Теория возмущений

Теория возмущений - метод решения математических задач, базируется на известном решения и рассматривает отклонения от этого решения пропорциональными определенном малом параметру.


1. Квантовая механика

Метод возмущений является одним из основных методов нахождения решений квантово-механических уравнений движения, в частности уравнения Шредингера. Различают метод возмущений для стационарного уравнения Шредингера и метод возмущений для временного уравнения Шредингера в том случае, когда возмущения зависит от времени.

1.1. Теория возмущений для стационарного уравнения Шредингера

Теория возмущений применяется тогда, когда нужно найти собственные значения и собственные функции гамильтониана

\ Hat {H} = \ hat {H} _0 + \ lambda \ hat {V} ,

где H_0 - Гамильтониан с известным спектром, \ Lambda - Малый параметр, \ Hat {V} - Оператор возмущения.

Для волновых функции \ Psi_n ^ {(0)} n-го состояния невозмущенного гамильтониана и энергии состояния справедливо соотношение

\ Hat {H} _0 \ psi_n ^ {(0)} = E_n ^ {(0)} \ psi_n ^ {(0)}

Для нахождения решения проводится расписание волновой функции в ряд Тейлора относительно малого параметра

\ Psi = \ psi ^ {(0)} + \ lambda \ psi ^ {(1)} + \ lambda ^ 2 \ psi ^ {(2)} + \ ldots .

Собственные функции невозмущенного гамильтониана составляют ортонормированной базис, поэтому любую волновую функцию можно представить в виде

\ Psi = \ sum_m c_n \ psi_n ^ {(0)} .

Таким образом, расписание в ряд Тейлора волновой функции аналогичный расписания коэффициентов c_n :

c_n = c_n ^ {(0)} + \ lambda c_n ^ {(1)} + \ lambda ^ 2 c_n ^ {(2)} + \ ldots

Аналогичным образом разлагается в ряд Тейлора энергия собственного состояния

E = E ^ {(0)} + \ lambda E ^ {(1)} + \ lambda ^ 2 E ^ {(2)} + \ ldots .


В первом приближении теории возмущений (когда учитываются только линейные по \ Lambda члены) энергия n-го состояния получает прирост

E_n = E_ {n} ^ {(0)} + \ lambda \ int \ psi_ {n} ^ {(0) *} \ hat {V} \ psi_ {n} ^ {(0)} dV .

Изменение волновой фунции определяется формулой

\ Psi_n ^ {(1)} = \ sum_ {m \ neq n} \ frac {V_ {nm}} {E_m ^ {(0)} - E_n ^ {(0)}} \ psi_m ^ {(0)} ,

где E_ {m} ^ {(0)} - Собственные значения невозмущенного гамильтониана \ Hat {H} _0 , А

V_ {nm} = \ int \ psi_n ^ {(0) *} \ hat {V} \ psi_n ^ {(0)} dV


Это изменение ортогональная начальной волновой функции \ Psi_n ^ {(0)} .


Во втором приближении теории возмущений учитываются члены, пропорциональные \ Lambda ^ 2 .

E_ {n} ^ {(2)} = \ sum_ {m \ neq n} \ frac {| V_ {nm} | ^ 2} {E_ {n} ^ {(0)} - E_ {m} ^ {( 0)}} .
\ Psi_n ^ {(2)} = - \ frac {1} {2} \ sum_ {m \ neq n} \ frac {V_ {nm} V_ {mn}} {(E_ {n} ^ {(0)} - E_ {m} ^ {(0)}) ^ 2} \ psi_n ^ {(0)} + \ sum_ {m \ neq n} \ left (\ sum_ {k \ neq m} \ frac {V_ {nk} V_ {km}} {(E_ {n} ^ {(0)} - E_ {m} ^ {(0)}) (E_ {n} ^ {(0)} - E_ {k} ^ {(0) })} - \ frac {V_ {nm} V_ {mm}} {(E_ {n} ^ {(0)} - E_ {m} ^ {(0)}) ^ 2} \ right) \ psi_m ^ { (0)}


Очевидно, что поправка к энергии оставаться малой лишь при условии, когда \ Lambda V_ {nm} \ ll E_ {n} ^ {(0)} - E_ {m} ^ {(0)} . То есть, теория возмущений в представленном виде справедлива лишь для систем и состояний, энергии которых не невырожденные и не близки между собой. Для систем с близкими уровнями энергий и вырожденных систем формулы теории возмущений меняются.


1.2. Теория возмущений вырожденных уровней

Возмущения обычно приводит к снятию вырождения. Состояния, в невозмущенном состоянии имели одинаковую энергию, при учете возмущения получают разное значение энергии.

В случае вырождения существуют собственных функций \ Varphi_ {n \ alpha} невозмущенного гамильтониана \ Hat {H} _0 , Соответствующие энергии E_n ^ {(0)}

\ Hat {H} _0 \ varphi_ {n \ alpha} = E_n ^ {(0)} \ varphi_ {n \ alpha} .

Любая линейная комбинация этих функций тоже является собственной функцией невозмущенного гамильтониана. Ища решение возмущенной задачи в виляди

\ Psi_n = \ sum_ {\ alpha} a_ {n \ alpha} \ varphi_ {n \ alpha}

где a_ {n \ alpha} - Неопределенные коэффициенты, получаем в первом приближении по малому параметру \ Lambda систему уравнений на собственные значения энергии

(E - E_n ^ {(0)}) a_ {n \ alpha} - \ lambda \ sum_ \ beta V_ {n \ alpha, n \ beta} a_ {n \ beta} = 0 .

