Надо Знать

добавить знаний



Система координат



План:


Введение

Система координат - способ задания точек пространства с помощью чисел. Количество чисел, необходимых для однозначного определения любой точки пространства, определяет его размерность. Обязательным элементом системы координат является начало координат - точка, от которой ведется отсчет расстояний. Другим обязательным элементом является единица длины, которая позволяет отсчитывать расстояния. Все точки одномерного пространства можно задать при выбранном начала координат одним числом. Для двумерного пространства необходимы два числа, для трехмерного - три. Эти числа называются координатами.

Координаты на плоскости и в трехмерном пространстве можно задавать бесконечным числом различных способов. Решая ту или иную математическую или физическую задачу методом координат, можно использовать различные координатные системы, выбирая ту из них, в которой задача решается проще или удобнее в данном конкретном случае.

Декартовы координаты на плоскости

Системы координат в элементарной геометрии - величины, определяющие положение точки на плоскости и в пространстве. На плоскости положение точки зачастую определяется расстояниями от двух прямых ( координатных осей), пересекающихся в одной точке (начале координат) под прямым углом, одна из координат называется ординатой, а другая - абсциссой. В пространстве по системе Декарта положение точки определяется расстояниями от трех плоскостей координат, пересекаются в одной точке под прямыми углами друг к другу, или сферическими координатами, где начало координат находится в центре сферы.

Для того, чтобы получить доступное разъяснение, обратитесь к статье Системы координат в элементарной математике


1. История

Развитие систем координат в истории человечества связан как с математическими задачами, так и с практическими проблемами искусства навигации, опиравшейся на картографию и астрономию. Известную систему координат, прямоугольную, предложил Рене Декарт в 1637 году. Понятие о полярную систему координат в европейской математике сложилось примерно в эти времена, но первые увляння о ней существовали еще в Древней Греции, в в средневековых арабских математиков, которые разрабатывали методы расчета направлении Каабу.

Становление понятия систем координат привело к развитию новых разделов геометрии: аналитической, проективной, начертательной.


2. Декартова система координат

Наиболее распространенной системой координат в математике есть декартова система координат, названная так в честь Рене Декарта. Декартова система координат задается началом координат и тремя векторами, которые определяют направление координатных осей. Каждая точка пространства задается числами, доринюють расстоянии от данной точки до координатных плоскостей.

Координаты декартовой системы на полощини принято обозначать (X, y) , В пространстве (X, y, z) .

Различные декартовы системы координат связаны между собой аффинные преобразования : смещением и поворотами.


3. Криволинейные системы координат

Полярная система координат на плоскости

Исходя из декартовой системы координат, можно определить криволину систему координат, то есть, например, для трехмерного пространства числа (X ^ 1, x ^ 2, x ^ 3) , Связанных с декартовыми координатами (X, y, z) спивидношеннямы:

x ^ 1 = x ^ 1 (x, y, z), \ qquad x ^ 2 = x ^ 2 (x, y, z), \ qquad x ^ 3 = x ^ 3 (x, y, z) ,

где все функции однозначны и непрерывно дифференцированные, причем якобиан :

\ Frac {\ partial (x ^ 1, x ^ 2, x ^ 3)} {\ partial (x, y, z)} \ neq 0 .

Примером криволинейной системы координат на плоскости является полярная система координат, в которой положение точки задается двумя числами: расстоянием \ Rho между точкой и началом координат, и углом \ Varphi между лучом, который соединяет начало координат с точкой и выбранной осью. Декартовы и полярные координаты точки связаны между собой формулами:

x = \ rho \ sin \ varphi ,
y = \ rho \ cos \ varphi ,

Для трехмерного пространства популярные цилиндрическая и сферическая системы координат. Так, положение самолета в пространстве можно задать тремя числами: высотой, расстоянием до точки на поверхности Земли, над которой он пролетает, и углом между направлением на самолет и направлением на север. Такое задание соответствует цилиндрической системе координат, Альтернативно, положения самолета можно задать расстоянием до него и двумя углами: полярным и азимутальные. Такое задание соответствует сферической системе координат.

Разнообразие систем координат не исчерпывается приведенными. Существует очень много криволинейных систем координат, удобных для использования при решении той или иной математической задачи.


3.1. Свойства

Каждое из уравнений x ^ i = x ^ 1 (x, y, z) = \ text {const} , Задает координатную плоскость. Пересечение двух координатных плоскостей с различными i задает координатную линию. Каждая точка пространства определяется пересечением трех координатных плоскостей.

