Теорема Грина

Теорема Грина устанавливает связь между криволинейным интегралом по замкнутому контуру C и двойным интегралом по области D , Ограниченной этим контуром. Фактически, эта теорема является частным случаем более общей теоремы Стокса. Теорема названа в честь английского математика Джорджа Грина.


Формулировка

D - Область, ограниченная замкнутой кривой C

Пусть C - Положительно ориентированная кусочно-гладкая замкнутая кривая на плоскости, а D - Область, ограниченная кривой C . Если функции P = P (x, y) , Q = Q (x, y) определены в области D и имеют непрерывные частные производные \ Frac {\ partial P} {\ partial y} , \ Frac {\ partial Q} {\ partial x} , То

\ Oint_ {C} P \, dx + Q \, dy = \ iint \ limits_ {D} \ left (\ frac {\ partial Q} {\ partial x} - \ frac {\ partial P} {\ partial y} \ right) \, dx \, dy

На символе интеграла часто рисуют круг, чтобы подчеркнуть, что кривая C замкнута.


Доведение

Пусть область D - криволинейная трапеция (область, правильная в направлении OY ):

D = \ {(x, y) | a \ le x \ le b, y_1 (x) \ le y \ le y_2 (x) \}

Для кривой C , Что ограничивает область D зададим направление обхода по часовой стрелке.

Тогда:

\ Iint \ limits_ {D} \ frac {\ partial P} {\ partial y} \, dx \, dy = \ int \ limits_ {a} ^ {b} dx \ int \ limits_ {y_1 (x, y)} ^ {y_2 (x, y)} \ frac {\ partial P} {\ partial y} \, dy = \ int \ limits_ {a} ^ {b} (P (x, y_2 (x)) - P (x , y_1 (x))) \, dx =
= \ Int \ limits_ {a} ^ {b} P (x, y_2 (x)) \, dx - \ int \ limits_ {a} ^ {b} P (x, y_1 (x)) \, dx \ quad (1)

Заметим, что оба полученные интегралы можно заменить криволинейными интегралами:

\ Int \ limits_ {C_1} P (x, y) \, dx = - \ int \ limits_ {-C_1} P (x, y) \, dx = - \ int \ limits_ {a} ^ {b} P ( x, y_1 (x)) \, dx \ quad (2)
\ Int \ limits_ {C_3} P (x, y) \, dx = \ int \ limits_ {a} ^ {b} P (x, y_2 (x)) \, dx \ quad (3)

Интеграл по C_1 берется со знаком "минус", поскольку согласно ориентацией контура C направление обхода данной части - от b к a .

Криволинейные интегралы по C_2 и C_4 будут равны нулю, поскольку x = \ operatorname {const} :

\ Int \ limits_ {C_2} P (x, y) \, dx = 0 \ quad (4)
\ Int \ limits_ {C_4} P (x, y) \, dx = 0 \ quad (5)

Заменим в (1) интегралы по (2) и (3), а также добавим (4) и (5), что равны нулю и не влияют на значение выражения:

\ Iint \ limits_ {D} \ frac {\ partial P} {\ partial y} \, dx \, dy = \ int \ limits_ {C_1} P (x, y) \, dx + \ int \ limits_ {C_3} P (x, y) \, dx + \ int \ limits_ {C_2} P (x, y) \, dx + \ int \ limits_ {C_4} P (x, y) \, dx

Поскольку обход по часовой стрелке при правой ориентации плоскости является отрицательное направлением, то сумма интегралов в правой части есть криволинейным интегралом по замкнутой кривой C в отрицательное направлении:

\ Iint \ limits_ {D} \ frac {\ partial P} {\ partial y} \, dx \, dy = - \ int \ limits_ {C} P (x, y) \, dx \ quad (6)

Аналогично доказывается формула:

\ Iint \ limits_ {D} \ frac {\ partial Q} {\ partial x} \, dx \, dy = \ int \ limits_ {C} Q (x, y) \, dy \ quad (7)

если как область D взять область, правильную в направлении OX .

Вычитая (6) из (7), получим:

\ Int \ limits_ {C} P \, dx + Q \, dy = \ iint \ limits_ {D} \ left (\ frac {\ partial Q} {\ partial x} - \ frac {\ partial P} {\ partial y} \ right) \, dx \, dy

Литература

  • Г. М. Фихтенгольц Курс дифференциального и интегрально исчисления. т. III, 1969, Москва: Наука.