Надо Знать

добавить знаний



Система счисления



План:


Введение

Двоичная
система
Шестнадцатеричная
система
Десятичная
система
00000 00 00
00001 01 01
00010 02 02
00011 03 03
00100 04 04
00101 05 05
00110 06 06
00111 07 07
01000 08 08
01001 09 09
01010 0A 10
01011 0B 11
01100 0C 12
01101 0D 13
01110 0E 14
01111 0F 15
10000 10 16
10001 11 17
10010 12 18
10011 13 19
10100 14 20
10101 15 21
10110 16 22
10111 17 23
11000 18 24
11001 19 25
11010 1A 26
11011 1B 27
11100 1C 28
11101 1D 29
11110 1E 30
11111 1F 31

Система счисления ( англ. number (numeration) system, notation ) - Совокупность способов и средств записи чисел для проведения расчетов.

Различают следующие типы систем счисления:

  • позиционные
  • смешанные
  • непозиционные

1. Позиционная система

В позиционных системах счисления один и тот же цифра (числовой знак) в записи числа приобретает различные значения в зависимости от своей позиции. Таким образом, позиция цифры имеет вес в числе. В основном вес каждой позиции кратна некоторому натуральному числу b , b> 1 , Которое называется основанием системы счисления.

Например, если b - натуральное число ( b> 1 ), То для представления числа x в системе счисления b его представляют в виде линейной комбинации степеней числа b:

x = \ sum_ {k = 0} ^ n a_k b ^ k , Где a_k - Цели, 0 \ leq a_k <b

Иными словами, основа - это количество символов, используемых при записи чисел.

Пример

Например, число "двести четыре" представляется в десятичной системе счисления в виде:

204 = 2 \ cdot 10 ^ {2} + 0 \ cdot 10 ^ {1} + 4 \ cdot 10 ^ {0}

Используя позиционный принцип, можно изобразить любое действительное число с помощью всего лишь десяти цифр в их различных комбинациях.


2. Смешанная система

Смешанная система счисления является обобщением системы счисления b и ее часто относят к позиционных систем счисления. Основой смешанной системе является последовательность чисел, растет, \ {B_k \} _ {k = 0} ^ {\ infty} и каждое число x представляется как линейная комбинация :

x = \ sum_ {k = 0} ^ n a_ {k} b_k , Где коэффициенты a_ {k} (Цифры) накладываются некоторые ограничения.

Если b_k = b ^ k для некоторого b , То смешанная система совпадает с b -Основной системой счисления.

Самым известным примером смешанной системы счисления является представление времени в виде количества суток, часов, минут и секунд. При этом величина d дней h часов m минут s секунд соответствует значению d \ cdot 24 \ cdot 60 \ cdot 60 + h \ cdot 60 \ cdot 60 + m \ cdot 60 + s секунд.


2.1. Система счисления Фибоначчи

Представление основывается на числах Фибоначчи :

x = \ sum_ {k = 0} ^ n f_k F_k , Где F_k - Числа Фибоначчи, f_k \ in \ {0,1 \} , При этом в записи f_nf_ {n-1} \ dots f_0 не встречаются две единицы подряд.

2.2. Факториальная система счисления

Представление использует факториал натуральное чисел:

x = \ sum_ {k = 1} ^ n d_k k! , Где 0 \ leq d_k \ leq k .

2.3. Биноминальная система счисления

Представление использует биномиальные коэффициенты :

x = \ sum_ {k = 1} ^ n {c_k \ choose k} , Где 0 \ leq c_1 <c_2 <\ dots <c_n .

2.4. Система счисления майя

Майя использовали двадцяткову систему счисления за одним исключением: во втором разряде было не 20, а 18 ступеней, т.е. после числа (17) (19) сразу шло число (1) (0) (0). Это было сделано для облегчения расчетов календарного цикла, поскольку (1) (0) (0) равно 360, что примерно равно количеству дней в солнечном году.

3. Непозиционные системы

В непозиционных системах счисления величина, которую обозначает цифра, не зависит от позиции ее в числе. При этом система может накладывать ограничения на позиции цифр, например, чтобы они были расположены по убыванию, или сгруппированные по значению. Однако это не является принципиальным условием для понимания записанных такими системами чисел.

Типичным примером непозиционной системы счисления является римская система счисления, в которой в качестве цифр используются латинские буквы:

Римская цифра Десятичное значение
I 1
V 5
X 10
L 50
C 100
D 500
M 1000

Например, VII = 5 + 1 + 1 = 7. Здесь символы V и I означают 5 и 1, соответственно, независимо от места их в числе.


4. Применение

В нумизматике особенно большой вес имеют десятичная система, двенадцатеричную ( дуодецимальна), четвертная и шисткова системы. В информационных технологиях применяются двоичная, десятичная, восьмеричная и шестнадцатеричная системы.


См.. также


Литература


Сигма Это незавершенная статья математики.
Вы можете помочь проекту, исправив и дополнив ее.

Данный текст может содержать ошибки.

скачать

© Надо Знать
написать нам