Теорема Пифагора

Теорема Пифагора a 2 + b 2 = c 2
Анимационное доказательство теоремы Пифагора

Теорема Пифагора - одна из основополагающих теорем евклидовой геометрии, которая устанавливает соотношение между сторонами прямоугольного треугольника. Считается, что она доказана греческим математиком Пифагором, в честь которого она названа (есть и другие версии, в частности альтернативное мнение, что эта теорема в общем виде была сформулирована математиком-пифагорейцем Гиппаса).


1. Теорема

Теорема звучит так:

В прямоугольном треугольнике площадь квадрата, построенного на гипотенузе, равна сумме площадей квадратов, построенных на катетах.

Обозначив длину гипотенузы треугольника как c, а длины катетов как a и b, получим следующие формулы:

a ^ 2 + b 2 = c ^ 2. \,
\ Sqrt {a ^ 2 + b ^ 2} = c. \,

Таким образом, теорема Пифагора устанавливает соотношение, позволяющее определить сторону прямоугольного треугольника, зная длины двух других. Соответственно, в алгебраической интерпретации теорему можно сформулировать так:

В прямоугольном треугольнике сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы.

Теорема Пифагора является частным случаем теоремы косинусов, которая определяет соотношение между сторонами произвольного треугольника.

Также доказано обратное утверждение (называют также обратной теореме Пифагора):

Для любых трех положительных чисел a, b и c, для которых уравнения a ? + b ? = c ?, существует прямоугольный треугольник с катетами a и b и гипотенузой c.


2. История

Визуальное доказательство для треугольника (3, 4, 5) из книги "Чу Пей" 500-200 до н. е.

Историю теоремы можно разделить на четыре части: знания о Пифагору числа, знания об отношении сторон в прямоугольном треугольнике, знания об отношении смежных углов и доказательство теоремы.

Мегалитические сооружения около 2500 до н. е. в Египте и Северной Европе содержат прямоугольные треугольники со сторонами из целых чисел. [1] Бартель ван дер Варден высказал гипотезу, что в те времена Пифагору числа были найдены алгебраически. [2]

Написанный между 2000 и 1876 до н. е. папирус времен Среднего Египетского царства Berlin 6619 содержит задачу, решением которой является числа Пифагора.

Написанная во время правления Хаммурапи Великого (между 1790 и 1750 до н.э) вавилонская табличка Plimpton 322 содержит много записей, тесно связанных с числами Пифагора.

В сутрах Будхаяны, которые датируются по разным версиям восьмой или второй веком до н. е. в Индии, содержит Пифагору числа выведены алгебраически, формулировки теоремы Пифагора и геометрическое доказательство для ривнобедренного прямоугольного треугольника.

В сутрах Апастамба (около 600 до н. Э) содержится числовое доказательство теоремы Пифагора с использованием вычисления площади. Ван дер Варден считает, что оно было основано на традициях предшественников. Согласно Альбертом Бурк, это оригинальное доказательство теоремы и он предполагает, что Пифагор посетил Араконам и скопировал его.

Пифагор, годы жизни которого обычно принимают за 569 - 475 до н. е. использует алгебраические методы расчета пифагоровых троек, согласно Проклова комментариями к Евклида. Прокл, однако, жил между 410 и 485 годами н. е. Согласно Томасом Гизом, нет никаких указаний на авторство теоремы течение пяти веков после Пифагора. Однако такие авторы как Плутарх или Цицерон приписали теорему Пифагору таким образом, будто авторство было широко известно и несомненно. [3]

Около 400 до н. е. согласно Проклом, Платон дал метод расчета пифагоровых троек, сочетавший алгебру и геометрию. Около 300 до н. е., в Началах Евклида есть древнейшее аксиоматическое доведение, которое сохранилось до наших дней.

Написана где-то между 500 до н. н.э. и 200 до н. е., китайский математическая книга "Чу Пей" (周 髀 算 经) дает визуальное доказательство теоремы Пифагора, которая в Китае называется теорема Гугу (勾股定理), для треугольника со сторонами (3, 4, 5). Во время правления династии Хань, с 202 до н. е. до 220 н. е. Пифагору тройки появляются в книге "Девять разделов математического искусства" вместе с упоминанием прямоугольные треугольники. [4]

Впервые зафиксировано использование теоремы в Китае, где она известна как теорема Гугу (勾股定理) и в Индии, где она известна как теорема Баскара.

Многие дискутируется, была теорема Пифагора открыта один раз или многократно. Бойер (1991) считает, что знания, обнаружены в Шульба сутры, могут быть месопотамского происхождения. [5]


3. Доведение

3.1. Алгебраическое доказательство

Квадраты образуются из четырех прямоугольных треугольников.

Известно более ста доказательств теоремы Пифагора. Здесь представлены доказательства, основанное на теореме существования площади фигуры:

  1. Расположим четыре одинаковые прямоугольные треугольники так, как показано на рисунке.
  2. Четырехугольник со сторонами c является квадратом, так как сумма двух острых углов 90 ^ \ circ , А развернутый угол - 180 ^ \ circ .
  3. Площадь всей фигуры равна, с одной стороны, площади квадрата со стороной "a + b", а с другой - сумме площадей четырех треугольников и внутреннего квадрата.
(A + b) 2 = 4 \ cdot \ frac {ab} {2} + c ^ 2;
a ^ 2 +2 ab + b 2 = 2ab + c ^ 2; \ frac {} {}
c 2 = a ^ 2 + b ^ 2; \ frac {} {}

Что и необходимо доказать.


