Теория категорий

Теория категорий - раздел математики, изучающий свойства отношений между математическими структурами, независимо от внутреннего строения структур; абстрагируется от множеств и функций к диаграммам, где объекты связаны морфизма (стрелками).

Теория категорий занимает центральное место в современной математике [1], она также нашла применение в информатике [2] и в теоретической физике [3] [4]. Современное преподавание алгебраической геометрии и гомологической алгебры базируется на теории категории. Понятия теории категорий используются в языке функционального программирования Haskell.


1. История

Понятие категория была введена в 1945 году. Своим происхождением и первичными стимулами развития теория категорий обязана алгебраической топологии. Дальнейшие исследования выявили объединяющую и унифицируя роль понятия категория и связанного с ним понятия функтора для многих разделов математики.

Теоретико-категорний анализ основ теории гомологии привело к выделению в середине 50-х гг 20 в. так называемых абелевых категорий, в рамках которых оказалось возможным осуществить основные построения гомологической алгебры. В 60-е гг 20 в. определился растущий интерес к неабелевих категорий, вызванный задачами логики, общей алгебры, топологии и алгебраической геометрии. Интенсивное развитие универсальной алгебры и аксиоматическое построение теории гомотопий положили начало различным направлениям исследований: категорному изучению многообразия универсальной алгебры, теории изоморфизм прямых расписаний, теории связанных функторов и теории двойственности функторов. Дальнейшее развитие обнаружил существенный взаимосвязь между этими исследованиями. Благодаря возникновению теории относительных категорий, широко использует технику связанных функторов и замкнутых категорий, была установлена ​​двойственность между теорией гомотопий и теорией универсальных алгебр, основанная на интерпретации категорних определений моноида и комоноида в соответствующих функторов. Другой способ введения дополнительных структур в категориях связан с заданием в категориях топологии и построении категории пучков над топологической категории (так наз. Топос).


2. Определение

2.1. Категория

Категория \ Mathcal {C} состоит из класса Ob_ {\ mathcal {C}} , Элементы которого называются объектами категории, и класса Mor_ {\ mathcal {C}} , Элементы которого называются морфизм категории. Эти классы должны удовлетворять следующим условиям:

  1. Каждой упорядоченной паре объектов А, В сопоставлены класс \ Mathrm {Hom} _ {\ mathcal {C}} (A, B) : Если f \ in \ mathrm {Hom} _ {\ mathcal {C}} (A, B) , То А называется началом, или областью определения морфизму f, а В - конец, или область значений f.
  2. Каждый морфизм категории принадлежит одному и только одному классу \ Mathrm {Hom} _ {\ mathcal {C}} (A, B) .
  3. В классе Mor_ {\ mathcal {C}} заданный частичный закон умножения: произведение морфизма f \ in \ mathrm {Hom} (A, B) и g \ in \ mathrm {Hom} (C, D) определены тогда и только тогда, когда В = С, и принадлежит классу \ Mathrm {Hom} (A, D) . Произведение f и g сказывается g \ circ f .
  4. Справедливый закон ассоциативности : h \ circ (g \ circ f) = (h \ circ g) \ circ f для любых морфизма для которых данные произведения определены.
  5. В каждом классе \ Mathrm {Hom} (A, A) определен такой морфизм id_A , Что f \ circ id_A = id_B \ circ f = f для f \ in \ mathrm {Hom} (A, B) ; Морфизма id_A называются единичными, тождественными, или единицами.
Заметка: класс объектов обычно не является множеством в смысле аксиоматической теории множеств. Категория, в которой объекты составляют множество, называется малой. Кроме того, в принципе возможно (с небольшим исправлением определение) рассматривать категории, в которых морфизм между любыми двумя объектами также образуют класс, или даже большую структуру [5].

2.2. Примеры категорий

Все вышеперечисленные категории допускают изоморфное вложения в категорию множеств. Категории, с таким свойством, называются конкретными. Не всякая категория является конкретной, например категория, объектами которой являются все топологические пространства, а морфизм - классы гомотопных отображений.


2.3. Коммутативны диаграммы

Стандартным способом описания утверждений теории категорий является коммутативны диаграммы. Коммутативна диаграмма - это ориентированный граф, в вершинах которого находятся объекты, а стрелками есть морфизм или функторы, причем результат композиции стрелок не зависит от выбранного пути. Например, аксиомы теории категорий можно записать с помощью диаграмм

Категория с объектами X, Y, Z и морфизм f, g

2.4. Двойственность

Для категории \ Mathcal {C} можно определить двойственную категорию \ Mathcal {C} ^ {op} , В которой:

  • объекты совпадают с объектами начальной категории;
  • морфизма получаемые "вращением стрелок": \ Mathrm {Hom} _ {\ mathcal {C} ^ {op}} (B, A) \ simeq \ mathrm {Hom} _ {\ mathcal {C}} (A, B)

Вообще, для любого утверждения теории категорий можно сформулировать двойное утверждение посредством обращения стрелок. Часто двойное явление обозначается тем же термином с приставкой ко-(см. примеры ниже).

Справедлив так принцип двойственности: утверждение г истинно в теории категорий тогда и только тогда, когда в этой теории истинно двойственное утверждение г *. Многие понятия и результатов в математике оказались двойственными друг другу с точки зрения понятий теории категорий: иньективнисть и сюрьективнисть, многообразия и радикалы в алгебре и т. д.


2.5. Изоморфизм, ендоморфизм, автоморфизмы

Морфизм f \ in \ mathrm {Hom} (A, B) называется изоморфизмом, если существует такой морфизм g \ in \ mathrm {Hom} (B, A) , Что g \ circ f = id_A и f \ circ g = id_B . Два объекта, между которыми существует изоморфизм, называются изоморфными. В частности, тождественный морфизм является изоморфизмом, поэтому любой объект изоморфен себе.

