линия. В таком случае, y = ? (x) = m x + b, для вещественных чисел m и b, и наклон m определяется так

m = {\ Delta y \ over {\ Delta x}}

где символ Δ (греческая буква в верхнем регистре дельта) - это сокращение для "изменения в". Эта формула справедлива том, что

y + Δ y = ? (x + Δ x) = m (x + Δ x) + b = m x + b + m Δ x = y + m Δ x.

Из этого следует, что Δ y = m Δ x.

Получили точное значение наклона прямой линии. Если функция ? не линейная (т.е. график функции не прямая линия), тогда прирост y разделен на прирост x меняется: дифференцирование это способ вычисления точного значения видношенння приростов для любого значения x.

Соотношение приростов как предельная величина

Рисунок 1. Касательная в точке (x, ? (x))
Рисунок 2. Секущая линия к кривой y = ? (x) задается точками (x, ? (x)) and (x + h, ? (x + h))
Рисунок 3. Касательная как предел секущих линий

Идея состоит в том, см.. рисунки 1-3, чтобы вычислить отношение приращений как предельную величину Δ y / Δ x когда Δ x становится бесконечно малым.

Если использовать обозначения Лейбница, тогда бесконечно малый прирост x обозначается как dx, а производная функции y по переменной x записывается:

\ Frac {dy} {dx} \, \!

выглядит как отношение двух бесконечно малых величин. (Это выражение читается так: "производная функции y по переменной x" или "dy по dx")


2.1. Объяснение определения

Пусть ? - функция действительных чисел. В классической геометрии, касательная к графику функции ? для действительного числа a была единственная линия через точку (a, ? (a)), не пересекающийся с графиком функции ? трансверсально, значит эта линия не проходит через график. Производная функции y по переменной x в точке a, с геометрической точки зрения, это наклон касательной линии к графику функции ? в точке a. Наклон касательной очень близок к наклону линии, проходящей через точку (a, ? (a)) и другую близкую точку на графике, например (A + h, ? (a + h)) . Такие линии называются секущими. Значение h близкое к нулю дает хорошее приближение для наклона касательной, а чем меньше значение h, в общем случае, тем лучше будет приближение. Наклон m секущей линии равна разности значений y для этих точек разделить на разность значений x, т.е.

m = \ frac {\ Delta f (x)} {\ Delta x} = \ frac {f (x + h)-f (x)} {h}.

Это выражение - это отношение приростов Исаака Ньютона. Производная - это значение отношения приростов в случае когда январе линии приближаются к касательной. Строго говоря, производная функции ? в точке a это граница :

f '(a) = \ lim_ {h \ to 0} {f (a + h)-f (a) \ over h}

отношение приростов когда h стремится к нулю, если такая граница существует. Если граница существует тогда ? - дифференцированная в точке a. Здесь ? '(a) одно из нескольких возможных обозначений производной ( см..ниже)

Запишем эквивалентный выражение, для производной справедливо равенство

\ Lim_ {h \ to 0} {f (a + h)-f (a) - f '(a) \ cdot h \ over h} = 0,

также подвергается интуитивном пониманию (см. рис.1), где касательная линия ? в точке a дает наилучшее линейное приближение

f (a + h) \ approx f (a) + f '(a) h

для ? у точки a (например, для малых h). Если подставить 0 вместо h в отношений приростов то получим деление на ноль, значит наклон касательной линии нельзя вычислить таким способом. Зато запишем Q (h), отношение приростов как функцию от h:

Q (h) = \ frac {f (a + h) - f (a)} {h}.

Q (h) - это наклон секущей линии между точками (a, ? (a)) and (a + h, ? (a + h)). Если ? - непрерывная функция, т.е. если график функции нет разрывов, тогда Q также непервна функция начиная с точки h = 0. Если существует предел \ Textstyle \ lim_ {h \ to 0} Q (h) , Т.е. если существует способ вычислить значение для Q (0), значит график функции Q непрерывный, тогда функция ? дифференцирована в точке a, и ее производная в точке a равна Q (0).

На практике, существование непервного продолжение отношения приростов Q (h) в точке h = 0 показывают по-другому: меняют числитель таким образом, чтобы сократить h в знаменателе. Этот прроцес может быть длинным и скучным для сложных функций, поэтому в таких случаях используют много упрощений.


2.2. Пример

Квадратная функция ? (x) = x ? - дифференцированная в точке x = 3 и ее производная в этой точке равна 6. Этого результата можно достичь, если вычислить границу отношения приростов ? (3) при h стремится к нулю:

f '(3) = \ lim_ {h \ to 0} {f (3 + h)-f (3) \ over h} = \ lim_ {h \ to 0} {(3 + h) ^ 2 - 9 \ over {h}} = \ lim_ {h \ to 0} {9 + 6h + h ^ 2 - 9 \ over {h}} = \ lim_ {h \ to 0} {6h + h ^ 2 \ over {h} } = \ lim_ {h \ to 0} {6 + h}.