3.2. По сходству треугольников

Файл: Proof-Pythagorean-Theorem.svg Пусть ABC - прямоугольный треугольник, в котором угол C прямой, как показано на рисунке. Проведем высоту с точки C, и назовем H точку пересечения со стороной AB. Образован треугольник ACH подобный к треугольнику ABC, поскольку они оба прямоугольные (по определению высоты), и в них общий угол A, очевидно третий угол будет в этих треугольников также одинаков. Аналогично рассуждая, треугольник CBH также подобен треугольника ABC. С подобия треугольников: Если

BC = a, AC = b, \ text {and} AB = c, \!

тогда

\ Frac {a} {c} = \ frac {HB} {a} \ mbox {and} \ frac {b} {c} = \ frac {AH} {b}. \,

Это можно записать в виде

a 2 = c \ times HB \ mbox {and} b 2 = c \ times AH. \,

Если добавить эти две равенства, получим

a ^ 2 + b 2 = c \ times HB + c \ times AH = c \ times (HB + AH) = c ^ 2. \, \!

Иными словами, Теорема Пифагора

a ^ 2 + b 2 = c ^ 2. \, \!

3.3. Доказательство Евклида

Доказательство Евклида

В Евклидовых "Началах", теорема Пифагора доказана методом параллелограммов. Пусть A, B, C - вершины прямоугольного треугольника, с прямым углом A. Опустим перпендикуляр из точки A на сторону, противоположную гипотенузы в квадрате, построенном на ней. Линия делит квадрат на два прямоугольники, каждый из которых имеет такую ​​же площадь, что и квадраты, построенные на катетах. Главная идея при доказательстве состоит в том, что верхние квадраты превращаются в параллелограммы такой же площади, а потом возвращаются и превращаются в прямоугольники в нижнем квадрате и снова при неизменной площади.

Для формального доказательства, нам необходимы четыре элементарные леммы :

  1. Если две стороны одного треугольника и угол между ними равны соответственно двум сторонам и углу между ним другого треугольника, то такие треугольники равны (сторона-угол-сторона).
  2. Площадь треугольника равна половине площади параллелограмма, имеющего такую ​​же основу и такую ​​же высоту.
  3. Площадь прямоугольника равна произведению двух смежных сторон.
  4. Площадь квадрата равна произведению двух его сторон (следует из третьей леммы).

Тогда каждый верхний квадрат связан с треугольником, конгруэнтным с другим треугольником, который связан поворотом с одним из двух прямоугольников, образующих нижний квадрат. [6]

Перейдем к доказательству:

  1. Пусть ACB - прямоугольный треугольник с прямым углом CAB.
  2. На каждой стороне BC, AB, и CA построим квадраты CBDE, BAGF и ACIH в таком же порядке. Построение квадратов тут же требует предыдущей теоремы Евклида, и зависит от постулата параллельности. [7]
  3. С точки A проводим прямую параллельную к BD и CE. Она перпендикулярно пересечет отрезки BC и DE в точках K и L, соответственно.
  4. Проведем отрезки CF и AD, получим треугольники BCF и BDA.
  5. Углы CAB и BAG - прямые; соответственно точки C, A и G - коллинеарны. Так же B, A и H.
  6. Углы CBD и FBA - оба прямые, тогда угол ABD равен углу FBC, поскольку оба являются суммой прямого угла и угла ABC.
  7. Треугольники ABD и FBC уровне по двум сторонам и углу между ними.
  8. Поскольку точки A, K и L - коллинеарны, площадь прямоугольника BDLK равна двум площадям треугольника ABD (BDLK = BAGF = AB 2)
  9. Аналогично рассуждая, получим CKLE = ACIH = AC 2
  10. С одной стороны площадь CBDE равна сумме площадей прямоугольников BDLK и CKLE, а с другой стороны площадь квадрата BC 2 или AB 2 + AC 2 = BC 2.

3.4. Используя дифференциалы

Использование дифференциалов.

Теореме Пифагора можно прийти рассмотрением зависимости величины гипотенузы от прироста стороны (см. рисунок справа), применив небольшое вычисления.

В результате прироста стороны a, из подобных треугольников для бесконечно малых приращений:

\ Frac {da} {dc} = \ frac {c} {a}

Применим разделения переменных.

c \, dc = a \, da

Интегрируя, получим:

c 2 = a ^ 2 + \ mathrm {const}. \ \ \!

Если a = 0 тогда c = b, значит "константа" - b 2. Тогда

c 2 = a ^ 2 + b ^ 2. \,

Как можно увидеть, квадраты получены благодаря пропорции между приростами и сторонами, тогда как сумма является результатом независимого вклада приростов сторон, не очевидно из геометрических доказательств. В этих уравнениях da и dc - соответственно бесконечно малые приращения сторон a и c. Но вместо них мы используем Δ a и Δ c, тогда граница их отношения, если они стремятся к нулю, равно da / dc (производной) и также равна c / a (отношению длин сторон треугольников), в результате чего получаем дифференциальное уравнение.


4. Применение и последствия теоремы

4.1. Пифагору тройки

Пифагору тройки - это три натуральные числа a, b, и c такие, что выполняется равенство a 2 + b 2 = c 2. Иными словами, Пифагору тройки - это стороны прямоугольного треугольника, если все они являются целочисленными. На мегалитических сооружениях в северной Европе есть свидетельства, что сведения о таких тройки были известны до изобретения письменности. Такие тройки обычно записывают в виде (A, b, c). Некоторые известные примеры: (3, 4, 5) и (5, 12, 13).