Морфизма, в которых начало и конец совпадают, называют ендоморфизмамы. Множество ендоморфизмив \ \ Mathrm {End} (A) = \ mathrm {Hom} (A, A) есть моноидом относительно операции композиции с единичным элементом \ Id_A .

Ендоморфизмы, которые одновременно являются изоморфизм, называются автоморфизмов. Автоморфизмов любого объекта образуют группу автоморфизмов \ \ Mathrm {Aut} (A) по композиции.


2.6. Мономорфизм, епиморфизм, биморфизм

Мономорфизм - это морфизм f \ in \ mathrm {Hom} (A, B) такой, что для любых g_1, g_2 \ in \ mathrm {Hom} (X, A) с f \ circ g_1 = f \ circ g_2 следует, что \ G_1 = g_2 . Композиция мономорфизм является мономорфизм.

Епиморфизм - это такой морфизм, что для любых g_1, g_2 \ in \ mathrm {Hom} (B, X) с g_1 \ circ f = g_2 \ circ f следует \ G_1 = g_2 .

Биморфизм - это морфизм, являющийся одновременно мономорфизм и епиморфизмом. Любой изоморфизм является биморфизмом, но не любой биморфизм является изоморфизмом.

Мономорфизм, епиморфизм и биморфизм являются обобщениями понятий иньективного, сюрьективного и биективного отображения соответственно. Любой изоморфизм является мономорфизм и епиморфизмом, обратное, вообще говоря, верно не для всех категорий.


2.7. Инициальный и терминальный объекты

Инициальный (начальный, универсально отталкивающий) объект категории - это такой объект, с которого существует единственный морфизм в любой другой объект.

Если инициальные объекты в категории существуют, то все они изоморфны.

Двойственным образом определяется терминальный объект - это такой объект, в который существует единственный морфизм из любого другого объекта.

Пример: В категории Set инициальный объектом является пустое множество \ Empty , Терминальным - множество из одного элемента \ {\ Cdot \} .
Пример: В категории Group инициальный и терминальный объект совпадают - это группа из одного элемента.

2.8. Произведение и сумма объектов

Произведение объектов A и B - это объект A \ times B с морфизм p_1: A \ times B \ to A и p_2: A \ times B \ to B такими, что для любого объекта C с морфизм f_1: C \ to A и f_2: C \ to B существует единственный морфизм g: C \ to A \ times B такой, что g \ circ p_1 = f_1, \ quad g \ circ p_2 = f_2 . Морфизма p_1: A \ times B \ to A и p_2: A \ times B \ to B называются проекциями.

Дуально определяется прямая сумма или кодобуток A + B объектов A и B . Соответствующие морфизма \ Imath_A: A \ to A + B и \ Imath_B: B \ to A + B называются вложениями. Несмотря на свое название, в общем случае они могут и не быть мономорфизм.

Если произведение и кодобуток существуют, то они определяются однозначно с точностью до изоморфизма.


2.8.1. Примеры

  • В категории Set прямое произведение A и B - это произведение в смысле теории множеств A \ times B , А прямая сумма - дизьюнктне объединения A \ sqcup B .
  • В категории Ring прямая сумма - это тензорный произведение A \ otimes B , А прямое произведение - сумма колец A \ oplus B .
  • В категории Vect K прямое произведение и прямая сумма изоморфны - это сумма векторных пространств A \ oplus B .

3. Функторы

Функторы - отображение категорий, сохраняющих структуру. Точнее

(Ковариантный) функтор \ Mathcal {F}: \ mathcal {C} to \ mathcal {D} ставит в соответствие каждому объекту категории \ Mathcal {C} объект категории \ Mathcal {D} и каждому морфизму f: A \ to B морфизм F (f): F (A) \ to F (B) так, что

  • F (id_A) = id_ {F (A)} \, и
  • F (g) \ circ F (f) = F (g \ circ f) .

Контравариантний функтор, или кофунктор - это функтор из \ Mathcal {C} в \ Mathcal {D} ^ {op} , То есть "функтор, который переворачивает стрелки".


Примечания

  1. Хелемский А. Я. Лекции по функциональному анализу. - М.: МЦНМО, 2004 ISBN 5-94057-065-8
  2. DE Rydeheard, RM Burstall Computational Category Theory, - New York: Prentice Hall. - В 1988. - XIII, 257 г. - ISBN 0-13-162736-8.
  3. Нужна физикам теория категорий? - elementy.ru/news/430819
  4. Топос для физики. - topos-physics.org / {ref-en}
  5. J. Adбmek, H. Herrlich, GE Strecker Abstract AND Concrete Categories: The joy of cats - katmat.math.uni-bremen.de/acc, - New York: John Wiley and Sons, - 1990.

Литература

  • С. Маклейн Категории для работающего математика, - М.: Физматлит, 2004. - 352 с - ISBN 5-9221-0400-4.
  • И. Букур, А. Деляну Введение в теорию категорий и функторов. - М.: Мир, 1972.
  • Цаленко М. С., Шульгейфер Е. Г. Основы теории категорий. - М.: Наука, 1974.
  • Ad?mek, Jiř?; Herrlich, Horst; Strecker, George E. (1990). Abstract and concrete categories. John Wiley & Sons. ISBN 0-471-60922-6.
  • Awodey, Steven (2006). Category Theory (Oxford Logic Guides 49). Oxford University Press.
  • Pedicchio, Maria Cristina; Tholen, Walter (2004). Categorical foundations. Encyclopedia of Mathematics and its Applications 97. Cambridge University Press.