Теперь можем вычислить границу, если подставим вместо h ноль:

\ Lim_ {h \ to 0} {6 + h} = 6 + 0 = 6.

Следовательно, наклон графика квадратной функции в точке (3, 9) равен 6, а ее производная в точке x = 3 равна ? '(3) = 6. Обобщая, если провести похожие вычисления то получим, что квадратная функция в точке x = a равно ? '(a) = 2 a.


2.3. Непрерывность и дифференцируемость

Эта функция не имеет производной в указанной точке, поскольку функция не является непрерывной в этой точке.

Если y = ? (x) - дифференцированная в точке a, тогда ? также быть непрерывная в точке a. Например, выберем точку a и пусть ? будет шаговой функцией, равной 1, для всех x меньших чем a и равен другому значению, скажем 10, для всех x, которые больше или равны a. Ƒ не имеет производной в точке a. Если h - отрицательное, тогда a + h находится на нижней ступеньке функции, тогда секущая линия от a до a + h очень круто поднимается вверх и если h стремится к нулю тогда наклон линии стремится к бесконечности. Если h положительное, тогда a + h на верхней ступеньке и секущая линия от a до a + h имеет наклон, равный нулю. Согласно январе линии не образуют единый наклон, следовательно пределом отношения приростов не существует.

Функция абсолютной величины является непрерывная, но от нее нельзя получить производную в точке x = 0, так наклон касательной приближается к различным значениям по разные стороны от данной точки.

Однако функция непрерывна в точке, она не обязательно дифференцирована в этой точке. Например, функция абсолютной величины y = | x | является неперрервною в точке x = 0, но не дифференцируема в этой точке. Если h положительное, тогда наклон секущей линии от 0 до h равен единице, если h отрицательное, тогда наклон секущей линии от 0 до h равна -1. На графике эту точку видно как "зубец" в точке x = 0. Также функции графику без "зубцов" не является дифференцированы в точке где касательная линия является вертикальная: например функция y = 3 x не является дифференцированная в точке x = 0.

Подведем итоги: чтобы получить производную от функции ? необходимое условие чтобы функция ? была непрерывной, но только этого недостаточно.

Большинство функций, встречающихся на практике имеют производные во всех точках, или почти во всех точках. Ранее в начале изучения математического анализа, многие математики предполагали, что непрерывная функция дифференцируема в большинстве точек. Для мягких условиях, например если есть монотонную функцию или Липщицову функцию эта формулировка справедливо. Однако в 1872 Вейерштрасс нашел первый пример функции, непрерывной всюду, но не дифференцированной в одной точке. Эта функция известна как Вейерштрасова. В 1931 году Стефан Банах доказал, что множество функций, имеющих производную хотя бы в какой-то точке есть множество первой категории в пространстве всех непрерывных функций. [1]


3. Обозначение

Производная обозначается как f ^ \ prime (x) , Что произносится "эф-штрих от икс".

Функция, имеющая конечное производную в точке x, называется дифференцированной в точке x.

Производная также сказывается, как отношение дифференциалов \ Frac {df} {dx} . В физике для обозначения производных по времени используют точку над переменной, например \ Dot {q} = \ frac {dq} {dt} .


3.1. Обозначение Лейбница

Обозначение производной предложенное Лейбницем было одним из первых. Оно широко используется до сих пор. Если выражение y = ? (x) рассматривается как функциональная зависимость между зависимой и независимой переменными. Тогда первая производная обозначается как:

\ Frac {dy} {dx} \ quad \ frac {df} {dx} (x), \; \; \ mathrm {or} \; \; \ frac {d} {dx} f (x),

производные высшего порядка обозначаются следующим образом

\ Frac {d ^ ny} {dx ^ n}, \ quad \ frac {d ^ nf} {dx ^ n} (x), \; \; \ mathrm {or} \; \; \ frac {d ^ n } {dx ^ n} f (x)

для производной n-го порядка y = ? (x) (по переменной x). Це является сокращение для многократного применения оператора производной. Например,

\ Frac {d ^ 2y} {dx ^ 2} = \ frac {d} {dx} \ left (\ frac {dy} {dx} \ right).

Через обозначение Лейбница мы можем записать производную функции y в точке x = a двумя различными способами:

\ Left. \ Frac {dy} {dx} \ right | _ {x = a} = \ frac {dy} {dx} (a).

Обозначение Лейбница позволяет указывать переменную дифференцирования (в знаменику). Это особенно важно для частичного дифференцировки. В таком обозначении также легче запомнить цепное правило :

\ Frac {dy} {dx} = \ frac {dy} {du} \ cdot \ frac {du} {dx}.

3.2. Обозначение Лагранжа

Обозначение Лагранжа одно из самых распространенных современных обозначений для дифференцировки, впервые использовал Жозеф-Луи Лагранж. Для обозначения производной используют знак штрих, таким образом производная функции ? (x) обозначается ? '(x) или просто ?' подобным образом вторая и третья производная обозначаются

(F ')' = f'' \, and (F'') '= f''' \,.