Примитивными пифагоровых числами называют такие a, b и c, которые являются взаимно простыми ( наибольший общий делитель a, b и c равна 1)

Ниже приведен список примитивных пифагоровых чисел меньших 100:

(3, 4, 5), (5, 12, 13), (7, 24, 25), (8, 15, 17), (9, 40, 41), (11, 60, 61), (12 , 35, 37), (13, 84, 85), (16, 63, 65), (20, 21, 29), (28, 45, 53), (33, 56, 65), (36, 77 , 85), (39, 80, 89), (48, 55, 73), (65, 72, 97).

4.2. Несоизмеримые длины

Построение отрезков с длинами, отношения между которыми равно квадратному корню из положительного целого числа

Одним из последствий теоремы Пифагора является то, что отрезки на линии, длина которых несоизмеримо (т.е. соотношение между которыми дает иррациональное число) могут быть построены с помощью линейки и циркуля. Теорема Пифагора позволяет построить несоизмеримые длины из-за того, что гипотенуза треугольника связана с его сторонам через корень квадратный.

Рисунок дело демонстрирует как построить отрезки, длина которых в соотношении дает корень квадратный любого целого числа. Каждый треугольник имеет сторону (обозначенную "1"), длина которой является выбранная единица измерения. На каждом прямоугольном треугольнике благодаря тереме Пифагора получаем длину гипотенузы выражается в выбранных единицах. Если гипотенуза связана с единицей измерения через квадратный корень с положительным целым числом, не является подъемом к квадрату, тогда мы получаем реализацию несоизмеримости для этой единицы. Например, 2 , 3 , 5 .

Несоизмеримые величины конфликтуют с концепцией школы Пифагора о том, что все числа являются целыми. Школа Пифагора справлялась с дробями сравнивая кратные числа, которые имели общий делитель. [8] Согласно одной легенде Гиппаса с Метапонт (около 470 до н. н.э.) утопили в море из-за того, что он рассказывал о существовании иррациональных или несоизмеримо величин . [9] [10]


4.3. Евклидово расстояние в разных координатных системах

Расстояние между двумя точками s (R 1, θ 1) и (R 2, θ 2) в полярных координатах вычисляем по теоремой косинусов. Внутренний угол Δθ = θ 1-θ 2.

Формулу расстояния между точками в декартовых координатах получаем из теоремы Пифагора. [11] Если есть точки на плоскости (X 1, y 1) и (X 2, y 2) , Тогда расстояние между ними, которая также называется Евклидово расстояние, можно вычислить так:

\ Sqrt {(x_1-x_2) ^ 2 + (y_1-y_2) ^ 2}.

Или, обобщая для n-мерного Евклидова пространства, для расстояния между двумя точками A \, = \, (a_1, a_2, \ dots, a_n) и B \, = \, (b_1, b_2, \ dots, b_n) можно сформулировать более общий случай теоремы Пифагора

\ Sqrt {(a_1-b_1) ^ 2 + (a_2-b_2) ^ 2 + \ cdots + (a_n-b_n) ^ 2} = \ sqrt {\ sum_ {i = 1} ^ n (a_i-b_i) ^ 2 }.

Если нельзя использовать декартовы координаты, например, в случае полярных координат, или в общем случае, если нужно использовать криволинейные координаты, формулы для расчета Евклидовой расстоянии сложнее, чем теорема Пифагора, но могут быть выведены с ее помощью. Типичный пример, когда формула расстояния между двумя точками приведена в криволинейных координат, можно увидеть при применении полинома Лежандра в физике. Эти формулы можно найти, используя Теорема Пифагора вместе с формулами связи криволинейных координат с декартовыми. Например, полярные координаты (R, θ) можно записать как:

x = r \ cos \ theta, \ y = r \ sin \ theta. \,

Тогда расстояние s между двумя точками (R 1, θ 1) и (R 2, θ 2) равна:

s ^ 2 = (x_1 - x_2) ^ 2 + (y_1-y_2) ^ 2 = (r_1 \ cos \ theta_1-r_2 \ cos \ theta_2) ^ 2 + (r_1 \ sin \ theta_1-r_2 \ sin \ theta_2) ^ 2. \,

Если поднести к степени и объединить переменные, получим формулу для определения расстояния между точками в полярных координатах:

\ Begin {align} s ^ 2 & = r_1 ^ 2 + r_2 ^ 2 -2 r_1 r_2 \ left (\ cos \ theta_1 \ cos \ theta_2 + \ sin \ theta_1 \ sin \ theta_2 \ right) \ \ & = r_1 ^ 2 + r_2 ^ 2 -2 r_1 r_2 \ cos \ left (\ theta_1 - \ theta_2 \ right) \ \ & = r_1 ^ 2 + r_2 ^ 2 -2 r_1 r_2 \ cos \ Delta \ theta \ end {align} \,

используя формулы преобразования произведений функций. Эту формулу, является теоремой косинусов, иногда называют обобщенной теоремой Пифагора. [12] Если результирующую формулу использовать для случая, когда радиусы находятся под прямым углом, угол между ними равен Δ θ = π / 2, тогда опять получим теорему Пифагора s ^ 2 = r_1 ^ 2 + r_2 ^ 2. \, Теорема Пифагора справедлива для прямоугольных треугольников, однако есть частным случаем более общей теоремы косинусов, которая справедлива для любого треугольника.