Отклонение полученных значений энергии от положения n-го уровня невозмущенной задачи пропорциональное малому параметру. Определяя собственные значения энергии можно одновременно найти коэффициенты a_ {n \ alpha} , Которые определяют волновые функции возмущенных состояний.

В зависимости от типа возмущения снятия вырождения может быть неполным.


1.3. Зависящее от времени возмущение

Если возмущения зависит от времени нужно решать нестационарное уравнение Шредингера

i \ hbar \ frac {\ partial \ psi (t)} {\ partial t} = (\ hat {H} _0 + \ lambda \ hat {V} (t)) \ psi (t) .

Функцию \ Psi (t) можно представить в виде разложения по ортонормированной системе собственных функций гамильтониана невозмущенной задачи \ Hat {H} _0

\ Psi (t) = \ sum_n c_n (t) e ^ {-iE_nt / \ hbar} \ psi_n .

Зависимые от времени коэффициенты разложения c_n (t) должны удовлетворять систему уравнений

i \ hbar \ frac {dc_m} {dt} = \ lambda \ sum_n V_ {mn} (t) e ^ {i \ omega_ {mn} t} c_n (t) .

где \ Omega_ {mn} = (E_m - E_n) / \ hbar , А V_ {mn} (t) = \ int \ psi_m ^ * \ hat {V} (t) \ psi_n dV . Эта система уравнений полностью эквивалентна уравнению Шредингера. Считая \ Lambda малым параметром, решение можно искать в виде разложения

c_n (t) = c_n ^ {(0)} (t) + \ lambda c_n ^ {(1)} (t) + \ lambda ^ 2 c_n ^ {(2)} (t) + \ ldots .

Собирая члены с одинаковыми степенями по \ Lambda , Можно получить цепочку уравнения для приближенных решений

i \ hbar \ frac {dc ^ {(0)} _m} {dt} = 0
i \ hbar \ frac {dc ^ {(1)} _m} {dt} = \ sum_n V_ {mn} c_n ^ {(0)} (t) e ^ {i \ omega_ {mn} t}
i \ hbar \ frac {dc ^ {(2)} _m} {dt} = \ sum_n V_ {mn} c_n ^ {(1)} (t) e ^ {i \ omega_ {mn} t}

и тому подобное.

В нулевом приближении теории возмущений волновая функция не меняется. Предполагая, что к возмущению система находилась в одном из стационарных состояний s, c_m ^ {(0)} = \ delta_ {ms} .

В первом приближении теории возмущений

c_n ^ {(1)} (t) = \ frac {1} {i \ hbar} \ int_0 ^ t V_ {ns} (t ^ \ prime) e ^ {i \ omega_ {ns} t ^ \ prime} dt ^ \ prime .

Таким образом, вероятность того, что квантовая система под действием возмущения перейдет из состояния s в состояние n задается формулой

| \ Lambda c_n ^ {(1)} (t) | 2 = \ frac {1} {\ hbar ^ 2} \ left | \ int_0 ^ t \ lambda V_ {ns} (t ^ \ prime) e ^ { i \ omega_ {ns} t ^ \ prime} dt ^ \ prime \ right | ^ 2

1.3.1. Монохроматический возбуждения

Если возбуждение монохроматический, то есть его можно представить в виде

\ Lambda \ hat {V} (t) = \ hat {F} e ^ {-i \ omega t} + \ hat {F} ^ \ dagger e ^ {i \ omega t} ,

то интегрирование можно выполнить и получить

| \ Lambda c_n ^ {(1)} (t) | 2 = \ frac {1} {\ hbar ^ 2} \ left | F_ {ns} \ frac {1 - e ^ {i (\ omega_ {ns} - \ omega) t}} {\ omega_ {ns} - \ omega} + F ^ * _ {ns} \ frac {1-e ^ {i (\ omega_ {ns} + \ omega) t}} {\ omega_ {ns} + \ omega} \ right |

Вероятность перехода системы из состояния s в состояние n имеет полюса при \ Omega = \ pm \ omega_ {ns} . При частотах внешнего возбуждения, которые не совпадают с разностями энергий квантовых состояний, разделенных на постоянную Планка, эта вероятность мала величина, осциллирует со временем. При совпадении возникает явление резонанса и вероятность перехода значительно возрастает.

При \ Omega_ {ns}> 0 вторым членом можно знехнуваты, и тогда

| \ Lambda c_n ^ {(1)} (t) | 2 = \ frac {4} {\ hbar ^ 2} | F_ {ns} | ^ 2 \ frac {\ sin ^ 2 \ frac {(\ omega_ { ns} - \ omega) t} {2}} {(\ omega_ {ns} - \ omega) ^ 2} .

При t \ rightarrow \ infty зависящий от времени множитель переходит в дельта-функцию Дирака, а вероятность перехода в единицу времени задается золотым правилом Ферми

P_ {ns} = \ frac {2 \ pi} {\ hbar} | F_ {ns} | ^ 2 \ delta (E_n - E_s + \ hbar \ omega) .

Источники

  • Вакарчук И. А. Квантовая механика. - 4-е издание, дополненное. - Л. : ЛНУ им. Ивана Франко, 2012. - 872 с.
  • Федорченко А. М. Квантовая механика, термодинамика и статистическая физика / / Теоретическая физика. - К. : Высшая школа, 1993. - Т. 2. - 415 с.
  • Юхновский И. Г. Основы квантовой механики. - К. : Лыбидь, 2002. - 392 с.
  • Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Квантовая механика. Нерелятивистская теория / / Теоретическая физика. - М. : Физматлит, 2008. - Т. 3. - 800 с.


Физика Это незавершенная статья по физики.
Вы можете помочь проекту, исправив и дополнив ее.