Рациональные числа

Рациональные числа - в математике множество рациональных чисел ℚ определяется как множество несократимой дроби с целым числителем и натуральным знаменателем :

\ Q = \ left \ {\ frac {m} {n}, m \ in \ Z, n \ in \ N \ right \}

или как множество решений уравнения

nx = m, \ quad n \ in \ N, \ quad m \ in \ Z ,

т.е. n - натуральное число, m - целое число.

Множество рациональных чисел является подмножеством алгебраических и действительных чисел.


1. Терминология

1.1. Формальное определение

Можно дать формальное определение рациональных чисел как множества классов эквивалентности пар \ Left \ {(m, \; n) \ mid m \ in \ Z, \; n \ in \ N \ right \} за отношением эквивалентности

(M, \; n) \ sim (m ', \; n') \ iff m \ cdot n '= m' \ cdot n.

При этом операции сложения и умножения определяются так:

  • \ Left (m_1, \; n_1 \ right) + \ left (m_2, \; n_2 \ right) = \ left (m_1 \ cdot n_2 + m_2 \ cdot n_1, \; n_1 \ cdot n_2 \ right)
  • \ Left (m_1, \; n_1 \ right) \ cdot \ left (m_2, \; n_2 \ right) = \ left (m_1 \ cdot m_2, \; n_1 \ cdot n_2 \ right).

1.2. Связанные определения

Правильным называется дробь, у которого модуль числителя меньше модуль знаменателю.

Дробь, который не является правильным, называется неправильным.

Например, дроби \ Frac {3} {5} , \ Frac {7} {8} и \ Frac {1} {2} являются правильными, а \ Frac {8} {3} , \ Frac {9} {5} и \ Frac {2} {1} являются неправильными.

Любое целое число можно представить в виде неправильной дроби со знаменателем 1.

Дробь, записан как целое и правильный дробь, называется смешанным дробью и рассматривается как сумма этого числа и дроби.

Например, 2 \ frac {3} {7} = 2 + \ frac {3} {7} = \ frac {14} {7} + \ frac {3} {7} = \ frac {17} {7} .

В строгом математической литературе запись в виде смешанного дроби преимущественно не используется из-за сходства обозначения смешанного дроби с обозначением произведения целого числа с дробью.


2. Свойства

2.1. Основные свойства

Для рациональных чисел выполняются шестнадцать основных свойств, которые можно получить из свойств целых чисел. [1]

  1. Упорядоченность. Для любых рациональных чисел a и b существует правило, которое позволяет однозначно идентифицировать между ними одно и только одно из трех отношений : " < "," > "Или" = ". Это правило называется правилом упорядочения и формулируется так: два неотрицательные числа a = \ frac {m_a} {n_a} и b = \ frac {m_b} {n_b} связаны тем же отношением, что и два целых числа m_a \ cdot n_b и m_b \ cdot n_a , Два недодатни числа a и b связаны тем же отношением, что и два неотрицательные числа \ Left | b \ right | и \ Left | a \ right | , Если же a неотъемлемое, а b - Отрицательное, то a> b .
    \ Forall a, b \ in \ Q ~ \ left (a <b \lor a> b \ lor a = b \ right)
    Добавление дробей
  2. Операция сложения. Для любых рациональных чисел a и b существует правило сложения, которое ставит им в соответствие определенное рациональное число c . При этом число c называется суммой чисел a и b и обозначается \ Left (a + b \ right) , А процесс нахождения такого числа называется сложением. Правило сложения выглядит так: \ Frac {m_a} {n_a} + \ frac {m_b} {n_b} = \ frac {m_a \ cdot n_b + m_b \ cdot n_a} {n_a \ cdot n_b} .
    \ Forall a, b \ in \ mathbb {Q} ~ \ exists \ left (a + b \ right) \ in \ Q
  3. Операция умножения. Для любых рациональных чисел a и b существует правило умножения, которое ставит им в соответствие определенное рациональное число c . При этом число c называется произведением чисел a и b и обозначается \ Left (a \ cdot b \ right) , А процесс нахождения такого числа называется умножением. Правило умножения выглядит так: \ Frac {m_a} {n_a} \ cdot \ frac {m_b} {n_b} = \ frac {m_a \ cdot m_b} {n_a \ cdot n_b} .
    \ Forall a, b \ in \ Q ~ \ exists \ left (a \ cdot b \ right) \ in \ Q
  4. Транзитивность отношения порядка. Для любой тройки рациональных чисел a , b и c если a меньше b и b меньше c , То a меньше c , А если a равна b и b равна c , То a равна c .
    \ Forall a, b, c \ in \ Q ~ \ left (a <b \ land b <c \ Rightarrow a <c \ right) \ land \ left (a = b \ land b = c \ Rightarrow a = c \ right)
  5. Коммутативности сложения. От перемены мест рациональных слагаемых сумма не меняется.
    \ Forall a, b \ in \ Q ~ a + b = b + a
  6. Ассоциативность сложения. Порядок добавления трех рациональных чисел не влияет на результат.
    \ Forall a, b, c \ in \ Q ~ \ left (a + b \ right) + c = a + \ left (b + c \ right)
  7. Существование нуля. Существует рациональное число 0 (ноль), не изменяет любое другое рациональное число при добавлении.
    \ Exists 0 \ in \ Q ~ \ forall a \ in \ mathbb {Q} ~ a +0 = a
  8. Существование противоположных чисел. Любое рациональное число имеет соответствующее противоположное рациональное число, при добавлении к которому образуется 0.
    \ Forall a \ in \ Q ~ \ exists \ left (-a \ right) \ in \ mathbb {Q} ~ a + \ left (-a \ right) = 0
  9. Коммутативности умножения. От перемены мест рациональных множителей произведение не меняется.
    \ Forall a, b \ in \ Q ~ a \ cdot b = b \ cdot a
  10. Ассоциативность умножения. Порядок умножения трех рациональных чисел не влияет на результат.
    \ Forall a, b, c \ in \ Q ~ \ left (a \ cdot b \ right) \ cdot c = a \ cdot \ left (b \ cdot c \ right)
  11. Существование единицы. Существует рациональное число 1, не меняет любое другое рациональное число при умножении.
    \ Exists 1 \ in \ Q ~ \ forall a \ in \ Q ~ a \ cdot 1 = a
  12. Существование обратных чисел. Любое рациональное число, не равна нулю, имеет соответствующее обратное рациональное число, умножения на которое дает 1.
    \ Forall a \ in \ Q ~ \ exists a ^ {-1} \ in \ Q ~ a \ cdot a ^ {-1} = 1
  13. Дистрибутивность умножения относительно сложения. Операция умножения согласована с операцией сложения с помощью распределительного закона:
    \ Forall a, b, c \ in \ Q ~ \ left (a + b \ right) \ cdot c = a \ cdot c + b \ cdot c
  14. Связь отношения порядка с операцией сложения. К левой и правой частей рациональной неровности можно добавлять одно и то же рациональное число.
    \ Forall a, b, c \ in \ Q ~ a <b \ Rightarrow a + c <b + c
  15. Связь отношения порядка с операцией умножения. Левую и правую части рациональной неравенства можно умножать на одно и то же положительное рациональное число.
    \ Forall a, b, c \ in \ Q ~ c> 0 \ land a <b \ Rightarrow a \ cdot c <b \ cdot c
  16. Аксиома Архимеда. Каким бы ни было рациональное число a , Можно взять столько единиц, что их сумма будет больше a .
    \ Forall a \ in \ Q ~ \ exists n \ in \ N ~ \ sum_ {k = 1} ^ {n} 1> a

