Сумма

Сумма ( лат. summa ) - Результат операции добавления.

Например, в выражении

4 + 5 = 9

9 является суммой, а числа 4 и 5 называются слагаемыми.

Сумма обозначается знаком + ( плюс).

Для обозначения суммы членов последовательности используется символ \ Sum , Например

\ Sum_ {i = 1} ^ N a_i = a_1 + a_2 + \ ldots a_N .

Если последовательность бесконечна, то такая сумма называется числовым рядом и обозначается

\ Sum_ {i = 1} ^ \ infty a_i .

В алгебраическое выражение могут входить члены, знаки которых заранее не определены. То есть для определенных членов выражения выполняется операция сложения, для других - вычитание. Поэтому выражение общего вида, в который входят операции сложения и вычитания называют алгебраической суммой. Например,

5 - 4 = 5 + (-4)
a-b = a + (-b)

1. Определенная сумма

Часто для сокращения сумму с n слагаемых a k, a k ​​+1,..., a N обозначают большой греческой буквой Σ (сигма):

a_k + a_ {k +1} + ... + A_N = \ sum_ {i = k} ^ N a_i

Это обозначение называется определенной (конечно) суммой a i по i от k до N.
Для удобства вместо \ Sum_ {i = k} ^ Na_i иногда пишут \ Sum_ {P (i)} ^ {} a_i , Где P (i) \ - Некоторое отношение для i \ , Таким образом \ Sum_ {P (i)} ^ {} a_i это конечная сумма всех a_i \ , Где i \ in Z: P (i) \
Свойства определенной суммы:

  1. \ Left (\ sum_ {i = k_1} ^ {k_2} a_i \ right) \ left (\ sum_ {j = p_1} ^ {p_2} b_j \ right) = \ sum_ {i = k_1} ^ {k_2} \ left (\ sum_ {j = p_1} ^ {p_2} a_ib_j \ right)
  2. \ Sum_ {i = k_1} ^ {k_2} \ sum_ {j = p_1} ^ {p_2} a_ {ij} = \ sum_ {j = p_1} ^ {p_2} \ sum_ {i = k_1} ^ {k_2} a_ {ij}
  3. \ Sum_ {i = k_1} ^ {k_2} (a_i + b_i) \ sum_ {i = k_1} ^ {k_2} a_i + \ sum_ {i = k_1} ^ {k_2} b_i
  4. \ Sum_ {i = k_1} ^ {k_2} {z \ cdot a_i} = z \ cdot \ sum_ {i = k_1} ^ {k_2} a_i

2. Примеры

  1. Сумма арифметической прогрессии :
    \ Sum_ {i = 0} ^ n (a_0 + b \ cdot i) = (n +1) \ frac {a_0 + a_n} {2}
  2. Сумма геометрической прогрессии :
    \ Sum_ {i = 0} ^ na_0 \ cdot b ^ i = a_0 \ cdot \ frac {1-b ^ {n +1}} {1-b}
  3. \ Sum_ {i = 0} ^ n {\ left (\ frac {1} {p} \ right)} ^ i = \ frac {p} {p-1} \ left (1 - \ frac {1} {p ^ {n +1}} \ right), \ quad p \ neq 1, n \ ge 0
Почему это так
\ Sum_ {i = 0} ^ n {\ left (\ frac {1} {p} \ right)} ^ i = \ sum_ {i = 0} ^ n {1 \ cdot {\ frac {1} {p ^ i}}} = 1 \ cdot \ frac {1 - {\ left (\ frac {1} {p} \ right)} ^ {n +1}} {1 - \ frac {1} {p}} = \ frac {\ frac {p ^ {n +1} -1} {p ^ {n +1}}} {\ frac {p-1} {p}} = \ frac {p ^ {n +1} -1 } {p ^ n (p-1)} = \ frac {p} {p-1} \ left (1 - \ frac {1} {p ^ {n +1}} \ right)
  1. \ Sum_ {i = 0} ^ nip ^ i = \ frac {np ^ {n +2} - (n +1) p ^ {n +1} + p} {(p-1) ^ 2}, \ quad p \ ne 1
Почему это так

