Сопротивление материалов

Модель поведения стержня (балки) под действием нагрузки

Сопротивление материалов - наука о инженерные методы расчета на прочность, жесткость и устойчивость элементов конструкций, машин и сооружений. Сопротивление материалов относится к фундаментальным дисциплинам общеинженерной подготовки специалистов по выше техническим образованием.

Это первая дисциплина, устанавливающая связь между фундаментальными научными дисциплинами ( физика, высшая математика и теоретическая механика) и прикладными задачами и методами их решения, возникающих при проектировании машин и механизмов, гражданских и промышленных сооружений, мостов, линий электропередач, летательных аппаратов и реактивной техники. Практически все специальные дисциплины подготовки инженеров по разным специальностям содержат разделы курса сопротивления материалов, поскольку создание работоспособного новой техники невозможно без анализа и оценки ее прочности, жесткости и устойчивости.


1. Задача дисциплины и объект изучения

Задачей сопротивления материалов, как одного из предметов прикладной механики, основывается на положениях механики деформируемого твердого тела является расчет на прочность через определение деформаций и напряжений в твердом упругом теле, которое подвергается силовой или тепловом воздействии.

Типичными задачами прочностных являются:

  • задача анализа (проверка прочности и жесткости): при заданных нагрузках определить напряжения и деформации и проверить, не превышают ли они допустимых значений;
  • задача синтеза (проектировочные расчеты): подбор материалов и определение размеров элементов конструкций при заданных нагрузках;
  • расчет грузоподъемности: при заданных параметрах конструкции определения предельных или разрушительных нагрузок.

Это задачи среди других рассматривается в курсе теории упругости. Однако методы решения этой общей задачи в этих курсах существенно отличаются друг от друга. Сопротивление материалов решает ее главным образом для бруса ( стержня, балки или вала), основываясь на ряде гипотез геометрического и физического характера. Такой метод позволяет получить, хотя и не во всех случаях достаточно простые но вполне точные формулы для вычисления напряжений или деформаций. В сопротивлении материалов к брусьям могут быть отнесены и такие строительные конструкции, как многометровые колонны зданий, балки перекрытия, пояса, стойки и раскосы ферм, и (для сравнения) игла бытовой швейной машины.

Поэтому, объектом изучения в сопротивлении материалов является напряженно-деформированное состояние и работоспособность конструкций и ее элементов, форма которых может быть приведена к форме бруса (стержня, балки вала).

Как правило, именно через оценочный характер результатов, получаемых с помощью математических моделей этой дисциплины, при проектировании реальных изделий все прочностные характеристики материалов или размеры конструкций выбираются с существенным запасом (в несколько раз относительно результата, полученного при расчетах, но обычно не более, чем в 9 раз).


2. Реальный объект и расчетная схема

Полный учет всех свойств реального объекта при его расчете принципиально невозможно из-за бесконечное их сложность. Поэтому первым шагом при анализе работы конструкции является упрощение задачи. Реальный объект заменяют расчетной схеме.

Чтобы выбрать расчетную схему, надо из множества внешних воздействий, геометрических особенностей объекта и физических свойств материала выделить существенные в этом задании и отбросить те, мало влияющие на результат анализа. Степень упрощения зависит от требуемой точности, математических возможностей, а также от того, какая сторона явления рассматривается в задаче.

При выборе расчетной схемы приходится идеализировать геометрические параметры объекта, физические свойства материала, внешнее воздействие, опоры и вязи.


3. Методы науки

Методы сопротивления материалов характеризуются:

  • экспериментально-теоретическим подходом к решению задач;
  • применением законов физики, механики и математического аппарата;
  • широким использованием предпосылок, упрощают решение задачи, базирующиеся на определенном перечне гипотез.

4. Основные гипотезы и принципы сопротивления материалов

Важным шагом при выборе расчетной схемы является описание механических свойств материала. Отказ от понятия жесткого тела требовала введения гипотез, описывающих эти свойства. Нет такой физической модели, которая бы полностью отражала поведение всех материалов. Для одних пригодны одни допущения, для других - другие. Однако есть некоторые общие гипотезы и принципы, используют их в большинстве задач сопротивления материалов.

4.1. Гипотезы

Для построения теории сопротивления материалов вводят некоторые гипотезы относительно структуры и свойств материалов, а также о характере деформаций.