2.2. Дополнительные свойства

Остальные свойства рациональных чисел входят в основные, потому что они не опираются на свойства целых чисел, а могут быть доказаны с использованием основных свойств или по определению определенного математического объекта. Таких свойств очень много, вот некоторые из них:

  • Второе отношение порядка "> "также транзитивно.
    \ Forall a, b, c \ in \ Q ~ a> b \ land b> c \ Rightarrow a> c
  • Произведение любого рационального числа на ноль равен нулю.
    \ Forall a \ in \ Q ~ a \ cdot 0 = 0
  • Рациональные неравенства одного знака можно почленно добавлять.
    \ Forall a, b, c, d \ in \ Q ~ a> b \ land c> d \ Rightarrow a + c> b + d
  • Множество рациональных чисел \ Q есть полем относительно операций сложения и умножения дробей.
    \ Left (\ Q, +, \ cdot \ right) - Поле
  • Каждое рациональное число является алгебраическим.
    \ Q \ subset \ mathbb {A}

3. Зличеннисть

Счетное множество - в теории множеств такая бесконечное множество, элементы которой можно занумеровать числами. Легко доказать, что множество рациональных чисел Счетное. Для этого достаточно привести алгоритм, который нумерует рациональные числа, т.е. устанавливает биекции между множествами рациональных и натуральных чисел. Иллюстрация изображает один из вариантов этого алгоритма. Существуют и другие способы занумеровать рациональные числа. Например, для этого можно использовать ряд Фаре.


4. Сноски

  1. В. А. Ильин, В. А. Садовничий, Бл. Х. Сендов. Глава 2. Вещественные числа / / Математический анализ / Под ред. А. Н. Тихонова. - 3-е изд., Перераб. и доп. - М.: Проспект, 2006. - Т. 1. - С. 30 - 31. - ISBN 5-482-00445-7

См.. также


Сигма Это незавершенная статья по математики.
Вы можете помочь проекту, исправив и дополнив ее.

Статьи по математики, связанные с числами

Число | Натуральные числа | Целые числа | Рациональные числа | Иррациональные числа | Constructible numbers | Алгебраические числа | Трансцендентные числа | Computable numbers | Действительные числа | Комплексные числа | Двойные числа | Дуальные числа | Бикомплексни числа | Гиперкомплексные числа | Кватернионы | Октонионы | Седенионы | Superreal numbers | Hyperreal numbers | Surreal numbers | Nominal numbers | Ординальни числа | Кардинальные числа | P-адични числа | последовательности натуральных чисел | Математические константы | Большие числа | Бесконечность