4.4. Тригонометрическая тождество Пифагора

Подобные прямоугольные треугольники показывают синус и косинус угла θ

Для прямоугольного треугольника со сторонами a, b и гипотенузой c, запишем тригонометрические определения синуса и косинуса угла θ между стороной a и гипотенузой:

\ Sin \ theta = \ frac {b} {c}, \ quad \ cos \ theta = \ frac {a} {c}.

отсюда следует что:

{\ Cos} ^ 2 \ theta + {\ sin} ^ 2 \ theta = \ frac {a ^ 2 + b ^ 2} {c ^ 2} = 1,

где в последнем шаге доказательства применяем теорему Пифагора. Эту зависимость между синусом и косинусом иногда называют фундаментальной тригонометрической тождеством Пифагора. [13] В подобных треугольников, соотношение между сторонами равное независимо от размеров треугольника, а зависит только от углов. Соответственно, на рисунке изображен треугольник с гипотенузой, равной единице, сторона противоположная угла равна sin θ и прилегающая сторона - cos θ в единицах гипотенузы.


5. Обобщение

5.1. Подобные геометрические фигуры на трех сторонах

Обобщение для подобных треугольников, площадь зеленых фигур A + B = площади синих C
Теорема Пифагора с использованием подобных прямоугольных треугольников

Обобщение теоремы Пифагора делал Евклид в своей работе Начала, расширив площади квадратов на сторонах до площадей подобных геометрических фигур: [14]

Если построить подобные геометрические фигуры (см. Евклидова геометрия) на сторонах прямоугольного треугольника, тогда сумма двух меньших фигур будет равна площади большей фигуры.

Главная идея этого обобщения состоит в том, что площадь подобной геометрической фигуры пропорциональна квадрату любого своего линейного размера и в частности к квадрату длины любой стороны. Итак, для подобных фигур с площадями A, B и C, построенные на сторонах с длиной a, b и c, имеем:

\ Frac {A} {a ^ 2} = \ frac {B} {b ^ 2} = \ frac {C} {c ^ 2} \,,
\ Rightarrow A + B = \ frac {a ^ 2} {c ^ 2} C + \ frac {b ^ 2} {c ^ 2} C \,.

Но, по теореме Пифагора, a 2 + b 2 = c 2, тогда A + B = C.

И наоборот, если мы сможем доказать, что A + B = C для трех подобных геометрических фигур без использования теоремы Пифагора, тогда мы сможем доказать саму теорему, двигаясь в обратном направлении. Например, стартовый центральный треугольник может быть повторно использован как треугольник C на гипотенузе, и два подобных прямоугольные треугольники (A и B), построены на двух других сторонах, которые образуются в результате разделения центрального треугольника его высотой. Сумма площадей двух меньших треугольников тогда очевидно равна площади третьего, таким образом A + B = C и, выполняя предыдущее доказательства в обратном порядке, получим теорему Пифагора a 2 + b 2 = c 2.


5.2. Теорема косинусов

Теорема Пифагора - это частный случай более общей теоремы косинусов, которая связывает длины сторон в произвольном треугольнике: [15]

a ^ 2 + b ^ 2-2ab \ cos {\ theta} = c ^ 2, \,

где θ - угол между сторонами a и b.

Если θ равен 90 градусов, тогда cos θ = 0 и формула упрощается до обычной теоремы Пифагора.

5.3. Произвольный треугольник

Обобщение теоремы Пифагора от Сабита ибн Курри. [16] Нижний рисунок: отображение треугольника ABD (верхний) с целью создать треугольник DBA, подобный треугольника ABC (верхний).

Для выбранного угла произвольного треугольника со сторонами a, b, c, впишем равнобедренный треугольник так, чтобы равные углы при его основе θ составили выбранном углу. Предположим, что выбранный угол θ противоположный стороны обозначенной c. В результате мы получили треугольник ABD с углом θ, что другой стороне a и стороной r. Второй треугольник образуется углом θ, что противоположный стороны b и стороной с длиной s, как показано на рисунке. Сабит ибн Курри [17] утверждал, что стороны в этих трех треугольниках связаны таким образом: [18] [19]

a ^ 2 + b 2 = c (r + s) \.

Когда угол θ приближается к π / 2, основа равнобедренного треугольника уменьшается и две стороны r и s перекрывают друг друга все меньше и меньше. Когда θ = π / 2, ADB превращается в прямоугольный треугольник, r + s = c, и получаем начальную теорему Пифагора.

Рассмотрим одно из доказательств. Треугольник ABC имеет такие же углы как треугольник ABD, но в обратном порядке. (Два треугольники имеют общий угол в вершине B, оба имеют угол θ и также имеют одинаковый третий угол, по сумме углов треугольника) Соответственно, ABC - подобный отображения ABD треугольника DBA, как показано на нижнем рисунке. Запишем соотношение между сторонами противоположными и прилегающими к углу θ,

\ Frac {c} {a} = \ frac {a} {r} \.

Так же отражение другого треугольника,

\ Frac {c} {b} = \ frac {b} {s} \.

Перемножим дроби и добавим эти два соотношения:

cr + cs = a ^ 2 + b ^ 2 \,

что и требовалось доказать.