Важными характеристиками криволинейных систем координат является длина элемента дуги и элемента объема в них. Эти величины используются при интегрировании. Длина элемента дуги задается квадратичной формой:

ds 2 = dx ^ 2 + dy ^ 2 + dz ^ 2 = \ sum_ {j = 1} ^ 3 \ sum_ {k = 1} ^ 3 g_ {ik} (x ^ 1, x ^ 2, x ^ 3 ) dx ^ j dx ^ k ,

где

g_ {jk} (x ^ 1, x ^ 2, x ^ 3) = \ left [\ frac {\ partial x} {x ^ j} \ frac {\ partial x} {x ^ k} + \ frac {\ partial y} {x ^ j} \ frac {\ partial y} {x ^ k} + \ frac {\ partial z} {x ^ j} \ frac {\ partial z} {x ^ k} \ right] _ { (x ^ 1, x ^ 2, x ^ 3)}

g_ {jk} являются компонентами метрического тензора.

Элемент объема равен в криволинейной системе координат

dV = \ frac {\ partial (x ^ 1, x ^ 2, x ^ 3)} {\ partial (x, y, z)} dx ^ 1 dx ^ 2 dx ^ 3 .

Квадрат якобиана равен детерминанту от метрического тензора:

\ Left (\ frac {\ partial (x ^ 1, x ^ 2, x ^ 3)} {\ partial (x, y, z)} \ right) ^ 2 = \ det [g_ {jk}] = g .

Система координат называется правой, если касаются координатных линий, направлены в сторону роста соответствующих координат, образуют правую тройку векторов.

При описании векторов в криволинейной системе координат удобно пользоваться локальным базизом, определенным в каждой точке.


4. В географии

В географии и картографии положение на местности определяется тремя числами: широтой, долготой и высотой над известным общим уровнем (чаще, океана). Первые два числа являются углами, и определения расстояний за ними опирается на известное значение радиуса Земли.

На картах обычно обозначаются линии параллелей и меридианов, а также масштаб, за которым удобно определять расстояния. Вистота над уровнем моря приводится изогипс (горизонталями).


5. В астрономии

Небесная сфера: Z - зенит, Z '- надир, Р, Р' - полюса мира, РР '- ось мира, W-запад, E - восток

В астрономии Системы координат - величины, с помощью которых определяется положение звезды, например, прямое подъема и Склонение (астрономия). Небесные координаты - числа, с помощью которых определяют положение светил и вспомогательных точек на небесной сфере. В астрономии употребляют различные системы небесных координат. Каждая из них по сути является системой сферечних координат на сфере с соответствующим образом выбранным полюсом. Системе небесных координат задают большим кругом небесной сферы (или его полюсом, удаленным на 90 ? от любой точки этого круга) с указанием на нем начальной точки отсчета одной из координат. В зависимости от выбора этого круга системы небесных координат называлась горизонтальной, экваториальной, эклиптической и галактической.


6. В физике

Описуюючы движение физических тел, физика использует понятие системы отсчета. Система отсчета требует кроме задания пространственной системы координат, дополнительного числа, которым измеряется время. Три пространственных и одно временное координата образуют так называемый пространство-время. Начало отсчета системы координат в физике обычно связывается с каким-то телом, в выбранной системе координат считается неподвижным. Избрание начала координат не является однозначным. Так, например, можно выбрать за начало координат центр Земли. Тогда Земля будет считаться неподвижной. Однако, можно выбрать за начало координат центр Солнца, и в этой системе координат Земля будет двигаться по эллиптической орбите.

Общий принцип физики, принцип относительности, требует, чтобы формулировка всех физических законов не зависело от выбранной системы отсчета. Это положение лежит в основе теории относительности. Другим важным положением теории относительности является принцип близкодействия, согласно которому существует максимальная скорость передачи сигналов, которую называют скоростью света. Значения скорости света, как и требует принцип видностности, не зависит от системы отсчета.


7. Смотрите также

Nuvola apps edu mathematics blue-p.svg
В Википедии есть портал

Источники

  • Корн Г., Корн Т. Справочник по матиматике М., Наука, 1974. - 832 с. (С. 519) (Рус.)


Сигма Это незавершенная статья по математики.
Вы можете помочь проекту, исправив и дополнив ее.


Земля Это незавершенная статья по географии.
Вы можете помочь проекту, исправив и дополнив ее.

код для вставки
Данный текст может содержать ошибки.

скачать

© Надо Знать
написать нам