Система уравнений

Система уравнений - набор двух и более уравнений, заданных функциями многих переменных, которые должны удовлетворяться одновременно. Систему уравнений можно записать в общем виде:

\ Left \ {\ begin {matrix} F_1 (x_1, x_2, \ ldots, x_M) = 0 \ \ F_2 (x_1, x_2, \ ldots, x_M) = 0 \ \ \ ldots \ \ F_N (x_1, x_2, \ ldots, x_M) = 0 \ end {matrix} \ right.

Решением системы уравнений называется набор чисел x_1, x_2, \ ldots, x_M , Которые удовлетворяют всем уравнениям, т.е. при подстановке их в уравнение все равенства превращаются в тождества.

Система уравнений может иметь или не иметь решений. Этих решений может быть один, несколько или бесконечно много. Нестрого, для определения значений N переменных нужно иметь по крайней мере N уравнений.


Решение системы уравнений

В простейшем случае системы линейных уравнений методы решения хорошо разработаны, а вот для системы нелинейных уравнений общих подходов не существует. Каждая система особенная и требует особого анализа. Метод подстановки и изъятия заключается в том, чтобы выбрать одно из уравнений, выразить одну переменную в нем через другие переменные и подставить это выражение в другие уравнения. При этом количество уравнений уменьшится. Продолжая эту процедуру, можно свести систему уравнений к одному уравнению. Впрочем, такая процедура не всегда возможна, поскольку не для каждого уравнения можно найти аналитическое решение. Ситуация осложняется еще и тем, что решения отдельных уравнений могут быть неоднозначны.

Иногда помогает итерационный метод. Для его применения требуется переписать систему испытывая в форме задачи о неподвижную точку. Это можно сделать разными способами, и от удачного выбора зависит сходимость итерационного процесса. Недостатком метода является то, что им можно найти только одно решение. Если система имеет несколько решений, то каждая неподвижная точка имеет свой бассейн притяжения, т.е. найденное решение зависит от выбора начальной точки.

Некоторое программное обеспечение, базирующееся на интервальных вычислениях, в частности бесплатный interalg, способное находить все решения системы уравнений в заданном регионе lb i <= x i <= ub i