Доказательство:

\ Sum_ {i = 0} ^ nip ^ i = \ sum_ {i = 1} ^ nip ^ i = p \ cdot \ sum_ {i = 1} ^ nip ^ {i-1} = p \ cdot \ sum_ {i = 0} ^ {n-1} (i +1) p ^ i = p \ cdot \ left (\ sum_ {i = 0} ^ {n-1} {ip ^ i} + \ sum_ {i = 0} ^ {n-1} p ^ i \ right) = p \ cdot \ sum_ {i = 0} ^ nip ^ i - p \ cdot np ^ n + p \ cdot \ frac {1-p ^ n} {1 - p} \ Rightarrow
\ Rightarrow (1-p) \ sum_ {i = 0} ^ nip ^ i = \ frac {-np ^ {n +1} (1-p) + pp ^ {n +1}} {1-p} \ Rightarrow \ sum_ {i = 0} ^ nip ^ i = \ frac {np ^ {n +2} - (n +1) p ^ {n +1} + p} {(1-p) ^ 2}
  1. \ Sum_ {i = 0} ^ np ^ i = (p-1) \ sum_ {i = 0} ^ {n-1} ((ni) p ^ i) + n + 1, \ quad p \ ne 1
Почему это так, потому что так

Доказательство:

(P-1) \ sum_ {i = 0} ^ {n-1} ((ni) p ^ i) + n +1 = (p-1) \ sum_ {i = 0} ^ n ((ni) p ^ i) + n +1 = (p-1) \ left (n \ cdot \ sum_ {i = 0} ^ np ^ i - \ sum_ {i = 0} ^ nip ^ i \ right) + n +1 =
= (P-1) \ left (n \ cdot \ frac {1-p ^ {n +1}} {1-p} - \ frac {np ^ {n +2} - (n +1) p ^ { n +1} + p} {(1-p) ^ 2} \ right) + n +1 =
= \ Frac {np ^ {n +2} np-np ^ {n +1} + n-np ^ {n +2} + np ^ {n +1} + p ^ {n +1} p + pn-n + p-1} {p-1} =
= \ Frac {p ^ {n +1} -1} {p-1} = \ sum_ {i = 0} ^ np ^ i
    • При p = 10 \ получаем \ Sum_ {i = 0} ^ n10 ^ i = 9 \ cdot \ sum_ {i = 0} ^ {n-1} ((ni) 10 ^ i) + n +1 , А это последовательность уравнений следующего вида:
      1 = 9 \ cdot 0 +1, \ quad 11 = 9 \ cdot 1 + 2, \ quad 111 = 9 \ cdot 12 + 3, \ quad 1111 = 9 \ cdot 123 + 4, \ quad 11111 = 9 \ cdot 1234 + 5

3. Неопределенная сумма

Неопределенной суммой a i по i называется такая функция f (i), которая обозначается \ Sum_ {i} ^ {} a_i , Что \ Forall i f (i +1) - f (i) = a_ {i +1} .

4. Формула Ньютона-Лейбница

Если найдена неопределенная сумма \ Sum_ {i} ^ {} a_i = f (i) , Тогда \ Sum_ {i = k} ^ N a_i = f (N +1)-f (k) .

5. Этимология

Латинское слово summa переводится как "главный пункт", "сущность", "итог". С XV века слово начинает употребляться в современном смысле, появляется глагол "суммировать" ( 1489 год).

Это слово проникло во многие современные языки: в украинский, английский, французский и другие.

Специальный символ для обозначения суммы (S) первым ввел Эйлер в 1755 году. Как вариант, использовалась греческая буква Сигма Σ. Позже ввиду связи понятий суммирования и интегрирования, S также использовали для обозначения операции интегрирования.


См.. также


Сигма Это незавершенная статья математики.
Вы можете помочь проекту, исправив и дополнив ее.