5.4. Произвольные треугольники через параллелограммы

Обобщение для произвольных треугольников,
зеленая площадь = синий площади
Построение доказательства для обобщения параллелограммов

Сделаем дальнейшее обобщение для не прямоугольных треугольников, используя параллелограммы на трех сторонах вместо квадратов. [20] (а квадраты - это конечно частный случай.) Верхний рисунок демонстрирует, что для остроугольного треугольника, площадь параллелограмма на длинной стороне равна сумме параллелограммов на двух других сторонах , при условии что параллелограмм на длинной стороне построено как показано на рисунке (размеры отмечены стрелками одинаковы и определяют стороны нижнего параллелограмма). Эта замена квадратов параллелограмма несет четкую сходство с начальной теоремой Пифагора, считается, что это сформулировал Папп из Александрии в 4 г.р. е. [20]

Ниже рисунок показывает ход доказательства. Посмотрим на левую сторону треугольника. Левый зеленый параллелограмм имеет такую ​​же площадь как левая часть синего параллелограмма, потому что они имеют такую ​​же основу b и высоту h. Кроме того, левый зеленый параллелограмм имеет такую ​​же площадь как левый зеленый параллелограмм на верхнем рисунке, так как они имеют такую ​​же основу (верхняя левая сторона треугольника) и такую ​​же высоту перпендикулярную этой стороны треугольника. Аналогично рассуждая для правой стороны треугольника докажем, что нижний параллелограмм имеет такую ​​же площадь как два зеленых параллелограммы.


5.5. Комплексные числа

Формулу Пифагора используют, чтобы найти расстояние между двумя точками в декартовой координатной системе и эта формула справедлива для всех действительных координат: расстояние s между двумя точками (a, b) и (c, d) равна

s = \ sqrt {(a-c) ^ 2 + (b-d) ^ 2}. \

Не возникает проблем с формулой, если до комплексных чисел относиться как к векторов с действительными компонентами x + iy = (x, y). Например, расстояние s между 0 + 1 i и 1 + 0 i рассчитываем как модуль вектора (0, 1) - (1, 0) = (-1, 1), или

s = \ sqrt {(-1) ^ 2 +1 ^ 2} = \ sqrt {2}. \

Ты не менее, для операций с векторами с комплексными координатами необходимо провести определенное совершенствование формулы Пифагора. Расстояние между точками с комплексными координатами (A, b) и (C, d); a, b, c, и d все комплексные, сформулируем используя абсолютные величины. Расстояние s основана на векторной разницы (A - c, b - d) в следующем виде: [21] пусть разница a - c = p + i q, где p - действительная часть разницы, q - мнимая часть, и i = √ (-1). Аналогично, пусть b - d = r + i s. Тогда:

\ Begin {align} s & = \ sqrt {(p + iq) \ overline {(p + iq)} + (r + is) \ overline {(r + is)}} \ \ & = \ sqrt {(p + iq) (p-iq) + (r + is) (r-is)} \ \ & = \ sqrt {p ^ 2 + q ^ 2 + r ^ 2 + s ^ 2}, \ end {align}

где \ Overline {\ mathit z} - Это комплексное сопряженное число для \ Mathit z \ . Например, расстояние между точками (A, b) = (0, 1) и (C, d) = (i, 0) , Рассчитаем разницу (A - c, b - d) = (- i, 1) и в результате мы получили бы 0, если бы не были использованы комплексные сопряженные. Таким образом, используя усовершенствованную формулу, получим

s = \ sqrt {(-i) \ cdot (\ overline {-i}) + 1 \ cdot \ overline {1}} = \ sqrt {(-i) \ cdot {i} + 1 \ cdot {1}} = \ sqrt {2}. \,

Модуль определен следующим образом:

\ | \ Mathbf p \ | = \ sqrt {\ mathbf {p \ cdot \ overline {p}}} = \ sqrt {| p_1 | ^ 2 + | p_2 | ^ 2 + \ dots + | p_n | ^ 2} \ ,

это Эрмита скалярное произведение. [22]


5.6. Стереометрия

Теорема Пифагора в трехмерном пространстве связывает диагональ AD с тремя сторонами.

Теорема Пифагора может быть применена для стереометрии в следующем виде. Рассмотрим прямоугольный параллелепипед, как показано на рисунке. Найдем длину диагонали BD по теореме Пифагора

\ Overline {BD} ^ {\, 2} = \ overline {BC} ^ {\, 2} + \ overline {CD} ^ {\, 2} \,

где три стороны образуют прямоугольный треугольник. Используем горизонтальную диагональ BD и вертикальное ребро AB чтобы найти длину диагонали AD, для этого опять используем теорему Пифагора

\ Overline {AD} ^ {\, 2} = \ overline {AB} ^ {\, 2} + \ overline {BD} ^ {\, 2} \,

или, если все записать одним уравнением:

\ Overline {AD} ^ {\, 2} = \ overline {AB} ^ {\, 2} + \ overline {BC} ^ {\, 2} + \ overline {CD} ^ {\, 2} \.

Этот результат - это трехмерный выражение для определения величины вектора v (диагональ AD) выражен через его перпендикулярные составляющие {v k} (три взаимно перпендикулярные стороны):

\ | \ Mathbf {v} \ | ^ 2 = \ sum_ {k = 1} ^ 3 \ | \ mathbf {v} _k \ | ^ 2.

Это уравнение можно рассматривать как обобщение теоремы Пифагора для многомерного пространства. Однако, результат на самом деле просто неоднократное применение теоремы Пифагора к последовательности прямоугольных треугольников в последовательно перпендикулярных плоскостях.

Значительным обобщением теоремы Пифагора для трехмерного пространства является теорема де Гуа, названа в честь Жан Поля де Гуа: если тетраэдр имеет прямой угол (как в куба), тогда квадрат площади грани противоположной прямого угла равен сумме квадратов площадей трех других граней. Этот вывод может быть обобщен для "n-мерной теоремы Пифагора": [23]


5.7. Векторное пространство

В случае ортогональной системы векторов \ {V_k \} \ frac {} {} имеет место равенство, которую также называют теоремой Пифагора

\ Sum_ {k = 1} ^ {n} \ | v_k \ | ^ 2 = \ left \ | \ sum_ {k = 1} ^ {n} v_k \ right \ | ^ 2.

