Сфера

Sphere-wireframe.png

Сфера (гр. σφαῖρα) - замкнутая поверхность, геометрическое место точек равноудаленных от данной точки, является центром сферы.

Уравнения

В аналитической геометрии сфере с координатами О (x 0, y 0, z 0) и радиусом r является геометрическим местом всех точек (x, y, z), что

(X - x_0) ^ 2 + (y - y_0) ^ 2 + (z - z_0) ^ 2 = r ^ 2. \,

В сферической системе координат любую точку сферы можно представить как

x = x_0 + r \ sin \ theta \; \ cos \ varphi
y = y_0 + r \ sin \ theta \; \ sin \ varphi \ qquad (0 \ leq \ varphi \ leq 2 \ pi, 0 <\ theta \ leq \ pi) \,
z = z_0 + r \ cos \ theta \,

Сфера произвольного радиуса с центром в начале координат задается дифференциальным уравнением :

x \, dx + y \, dy + z \, dz = 0.

Это уравнение отражает факт, что векторы скорости и координат точки, движущейся по поверхности сферы постоянно ортогональные друг к другу.


Формулы

Площадь поверхности S_O \, = \, 4 \ pi r ^ 2
Замкнутый объем V \, = \, \ frac {4} {3} \ pi r ^ 3
Площадь сегмента V_ \ mathrm {KS} \, = \, \ frac {h ^ 2 \ pi} {3} (3r - h)
Момент инерции J \, = \, \ frac {2} {5} mr ^ 2

В сфере наименьшая площадь поверхности из числа всех тел, замыкающих данный объем, и самый замкнутый объем при данной площади поверхности. По этой причине, сфера часто появляется в природе и астрономии : капли воды в невесомости, мыльные пузыри почти сферические.