Начиная отсюда некоторые авторы применяют римские цифры:

f ^ {\ mathrm {iv}} \,

для четвертой производной, тогда как другие авторы ставят цифру порядка производной в скобки:

f ^ {(4)} \,

Последняя запись обобщает обозначения ? (n) для производной функции ? n-го порядка - такое обозначение особенно удобно когда мы говорим о производную как о функции, в этом случае применение обозначения Лейбница может быть слишком громоздким.


3.3. Обозначение Ньютона

Обозначение Ньютона для дифференцировки, также называется точечное обозначение, ставят точку над названием функции для обозначения производной. Если y = ? (t), тогда

\ Dot {y} и \ Ddot {y}

означает соответственно первую и вторую производную функции y по переменной t. Такое обозначение применяется почти исключительно для производных по времени, т.е. независимая переменная функции является время. Оно очень распространено в физике и математическим дисциплинам связанных с физикой, например дифференциальные уравнения. Хотя такое обозначение становится проблематичным в использовании для производных высокого порядка, на практике нужны только несколько первых производных.


4. Вычисление производной

Производную функции можно, теоретически, вычислять используя границу отношения приростов. На практике, достаточно знать производные ограниченного количества простых функций, тогда можно вычислить сложные случаи с помощью правил дифернециювання.

4.1. Производные простых функций

В большинстве случаев для того чтобы вычислить производную нужно знать производные определенных распространенных функций. Ниже приведен неполный перечень из производных некоторых важнейших функций одной действительной переменной.

f (x) = x ^ r \, ,

где r - любое действительное число, тогда

f '(x) = rx ^ {r-1} \, ,

для любых случаев, когда определенная функция. Например, если r = 1/2, тогда

f '(x) = \ frac {1} {2} x ^ {- \ tfrac12} \, .

здесь функция определена только для положительных x. Если r = 0, это правило повторяет правило константы.

\ Frac {d} {dx} e ^ x = e ^ x
\ Frac {d} {dx} a ^ x = \ ln (a) a ^ x
\ Frac {d} {dx} \ ln (x) = \ frac {1} {x}, \ qquad x> 0
\ Frac {d} {dx} \ log_a (x) = \ frac {1} {x \ ln (a)}
\ Frac {d} {dx} \ sin (x) = \ cos (x).
\ Frac {d} {dx} \ cos (x) = - \ sin (x).
\ Frac {d} {dx} \ tan (x) = \ sec ^ 2 (x) = \ frac {1} {\ cos ^ 2 (x)}.
\ Frac {d} {dx} \ arcsin (x) = \ frac {1} {\ sqrt {1-x ^ 2}}.
\ Frac {d} {dx} \ arccos (x) = - \ frac {1} {\ sqrt {1-x ^ 2}}.
\ Frac {d} {dx} \ arctan (x) = \ frac {1} {{1 + x ^ 2}}.

5. Пример нахождения производной по определению

Пусть имеется функция y = c, где c - некоторая константа. Тогда при любом x 0 и при любом Δx изменение (прирост) функции равна нулю, следовательно и производная такой функции равен нулю.

6. Производные высших (старших) порядков

Понятие производной произвольного порядка задается рекуррентным:

  • производная нулевого порядка - сама функция
  • производная n-го порядка для натурального n, что больше 0, - производная производной (n-1)-го порядка

Иногда вместо "производная n-го порядка" говорят "n-я производная".

Производная n-го порядка функции f обычно обозначается как f (n) (x)

  • если n малое (1, 2, 3) - то используется соответствующее рисков, f '(x), f'' (x), f''' (x), произносится как "эф-штрих от икс"; о второй - "эф-два-штрихи от икс".
  • Можно встретить историческое обозначение производной с помощью римской системы счисления (первая производная: f '(x), вторая: f II (x), шестнадцатая: f XVI (x)).
  • В физике также встречается обозначение производной второго порядка по времени в виде двух точек над переменной: \ Ddot {q} .

7. Геометрический смысл производной

Значение производной f '(x_0) функции f в точке x_0 равно значению углового кофициента касательной к кривой y = f (x) в точке с абсциссой x_0 .

Уравнение касательной к кривой y = f (x) в точке M ( x_0, y_0 ) Имеет вид:

y = f '(x_0) (x - x_0) + f (x_0) \!.

y = f (x) = tga


8. Физический смысл производной

Производная от пути по времени равна мгновенной скорости движения материальной точки.

См.. также

Nuvola apps edu mathematics blue-p.svg
В Википедии есть портал

Примечания

  1. Banach, S. (1931), "Uber die Baire'sche Kategorie gewisser Funktionenmengen", Studia. Math. (3): 174-179. . Cited by Hewitt, E and Stromberg, K (1963), Real and abstract analysis, Springer-Verlag, Theorem 17.8