Если \ {V_k \} \ frac {} {} - Это проекции вектора на координатные оси, то эта формула совпадает с расстоянием Евклида - и означает, что длина вектора равна корню квадратному суммы квадратов его компонентов.

Аналог этого равенства в случае бесконечной системы векторов называется равенства Парсеваля.


5.8. Неевклидова геометрия

Теорема Пифагора выводится из аксиом евклидовой геометрии и фактически не оправдывается для неевклидовой геометрии, в том виде в котором записана выше. [24] (т.е. теорема Пифагора оказывается своеобразным эквивалентом в аксиомы параллельности Евклида). [25] [26]) Иными словами, в неэвклидовой геометрии соотношение между сторонами треугольника обязательно будет в форме отличной от Пифагора. Например, в сферической геометрии все три стороны прямоугольного треугольника (скажем a, b и c), что ограничивает собой октант (восьмую часть) единичной сферы имеют длину π / 2, что противоречит теореме Пифагора, потому что a 2 + b 2c 2.

Рассмотрим здесь два случая неевклидовой геометрии - сферическая и гиперболическая геометрия; в обоих случаях как и для евклидова пространства для не прямоугольных треугольников, результат, который заменяет теорему Пифагора следует из теоремы косинусов.

Однако, теорема Пифагора остается справедливой для гиперболической и эллиптической геометрии, если требование о прямоугольность треугольника заменить условием, что сумма двух углов треугольника должна равняться третьем скажем A + B = C. Тогда соотношение между сторонами выглядит так: сумма площадей кругов с диаметрами a и b равна площади круга диаметром c. [27]


5.8.1. Сферическая геометрия

Сферический треугольник

Для любого прямоугольного треугольника на сфере радиусом R (например, если угол γ в треугольнике прямой) со сторонами a, b, c соотношение между сторонами будет иметь следующий вид: [28]

\ Cos \ left (\ frac {c} {R} \ right) = \ cos \ left (\ frac {a} {R} \ right) \ cos \ left (\ frac {b} {R} \ right).

Это равенство может быть выведена как особый случай сферической теоремы косинусов, которая справедлива для всех сферических треугольников:

\ Cos \ left (\ frac {c} {R} \ right) = \ cos \ left (\ frac {a} {R} \ right) \ cos \ left (\ frac {b} {R} \ right) + \ sin \ left (\ frac {a} {R} \ right) \ sin \ left (\ frac {b} {R} \ right) \ cos \ gamma \.


Применим ряд Тейлора функцию косинуса cos x ≈ 1 - x 2/2 , Можно показать, что если радиус R приближается к бесконечности, а аргументы a / R, b / R и c / R приближаются к нулю, сферическое соотношение между сторонами в прямоугольном треугольнике приближается к теоремы Пифагора. Подставим приближенные значения для каждого косинуса:

1 - \ left (\ frac {c} {R} \ right) ^ 2 = \ left [1 - \ left (\ frac {a} {R} \ right) ^ 2 \ right] \ left [1 - \ left (\ frac {b} {R} \ right) ^ 2 \ right] + \ \ mathrm {higher \ order \ terms}

Перемножим выражения в скобках, получим теорему Пифагора для больших радиусов R:

\ Left (\ frac {c} {R} \ right) ^ 2 = \ left (\ frac {a} {R} \ right) ^ 2 + \ left (\ frac {b} {R} \ right) ^ 2 + \ \ mathrm {higher \ order \ terms} \,

где "higher order terms" - слагаемые высшего порядка, которыми можно пренебречь при больших значениях R.


5.8.2. Гиперболическая геометрия

Гиперболический треугольник

Для прямоугольного треугольника в гиперболической геометрии со сторонами a, b, c, если сторона c противоположна прямого угла, соотношение между сторонами будет такой: [29]

\ Cosh c = \ cosh a \, \ cosh b

где cosh - это гиперболический косинус. Эта формула является частным случаем гиперболической теоремы косинусов, которая справедлива для всех треугольников: [30]

\ Cosh c = \ cosh a \ \ cosh b - \ sinh a \ \ sinh b \ \ cos \ gamma \,

где γ - это угол вершина которого противоположна стороны c.

Используем ряды Тейлора для гиперболического косинуса cosh x ≈ 1 + x 2/2 , Можно доказать, если гиперболический треугольник уменьшается (т.е. когда a, b, и c приближаются к нулю), то гиперболические соотношения в прямоугольном треугольнике приближаются к теоремы Пифагора.


5.9. Дифференциальная геометрия

Расстояние между точками, отстоящие друг от друга на бесконечно малую величину в декартовых (вверху) полярных координатах (внизу), согласно теореме Пифагора

В трехмерном пространстве для двух точек, отстоящих друг от друга на бесконечно малую расстояние запишем теорему Пифагора

ds 2 = dx ^ 2 + dy ^ 2 + dz ^ 2, \,

где ds - это расстояние между точками а (dx, dy, dz) - компоненты вектора, соединяющего эти две точки. Такое пространство называется евклидовым. Однако, обобщение этого выражения пригодное для общих координат (не только декартовы) и общих пространств (не только евклидовой) имеет вид [31]

ds ^ 2 = \ sum_ {i, j} ^ n g_ {ij} \, dx_i \, dx_j

где g ij называется метрическим тензором. Это может быть функция позиции. Такие криволинейные пространства включают римановой геометрии как общий пример. Эта формулировка также подходит для евклидова пространства при применении криволинейных координат. Например, для полярных координат :

ds 2 = dr ^ 2 + r ^ 2 d \ theta ^ 2 \.

