Теорема косинусов

Теорема косинусов это утверждение о свойстве произвольных треугольников, являющихся обобщением теоремы Пифагора. Пусть a, b, и c стороны треугольника, а A, B, и C это его углы, противоположные указанным сторонам. Тогда,

c ^ 2 = a ^ 2 + b ^ 2 - 2a \ cdot b \ cdot \ cos C. \;

Эта формула полезна для нахождения третьей стороны треугольника если известны другие две стороны и угол между ними, и для нахождения его углов, если известны длины его сторон.

С теоремы косинусов

c ^ 2 = a ^ 2 + b ^ 2 \;\ Cos C = 0. \;

Утверждение cos C = 0 означает, что C является прямым углом, так a и b положительны. Другими словами, это теорема Пифагора. Хотя теорема косинусов является более общей чем теорема Пифагора, она не может использоваться для ее доказательства, поскольку теорема Пифагора сама используется для доказательства теоремы косинусов.


1. Доказательство (для острого угла)

Треугольник

Пусть a, b и c это стороны треугольника, а A, B и C это углы противоположные этим сторонам. Проведем отрезок из вершины угла B образует прямой угол с противоположной стороной, b. Если длина этого отрезка x, тогда \ Sin C = \ frac {x} {a}, \; откуда x = a \ cdot \ sin C. \;

Это означает, что длина этого отрезка a \ cdot \ sin C. \; Похожим образом, длина части b соединяющий точку пересечения отрезка со стороной b и угол C равна a \ cdot \ cos C. \; Остальные длины b равна b - a \ cdot \ cos C. \; Мы имеем два прямоугольных треугольника, один с катетами a \ cdot \ sin C, \;b - a \ cdot \ cos C, \; и гипотенузой c. Отсюда, согласно теоремы Пифагора :

  • c ^ 2 = (a \ cdot \ sin C) ^ 2 + (b - a \ cdot \ cos C) ^ 2 \;
  • c ^ 2 = a ^ 2 \ cdot \ sin ^ 2 C + b ^ 2 - 2 \ cdot a \ cdot b \ cdot \ cos C + a ^ 2 \ cdot \ cos ^ 2 C \;
  • c ^ 2 = a ^ 2 \ cdot (\ sin ^ 2 C + \ cos ^ 2 C) + b ^ 2 - 2 \ cdot a \ cdot b \ cdot \ cos C \;
  • \ Sin ^ 2 C + \ cos ^ 2 C \; всегда 1, следовательно
  • c ^ 2 = a ^ 2 + b ^ 2 - 2 \ cdot a \ cdot b \ cdot \ cos C \;

2. Доказательство теоремы косинусов используя векторы

Векторный треугольник

Используя векторы, мы можем легко доказать теорему косинусов. Пусть мы имеем произвольный треугольник с вершинами A, B, и C образованный векторами a, b, и c, нам известно, что:

  • \ Mathbf {a = b - c} \; отсюда
  • \ Mathbf {(b - c) \ cdot (b - c) = b \ cdot b - 2 b \ cdot c + c \ cdot c}. \;

Вспомнив чему равна произведение двух векторов, получим

  • \ Mathbf {| a | ^ 2 = | b | ^ 2 + | c | ^ 2 - 2 | b | | c |} \ cos \ theta. \;

См.. также