Теория Галуа

Теория Галуа - раздел алгебры, изучающий связь между расширением полей (в частности полями расписания многочленов) и группами автоморфизмов в полях. Исторически начало теории положили исследования Евариста Галуа по разрешимости многочленов в радикалах где он использовал понятие групп перестановок корней многочлена.


1. Применение к классическим задач

Теория Галуа дает единственный элегантный подход к решению таких классических задач как

  1. Какие фигуры можно построить циркулем и линейкой ?
  2. Которые алгебраические уравнения решаются с помощью стандартных операций алгебры ( добавление, вычитание, умножения, деления и вычисления корня)?

2. Симметрии корней

Симметрии корней - перестановки на множестве корней многочлена, для которого любом алгебраическом уравнению с рациональными коэффициентами, которому удовлетворяют корни, удовлетворяют и перестановки корней.

2.1. Пример: квадратное уравнение

В многочлена второй степени a x ? + b x + c есть два корня x 1 и x 2, симметричны относительно точки x = - b / 2 a. Возможны два варианта:

  • Если эти корни рациональные, то уравнению x - x 1 = 0 удовлетворяет только один корень, и группа уравнения тривиальна.
  • Если корни иррациональные, то группа содержит один нетривиальный элемент x 1x 2 и изоморфна \ Z / 2 \ Z .

2.2. Более сложный пример

Рассмотрим теперь многочлен (x 2 -5) 2 -24.

Его корни: a = \ sqrt {2} + \ sqrt {3}, b = \ sqrt {2} - \ sqrt {3}, c = - \ sqrt {2} + \ sqrt {3}, d = - \ sqrt {2 } - \ sqrt {3} .

Существует 4! = 24 различных перестановки корней этого уравнения, но не все они симметриями. Элементы группы Галуа должны сохранять любые уравнения алгебры с рациональными коэффициентами.

Одно из таких уравнений - a + ​​d = 0. Поскольку a + c ≠ 0, перестановка aa, bb, cd, dc не входит в группу Галуа.

Кроме того, можно заметить, что (a + b) ? = 8, но (a + c) ? = 12. Поэтому перестановка aa, bc, cb, dd не входит в группу.

Окончательно можно получить, что группа Галуа многочлена состоит из четырех перестановок:

(A, b, c, d)(a, b, c, d)
(A, b, c, d)(c, d, a, b)
(A, b, c, d)(b, a, d, c)
(A, b, c, d)(d, c, b, a)

и является 4-группой Клейна, изоморфной (\ Mathbb {Z} / 2 \ mathbb {Z}) \ times (\ mathbb {Z} / 2 \ mathbb {Z}) .


3. Формулировка в терминах теории полей

Теория полей дает более общее определение группы Галуа. При современном подходе к теории Галуа основными объектами изучения являются конечные расширения поля K и группы автоморфизмов на L / K (т.е. изоморфизм α: LL для которых α (x) = x для всех x из поля K). Данная группа изоморфизм также называется группой Галуа. Если расширение поля является расширением Галуа (т.е. конечным, нормальным и сепарабельного) то существует взаимно-однозначное соответствие между подгруппами группы Галуа и полями, такими, что KEL. Для произвольного многочлена f над полем K, поле разложения L этого многочлена является расширением Галуа поля K, поэтому можно определить его группу Галуа. Поскольку любой автоморфизмы α из этой группы оставляет неизменными элементы поля K, а также α (0) = 0, то 0 = α (f (x 1)) = α (f (x 2)), где x 1 - некоторое корень уравнения f, а x 2 = α (x 1). Так что каждый автоморфизмы на L / K переводит корни уравнения в корни уравнения и соответственно определяет перестановку на множестве этих корней. Наоборот каждая перестановка на множестве корней уравнения определяет автоморфизмы на L / K. Эти свойства показывают связь между классической и современной теории Галуа.

В классической теории Галуа как основное поле используется поле рациональных чисел \ Mathbb {Q} .


4. Разрешимы группы и решение уравнений в радикалах

Корни алгебраического уравнения P (x) = 0 выражаются в радикалах тогда и только тогда, когда группа уравнения разрешающая.

Существуют многочлены n - й степени над полем рациональных чисел группа Галуа которых изоморфна симметричной группе S n, то есть состоит из всех возможных перестановок. Поскольку группы S n при n> 4 не является разрешимой, существуют многочлены степени n, корни которых нельзя записать в виде радикалов - теорема Абеля-Руффини. Например, если многочлен несводимый над полем рациональных чисел, его степень - простое число p и p-2 корни этого многочлена являются действительными то его группа Галуа изоморфна S n. Примером такого многочлена являются, в частности: f (x) = x ^ 5-6x +3


См.. также

Литература

  • Е.Артин, Теория Галуа. - М.: Просвещение, 1963.
  • Ван дер Варден Б.Л. Алгебра-М:, Наука, 1975
  • Постников М. М. Теория Галуа. - М.: Физматгиз, 1963.
  • Howie, John Mackintosh (2006), Fields and Galois Theory, London: Springer, ISBN 1852339861.