5.10. Векторное произведение

Площадь параллелограмма как векторное произведение; векторы a и b задают плоскость, а вектор a ? b перпендикулярен этой плоскости.

Теорема Пифагора связывает два выражения величины векторного произведения.

Один из подходов к определению векторного произведения требует, чтобы он удовлетворял уравнения [32]

\ | \ Mathbf {a} \ times \ mathbf {b} \ | ^ 2 = \ | \ mathbf {a} \ | ^ 2 \ | \ mathbf {b} \ | ^ 2 - (\ mathbf {a} \ cdot \ mathbf {b}) ^ 2 \,

в этой формуле используется скалярное произведение. Правая сторона уравнение называется детерминант Грама для a и b, равный площади параллелограмма образованного двумя векторами. Исходя из этого требования, а также требования о перпендикулярности векторного произведения к его составляющим a и b следует, что, за исключением тривиальных случаев с 0 и 1-мерного пространства, векторное произведение определен только в трех и семи измерениях. [33] Используем определения угла в n-мерном пространстве: [34]

(\ Mathbf {a \ cdot b}) = ab \ \ cos \ theta \,

это свойство векторного произведения дает его величину в таком виде:

\ | \ Mathbf {a \ times b} \ | ^ 2 = a ^ 2 b ^ 2 \ left (1 - \ cos ^ 2 \ theta \ right). \,

Через фундаментальную тригонометрическую тождество Пифагора [13] получаем другую форму записи его величины:

\ | \ Mathbf {a \ times b} \ | = ab \ sin \ theta. \,

Альтернативный подход к определению векторного произведения использует выражение для его величины. Тогда, рассуждая в обратном порядке, получаем связь со скалярным произведением:

\ | \ Mathbf {a} \ times \ mathbf {b} \ | ^ 2 = \ | \ mathbf {a} \ | ^ 2 \ | \ mathbf {b} \ | ^ 2 - (\ mathbf {a} \ cdot \ mathbf {b}) ^ 2 \

