Простые числа-близнецы

Простые числа-близнецы это пара простых чисел, разница между которыми составляет 2.

Наименьшими числами-близнецами являются: (3, 5), (5, 7), (11, 13), (17, 19), (29, 31), (41, 43), (59, 61), (71 , 73), (101, 103), (107, 109), (137, 139), (149, 151), (179, 181), (191, 193), (197, 199), (227, 229 ), (239, 241), (269, 271), (281, 283), (311, 313), (347, 349), (419, 421), (431, 433), (461, 463), (521, 523), (569, 571), (599, 601), (617, 619), (641, 643), (659, 661), (809, 811), (821, 823), (827 , 829), (857, 859), (881, 883)


1. Свойства

  • Все пары простых-близнецов кроме (3, 5) имеют вид 6n \ pm 1 \, .
Действительно для любой пары простых чисел-близнецов число, находящееся между ними является то четным. Также оно делится на 3, поскольку из трех последовательных чисел одно должно делиться на три. Поэтому данное число также делится на 6, а двое соседних чисел имеют вид 6n \ pm 1 \,
  • Числа m, m + 2 являются простыми числами-близнецами тогда и только тогда, когда:
Действительно 4 ((m-1)! + 1) \ equiv-m \ pmod {m (m +2)}.
Действительно 4 ((m-1)! + 1) + m \ equiv 0 \ pmod {m (m +2)}. выполняется в том и только том случае, когда выполняются равенства:
  • 4 ((m-1)! + 1) + m \ equiv 0 \ pmod {m}
  • 4 ((m-1)! + 1) + m \ equiv 0 \ pmod {(m +2)}
Первая из этих равенств эквивалентна ((M-1)! + 1) \ equiv 0 \ pmod {m} , Что согласно теоремой Уилсона выполняется тогда и только тогда, когда m простое число.
Во второй равенства домножимо обе части на m. После элементарных преобразований получаем:
  • 4m! + 4m + m ^ 2 \ equiv 0 \ pmod {(m +2)}
Нетрудно заметить, что последняя равенство выполняется в том и только том случае, когда m! \ Equiv 1 \ pmod {(m +2)} , Что согласно варианту теоремы Уилсона эквивалентно утверждению, что число m + 2 - простое.
  • Теорема Бруна: Ряд из чисел обратных к числам-близнецов сходится:
B_2 = \ left (\ frac {1} {3} + \ frac {1} {5} \ right) + \ left (\ frac {1} {5} + \ frac {1} {7} \ right) + \ left (\ frac {1} {11} + \ frac {1} {13} \ right) + \ left (\ frac {1} {17} + \ frac {1} {19} \ right) + \ ldots \ approx 1.902160583104
Число, являющееся суммой ряда называется константой Бруна.

2. Самые известные простые-близнецы

В настоящее время наибольшей известной парой простых-близнецов является 65516468355 ? 2 333333 ? 1. [1] [2] Шесть крупнейших известных пар:

  • 65516468355 \ cdot 2 ^ {333333} \ pm 1 (100 355 цифр)
  • 2003663613 \ cdot 2 ^ {195000} \ pm 1 (58711 цифр)
  • 194772106074315 \ cdot 2 ^ {171960} \ pm 1 (51780 цифр)
  • 100314512544015 \ cdot 2 ^ {171960} \ pm 1 (51780 цифр)
  • 16869987339975 \ cdot 2 ^ {171960} \ pm 1 (51779 цифр)
  • 33218925 \ cdot 2 ^ {169690} \ pm 1 (51090 цифр)

3. Гипотеза о бесконечности

Одним из знаменитых открытых проблем теории чисел является конечность или бесконечность простых-близнецов. Интуитивно большинство математиков склоняются к мысли о существовании бесконечного множества таких чисел однако этот факт остается доказанным.

3.1. Гипотеза Харди-Литлвуда

По гипотезе Харди-Литлвуда количество \ Pi_2 (x) пар простых-Близнюков, не превышающих x, асимптотически приближается к

\ Pi_2 (x) \ sim 2 C_2 \ int \ limits_2 ^ x \ frac {dt} {(\ ln t) ^ 2}

где C_2 - Константа простых-близнецов:

C_2 = \ prod_ {p \ ge 3} \ left (1 - \ frac {1} {(p-1) ^ 2} \ right) \ approx 0.66016118158468695739278121100145 \ ldots

4. Простые числа-триплеты

Последовательность простых чисел (p, p +2, p +6) или (p, p +4, p +6) называется триплетом.

Первые простые числа-триплеты:

(5, 7, 11), (7, 11, 13), (11, 13, 17), (13, 17, 19), (17, 19, 23), (37, 41, 43), (41 , 43, 47), (67, 71, 73), (97, 101, 103), (101, 103, 107), (103, 107, 109), (107, 109, 113), (191, 193 , 197), (193, 197, 199), (223, 227, 229), (227, 229, 233), (277, 281, 283), (307, 311, 313), (311, 313, 317 ), (347, 349, 353), (457, 461, 463), (461, 463, 467), (613, 617, 619), (641, 643, 647), (821, 823, 827), (823, 827, 829), (853, 857, 859), (857, 859, 863), (877, 881, 883), (881, 883, 887)

В настоящее время крупнейшими известными простыми числами-триплетами являются:

(P, p +2, p +6), где p = 2072644824759 ? 2 33333 - 1 (10047 цифр, ноябрь, 2008, Norman Luhn, Fran?ois Morain, FastECPP)


Примечания

  1. "News Archive" - www.primegrid.com / all_news.php # 188. PrimeGrid. 6 August 2009 . http://www.primegrid.com/all_news.php # 188 - www.primegrid.com / all_news.php # 188 . Проверено 2009-08-07 .
  2. "The Prime Database: 65516468355 * 2 ​​^ 333333-1" - primes.utm.edu / primes / page.php? id = 89650. Prime Pages. 13 August 2009 . http://primes.utm.edu/primes/page.php?id=89650 - primes.utm.edu / primes / page.php? id = 89650 . Проверено 2009-08-14 .