Надо Знать

добавить знаний



Теорема Гаусса



План:


Введение

Теорема Гаусса - один из основных законов электростатики, эквивалентный закона Кулона, утверждение о связи между потоком вектора электрической индукции через замкнутую поверхность, и суммарным зарядом, в объеме, окруженном этой поверхностью. Теорема Гаусса справедлива также для переменных полей и является одним из основных законов электродинамики.

В системе СИ теорема Гаусса имеет вид:

\ Int_S \ mathbf {D} \ cdot \ mathbf {dS} = Q ,

где D - вектор электрической индукции, Q - Суммарный электрический заряд в объеме, окруженном поверхностью S:

Q = \ int_V \ rho dV,

где \ Rho - плотность заряда.

В гауссовой системе единиц СГС Г теорема Гаусса формулируется

\ Int_S \ mathbf {E} \ cdot d \ mathbf {S} = 4 \ pi Q ,

где \ Mathbf {E} - напряженность электрического поля.


1. Теорема Гаусса и закон Кулона

Теорема Гаусса была получена в 1835 Карлом Фридрихом Гауссом, который выходил из закона Кулона. В современной электродинамике обычно применяют противоположный подход - за основу принимаются уравнения Максвелла, одним из которых является теорема Гаусса, а закон Кулона выводится как следствие.

Экспериментальная проверка справедливости закона Кулона с высокой точностью намного сложнее от экспериментальной проверки теоремы Гаусса.


1.1. Вывод закона Кулона

Для того, чтобы получить закон Кулона из теоремы Гаусса, рассматривают точечный электрический заряд q в вакууме. На поверхности сферы радиусом r , В центре которой расположен заряд, электрическое поле должно иметь одинаковое значение, исходя из соображений симметрии. В вакууме вектор электрической индукции \ Mathbf {D} равна напряженности электрического поля \ Mathbf {E} (Система СГС). Поэтому, применяя теорему Гаусса:

E 4 \ pi r ^ 2 = 4 \ pi q \, .

Отсюда основное утверждение закона Кулона:

E = \ frac {q} {r ^ 2}

В системе СИ \ Mathbf {D} = \ varepsilon_0 \ mathbf {E} , Где \ Varepsilon_0 - электрическая постоянная. Теорема Гаусса записывается:

\ Varepsilon_0 E 4 \ pi r ^ 2 = q .

Отсюда:

E = \ frac {1} {4 \ pi \ varepsilon_0} \ frac {q} {r ^ 2} .

2. Теорема Гаусса в дифференциальной форме

Теорема Гаусса можно записать в виде дифференциального уравнения в частных производных, учитывая формулу Остроградского-Гаусса (система СГС):

\ Int_S \ mathbf {E} \ cdot \ mathbf {dS} = \ int_V \ text {div} \; \ mathbf {E} dV = 4 \ pi \ int_V \ rho dV .

Поскольку это соотношение справедливо для любого объема, равными должны быть и подынтегральная выражения:

\ Text {div} \; \ mathbf {E} = 4 \ pi \ rho .

В системе СИ это выражение имеет вид:

\ Text {div} \; \ mathbf {D} = \ rho

3. Теорема Гаусса для полей в среде

Теорема Гаусса, как одно из основных уравнений электродинамики, в общем, справедлива и для среды, в своей основной форме. Например, используя систему СГС:

\ Int_S \ mathbf {E} \ cdot \ mathbf {dS} = 4 \ pi \ int_V \ rho dV ,

если под Q понимать все заряды, учитывая микроскопические. Однако, присутствие внешнего заряда приводит к перераспределению микроскопических зарядов в веществе. Поэтому, если внести внешний заряд q в диэлектрик, то некоторые из микроскопических зарядов, сместившись, покинут тот объем, по которому проводится интегрирование, другие - войдут в этот объем снаружи - вещество поляризуется.

Для учета этих эффектов в электродинамике сплошных сред все заряды разделяются на свободные и связанные. Свободными считаются те заряды, которые можно привнести извне, зяряджаючы тела, связанными - электрические заряды электронов и ядер вещества, во внешних полях смещаются, одни относительно других, создавая поляризацию:

\ Rho = \ rho_b + \ rho_f ,

где \ Rho_b - Плотность связанных зарядов, \ Rho_f - Плотность свободных зарядов. Плотность связанных зарядов связана с поляризацией : \ Rho_b = - \ text {div} \ mathbf {P} .

Тогда теорема Гаусса записывается в виде

\ Int_S (\ mathbf {E} + 4 \ pi \ mathbf {P}) \ cdot \ mathbf {dS} = 4 \ pi \ int_V \ rho_f dV .

Вводя вектор электрической индукции

\ Mathbf {D} = \ mathbf {E} + 4 \ pi \ mathbf {P} ,

получаем теорему Гаусса для диэлектрических сред:

\ Int_S \ mathbf {D} \ cdot \ mathbf {dS} = 4 \ pi \ int_V \ rho_f dV ,

или в дифференциальной форме

\ Text {div} \; \ mathbf {D} = 4 \ pi \ rho_f .

4. Магнитное поле

Магнитные заряды ( монополи) пока экспериментально не наблюдались, поэтому магнитный поток через замкнутую поверхность всегда равен нулю:

\ Int_S \ mathbf {B} \ cdot \ mathbf {dS} = 0. \,

5. Смотрите также

Источники

  • Сивухин Д.В. Общий курс физики. т III. Электричество. - Москва: Наука, 1977.

код для вставки
Данный текст может содержать ошибки.

скачать

© Надо Знать
написать нам