  1. Гипотеза об однородности и изотропность. Материал считается однородным и изотропным, то есть в любом объеме и в любом направлении свойства материала считаются одинаковыми. Хотя кристаллы, из которых состоят металлы, анизотропные, однако их хаотичное расположение позволяет макрообьемы металлов считать изотропными. Иногда предположение о изотропии неприемлемо, например для древесины, свойства которой вдоль и поперек волокон отличаются.
  2. Гипотеза о целостность материала. Предполагается, что материал сплошь заполняет форму тела. Атомистическая теория дискретной строения вещества не учитывается.
  3. Гипотеза о малости деформаций. Предполагается, что деформации малы по сравнению с размерами тела. Это позволяет основном пренебрегать изменениями в расположении внешних сил относительно отдельных частей тела и составлять уравнения статики для недеформированной состояния тела. Малые относительные деформации рассматриваются как бесконечно малые величины.
  4. Гипотеза об идеальной упругость материала. Предполагается, что все тела абсолютно упругие. Отклонение от идеальной упругости, всегда наблюдаются для реальных тел, несущественные и игнорируются до определенных пределов деформирования. Большинство задач сопротивления материалов решают в предположении линейно деформируемого тела, при котором справедлив закон Гука, что вдображае прямую пропорциональность между деформациями и нагрузкой.
  5. Гипотеза Бернулли о плоские сечения. Поперечные сечения, были плоскими и нормальными к оси стержня до приложения нагрузки, остаются плоскими и нормальными к его оси после деформации.

4.2. Принципы

  1. Принцип независимости и добавления действия сил (принцип суперпозиции). Усилия в любом элементе кострукции, вызванные различными факторами, равны сумме усилий, вызванные каждым из этих факторов, и не зависят от порядка их приложения. Это справедливо и в отношении деформаций.
  2. Принцип Сен-Венана. В сечениях, достаточно удаленных от мест приложения нагрузки, деформация тела не зависит от конкретного способа погрузки и определяется только статическим эквивалентом нагрузки.

5. Виды деформаций

Вследствие действия нагрузки или изменения температуры реальные тела деформируются, т.е. изменяют свои форму и размеры. При деформировании тела его точки перемещаются в пространстве относительно своего исходного положения.

При погрузке твердого тела в нем возникают внутренние силы взаимодействия между частицами, которые противодействуют внешним силам. Деформации бывают упругие, т.е. такие, которые исчезают после прекращения действия сил, вызвавших их, и пластические (остаточные), - те, что не исчезают.

При увеличении нагрузки внутренние силы также растут, но до определенного предела, которая зависит от свойств материала. Наступает момент, коли уж тело не способно сопротивляться росту нагрузки. Тогда оно разрушается.

Пример деформации растяжения стержня

В сопротивлении материалов изучают следующие основные виды деформаций стержня: растяжение-сжатие, сдвиг (срез), кручение и изгиб. Рассматриваются и более сложные виды деформаций, получаемых сочетанием перечисленных.


5.1. Деформация растяжения-сжатия

Растяжение или сжатие возникает тогда, когда к стержню вдоль оси приложены противоположно направленные силы. При этом происходит перемещение сечений вдоль оси стержня при растяжении удлиняется а при сжатии укорачивается. Изменение Δl исходной длины l называют абсолютным удлинением при растяжении (абсолютным укорочением при сжатии). Отношение абсолютного удлинения (укорочения) Δl к исходной длины l стержня называют средним относительным удлинением и, как правило обозначают ε

\ Epsilon = \ frac {\ Delta l} {l}

На растяжение или сжатие работают многие элементы конструкций: стержни ферм, колонны, штоки поршневых машин, стяжные винты и т.д..


5.2. Деформация сдвига (среза)

Деформация сдвига

Смещение или срез возникает тогда, когда внешние силы смещают два параллельных плоских сечения друг друга при неизменном расстоянии между ними. Смещение а (см. рис.) Называют абсолютным смещением. Отношение абсолютного сдвига к расстоянию h между плоскостями, смещаются (тангенс угла γ) называют относительным смещением. Вследствие малости угла γ при упругих деформациях его тангенс считают равным углу перекоса рассматриваемого элемента

\ Gamma = \ frac {a} {h}

Относительное смещение является угловой деформацией, которая характеризует перекос элемента. На сдвиг и срез работают заклепки и болты, скрепляющие элементы, внешние силы пытаются сдвинуть друг друга.


5.3. Деформация кручения

Деформация кручения

Кручение возникает при действии на стержень внешних сил, которые образуют момент относительно оси стержня (см. рис.). Деформация кручения сопровождается поворотом сечений стержня относительно друг друга вокруг его оси. Угол поворота одного сечения стержня относительно другого, находящегося на расстоянии l, называют углом закручивания на длине l. Отношение угла закручивания α к длине l называют относительным углом закручивания:

\ Theta = \ frac {\ alpha} {l}

На кручение работают валы, шпиндели станков и др..


5.4. Деформация гибки

Деформация изгиба балки

Деформация изгиба (см. рис.) Заключается в искривлении оси прямого стержня или в изменении кривизны кривой стержня. В прямых стержнях перемещения точек δ направленных перпендикулярно к исходному положению оси, называют прогибами. На изгиб работают оси железнодорожных вагонов, рессоры, зубы шестерен, балки межэтажных перекрытий, рычаги и др..