Случайная величина

Случайная величина - одно из основных понятий теории вероятностей [1].


1. Определение

Множество \ Left \ {x = X \ right \} элементарных событий представляет собой возможные значения случайной величины X \, , Называется областью значений этой величины. [3]


2. Свойства

Случайная величина X - это измеримая функция, определенная на данном мерном пространстве (\ Omega, \ mathcal {F}) , То есть, она определяется путем сопоставления каждой элементарного события с некоторым действительным числом. Более формально:

X: \ Omega \ rightarrow \ mathbb {R} называется случайной величиной, если \ Forall A \ sub \ mathcal B (\ mathbb {R}) \ \ X ^ {-1} (A) \ sub \ mathcal {F} , Где \ Mathcal B (\ mathbb {R}) - \ Sigma -Алгебра Борелевих множеств на \ Mathbb {R} .

Пусть x 1, x 2,... - значение случайной величины X. Одно и то же значение x j может соответствовать, вообще говоря, различным элементарным событиям. Множество всех этих элементарных событий образует сложенную случайное событие, заключающееся в том, что X = x j. Вероятность этого события обозначается P \ {\ mathbf {X} = x_j \} . Система уравнений:

P \ {\ mathbf {X} = x_j \} = f (x_j)

определяет распределение вероятностей (следует отличать от функции распределения вероятностей) случайной величины X.

Очевидно, что:

f (x_j) \ ge 0 и \ Sum f (x_j) = 1 .

Если две или более случайных величины X 1, X 2,..., X n определены на одном пространстве элементарных событий, то их совместное распределение задается системой уравнений, в которых всем комбинациям \ Mathbf {X} _1 = x_ {j_1} , \ Mathbf {X} _2 = x_ {j_2} и т.д. назначаются определенные вероятности.

Случайные величины называются независимыми, если для произвольной комбинации значений x_ {j_1} , x_ {j_2} , ..., x_ {j_n} выполняется равенство:

P \ {\ mathbf {X} _1 = x_ {j_1} \ mathbf {X} _2 = x_ {j_2} \ dots, \ mathbf {X} _n = x_ {j_n} \} = P \ {\ mathbf { X} _1 = x_ {j_1} \} P \ {\ mathbf {X} _2 = x_ {j_2} \} \ dots P \ {\ mathbf {X} _n = x_ {j_n} \}

То есть, если X k зависит только от k-го испытания, то случайные величины X 1, X 2,..., X n взаимно независимы.


3. Вероятность случайной величины

  • Вероятность случайной величины X \, равна интегралу вероятностей взятом по ее области значений: [4]
P (X) = P (x_ {min} <X <x_ {max}) = P (z_ {1} <Z <z_ {2}) = \ frac {1} {2 \ pi} \ int_ {z_1} ^ {z_2} e ^ {- {z ^ 2} / {2}} dz

где

z_ {1} = \ frac {x_ {min} - \ mu} {\ sigma} ; z_ {2} = \ frac {x_ {max} - \ mu} {\ sigma} - Предельные значения нормируемой величины Z \, ;
\ Mu \, - Это среднее значение величины X \, ;
\ Sigma \, - стандартное отклонение этой величины.

4. Особенность

  • Среди всех случайных величин самый степень доверия имеет размах [5].
  • Случайные величины, принимают значения от - \ Infin в \ Infin , В практической деятельности человека встречаются [6].

См.. также


5. Источники информации

  1. Сеньо П.С. (2007). Теория вероятностей и математическая статистика (изд. 2-е, перераб. и доп.). Киев: Знание. с. 446. С. 91.
  2. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров. - М.: Наука. - 1968. - С. 484.
  3. Пряха Б.Г. О числовые характеристики результатов измерений / / Новейшие достижения геодезии, геоинформатики и землеустройства - Европейский опыт. - Чернигов: ЧДИЕУ, 2008. - С. 97-108.
  4. Пряха Б. Оценка средних значений / / Современные достижения геодезической науки и производства, 2007, выпуск I (13): Сб. наук. пр. - М.: Издательство Национального университета "Львовская политехника". - С. 140-145.
  5. Пряха Б.Г., Белецкий Я.В. О точности геодезических измерений / / Вестник геодезии и картографии. - 2003. № 3 (30). - С. 43-49.
  6. Белецкий Я.В., Пряха Б.Г. О дисперсии геодезических измерений / / Новейшие достижения геодезии, геоинформатики и землеустройства - Европейский опыт. - Чернигов: КП "Издательство" Черниговские обереги ?, 2005. - С. 55-57.

Литература

  • В. Феллер (1964). Введение в теорию вероятностей и ее приложения, т. 1. М.: Мир.



Сигма Это незавершенная статья математики.
Вы можете помочь проекту, исправив и дополнив ее.