См.. также

Nuvola apps edu mathematics blue-p.svg
В Википедии есть портал

Примечания

  1. "Megalithic Monuments." - hyperion.cc.uregina.ca / ~ astro / Mega_circ.html . http://hyperion.cc.uregina.ca/ ~ astro / Mega_circ.html - hyperion.cc.uregina.ca / ~ astro / Mega_circ.html .
  2. Van der Waerden 1983.
  3. Heath, Vol I, p. 144
  4. Swetz
  5. Boyer (1991). "China and India"
  6. See for example Mike May SJ, Pythagorean theorem by shear mapping - www.slu.edu / classes / maymk / GeoGebra / Pythagoras.html, Saint Louis University website Java applet
  7. Jan Gullberg Mathematics: from the birth of numbers - books.google.com / books? id = E09fBi9StpQC & pg = PA435. - WW Norton & Company, 1997. ISBN 039304002X.
  8. Shaughan Lavine Understanding The Infinite - books.google.com / books? id = GvGqRYifGpMC & pg = PA13. - Harvard University Press, 1994. ISBN 0674920961.
  9. Heath 1921, Vol I, pp. 65; См.. James R. Choike The pentagram and the discovery of an irrational number / / The College Mathematics Journal. - Т. 11. - (1980) С. 312-316.
  10. A careful discussion of Hippasus "contributions is found in Kurt Von Fritz The Discovery of Incommensurability by Hippasus of Metapontum / / The Annals of Mathematics, Second Series. - Т. 46. - (Apr., 1945) (2) С. 242-264.
  11. Jon Orwant, Jarkko Hietaniemi, John Macdonald "Euclidean distance", Mastering algorithms with Perl - books.google.com / books? id = z9xMfXGoWd0C & pg = PA426. - O'Reilly Media, Inc, 1999. ISBN 1565923987.
  12. Plane Trigonometry and Tables - books.google.com /? id = Z-O57gUYmIgC. - BiblioBazaar, LLC, 2009. ISBN 1-103-07998-0., Exercises, page 116 - books.google.com / books? id = Z-O57gUYmIgC & pg = PA116
  13. а б Lawrence S. Leff PreCalculus The Easy Way - books.google.com /? id = y_7yrqrHTb4C & pg = PA296 7th. - Barron's Educational Series, 2005. ISBN 0764128922.
  14. Euclid's Elements: Book VI, Proposition VI 31: "In right-angled triangles the figure on the side subtending the right angle is equal to the similar and similarly described figures on the sides containing the right angle".
  15. Lawrence S. Leff cited Work - books.google.com /? id = y_7yrqrHTb4C & pg = PA326. - Barron's Educational Series, 2005-05-01. ISBN 0764128922.
  16. Howard Whitley Eves "? 4.8: ... generalization of Pythagorean theorem", Great moments in mathematics (before 1650) - books.google.com / books? id = 9_w5jDPTvCQC & pg = PA41. - Mathematical Association of America, 1983. ISBN 0883853108.
  17. T?bit ibn Qorra (full name Thābit ibn Qurra ibn Marwan Al-Ṣābi ʾ al-Ḥarrānī) (826-901 AD) was a physician living in Baghdad who wrote extensively on Euclid's Elements and other mathematical subjects.
  18. Aydin Sayili Th?bit ibn Qurra's Generalization of the Pythagorean Theorem / / Isis. - Т. 51. - (Mar. 1960) (1) С. 35-37. DOI : 10.1086/348837 - dx.doi.org/10.1086/348837.
  19. Judith D. Sally, Paul Sally "Exercise 2.10 (ii)", Cited work - books.google.com / books? id = nHxBw-WlECUC & pg = PA62, 2007-12-21. ISBN 0821844032.
  20. а б For the details of such a construction, see George Jennings "Figure 1.32: The generalized Pythagorean theorem", Modern geometry with applications: with 150 figures - books.google.com /? id = 6OhcE7YQY8QC & pg = PA23 3rd. - Springer, 1997. ISBN 038794222X.
  21. Arlen Brown, Carl M. Pearcy "Item C: Norm for an arbitrary n-tuple...", An introduction to analysis - books.google.com / books? id = Y2Mwck8Q9A4C & pg = PA124. - Springer, 1995. ISBN 0387943692. See also pages 47-50.
  22. Alfred Gray, Elsa Abbena, Simon Salamon Modern Differential Geometry Of Curves AND Surfaces With Mathematica - books.google.com /? id = TGw98Z6Cv-EC & pg = PA194 3rd. - CRC Press, 2006. ISBN 1584884487.
  23. Rajendra Bhatia Matrix Analysis - books.google.com /? id = eay3HALl620C & pg = PA21. - Springer, 1997. ISBN 0387948465.
  24. Stephen W. Hawking cited Work - books.google.com / books? id = 3zdFSOS3f4AC & pg = PA4, 2005. ISBN 0762419229.
  25. Eric W. Weisstein CRC concise Encyclopedia Of Mathematics - books.google.com / books? id = aFDWuZZslUUC & pg = PA2147 2nd, 2003. ISBN 1584883472 "The parallel postulate is equivalent to the Equidistance postulate, Playfair axiom, Proclus axiom, the Triangle postulate and the Pythagorean theorem. ".
  26. Alexander R. Pruss The Principle Of sufficient Reason: a reassessment - books.google.com / books? id = 8qAxk1rXIjQC & pg = PA11. - Cambridge University Press, 2006. ISBN 052185959X "We could include ... the parallel postulate and derive the Pythagorean theorem. Or we could instead make the Pythagorean theorem among the other axioms and derive the parallel postulate.".
  27. Victor Pambuccian Maria Teresa Calapso's Hyperbolic Pythagorean Theorem / / The Mathematical Intelligencer. - Т. 32. - (December 2010). DOI : 10.1007/s00283-010-9169-0 - dx.doi.org/10.1007/s00283-010-9169-0.
  28. Barrett O'Neill "Exercise 4", Elementary differential geometry - books.google.com /? id = OtbNXAIve_AC & pg = PA441 2nd. - Academic Press, 2006. ISBN 0120887355.
  29. Saul Stahl "Theorem 8.3", The Poincar? half-plane: a gateway to modern geometry - books.google.com /? id = TABicHVMQhMC & pg = PA122. - Jones & Bartlett Learning, 1993. ISBN 086720298X.
  30. Jane Gilman "Hyperbolic triangles", Two-generator discrete subgroups of PSL (2, R) - books.google.com /? id = YRFz9Zj_vAAC & pg = PA74. - American Mathematical Society Bookstore, 1995. ISBN 0821803611.
  31. Tai L. Chow Mathematical Methods For physicists: a concise introduction - books.google.com /? id = MpRXPOYZzfUC & pg = PA52. - Cambridge University Press, 2000. ISBN 0521655447.
  32. WS Massey Cross products of vectors in higher dimensional Euclidean spaces / / The American Mathematical Monthly. - Т. 90. - (Dec. 1983) (10) С. 697-701. DOI : 10.2307/2323537 - dx.doi.org/10.2307/2323537.
  33. Although a cross-product involving n - 1 vectors can be found in n dimensions, a cross-product involving only two vectors can be found only in 3 dimensions and in 7 dimensions. See Pertti Lounesto "? 7.4 Cross product of two vectors", Clifford algebras and spinors - books.google.com /? id = kOsybQWDK4oC & pg = PA96 2nd. - Cambridge University Press, 2001. ISBN 0521005515.
  34. Francis Begnaud Hildebrand Methods Of Applied Mathematics - books.google.com /? id = 17EZkWPz_eQC & pg = PA24 Reprint of Prentice-Hall 1965 2nd. - Courier Dover Publications, 1992. ISBN 0486670023.

Литература

  • Heath, Sir Thomas, A History of Greek Mathematics (2 Vols.), Clarendon Press, Oxford (1921), Dover Publications, Inc. (1981), ISBN 0-486-24073-8.
  • Swetz, Frank, Kao, TI, Was Pythagoras Chinese?: An Examination of Right Triangle Theory in Ancient China, Pennsylvania State University Press. 1977.
  • Van der Waerden, BL, Geometry and Algebra in Ancient Civilizations, Springer, 1983.
  • Еленьский Щ. По следам Пифагора. М., 1961
  • Ван-дер-Варден Б. Л. пробуждающаяся наука. Математика Древнего Египта, Вавилона и Греции. М., 1959
  • В. Литцман, "Теорема Пифагора" - www.ega-math.narod.ru/Books/Pythagor.htm # ch1 М., 1960.
  • Теорема Пифагора и пифагоровы тройки - www.mccme.ru/mmmf-lectures/books/books/books.php?book=3&page=2 глава из книги Д. В. Аносова "Взгляд на математику и нечто из нее"