Надо Знать

добавить знаний



Теория множеств



План:


Введение

Диаграмма Венна, иллюстрирующая пересечение двух множеств

Теория множеств - раздел математики, в котором изучаются общие свойства множеств. Теория множеств лежит в основе большинства математических дисциплин, она оказала глубокое влияние на понимание предмета самой математики.

Современные исследования теории множеств была начаты Георгом Кантор и Рихардом Дедекиндом в 1870-х годах. После открытия парадоксов наивной теории множеств, в начале ХХ века были предложены многочисленные системы аксиом, среди которых самым известным является система Цермело-Френкеля, с аксиомой выбора.


1. Наивная теория множеств

Георг Кантор ( 1845 - ? 1918), основатель теории множеств

До второй половины 19 века понятие "множества" не рассматривалось как математическое ("множество книг на полке", "множество человеческих добродетелей" и т. д. - все это чисто бытовые обороты). Положение изменилось, когда немецкий математик Георг Кантор разработал свою программу стандартизации математики, в рамках которой любой математический объект должен быть той или иной "множеством" [1] [2]. Например, натуральное число за Кантором следовало рассматривать как множество, состоящее из единственного элемента другого множества, называемой "натуральным рядом", который, в свою очередь, сам является множеством, удовлетворяющей так называемым аксиомам Пеано. При этом общему понятию "множества", что рассматривалось им как центральное для математики, Кантор давал весьма размыты определение, что "множество есть многое, мыслимое как единое", и т. д. Это вполне соответствовало намерения самого Кантора, который подчеркнуто называл свою программу не "теорией множеств" (этот термин появился много позже), а "учением о множествах" (Mengenlehre).

Программа Кантора вызвала резкие протесты со стороны многих современных ему известных математиков. Особенно выделялся своим непримиримым к ней отношением Леопольд Кронекер, который считал, что математическими объектами могут считаться лишь натуральные числа и то, что к ним непосредственно сводится (известна его фраза о том, что "бог создал натуральные числа, а все остальное - дело рук человеческих"). Полностью отвергли теорию множеств и такие авторитетные математики, как Герман Шварц и Анри Пуанкаре. Однако, некоторые другие математики - в частности, Готлоб Фреге, Рихард Дедекинд и Давид Гильберт - поддержали Кантора в его намерении перевести всю математику на теоретико-множественную язык. В частности, теория множеств стала основой: теории меры, топологии, функционального анализа.

Однако вскоре выяснилось, что направление Кантора на отсутствие ограничений при операциях с множествами (выраженное им самим в принципе "суть математики заключается в ее свободе") несовершенна изначально, а именно, было найдено ряд теоретико-множественных антиномий : оказалось, что при использовании теоретико-множественных представлений некоторые утверждение могут быть доказаны вместе со своими возражениями (а тогда, согласно правилам классической логики высказываний, может быть "доказано" абсолютно любое утверждение). Антиномии ознаменовали собой полный провал программы Кантора.


2. Аксиоматическая теория множеств

Эрнст Цермело ( 1871 - ? 1953), автор аксиоматики теории множеств

В 1901 году Бертран Расселл, изучая наивную теорию множеств, пришел к парадокса (с тех пор известному как парадокс Рассела). Таким образом была продемонстрирована противоречивость наивной теории множеств и, связанной с ней канторивскои программы стандартизации математики. Аксиоматической теории множеств была первоначально разработана, чтобы избавиться от таких парадоксов в теории множеств. [3]

После обнаружения антиномии Рассела часть математиков (например, Л. Э. Я. Брауэр и его школа) решила полностью отказаться от использования теоретико-множественных представлений.

Другая часть математиков, возглавленная Давидом Гильбертом сделала ряд попыток обосновать ту часть теоретико-множественных представлений, которая казалась им меньше ответственным за возникновение антиномий, на основе надежной финитных математики.

Логический аппарат усовершенствовал Бертран Рассел в работах, позднее собранных в его монографии "Principia Mathematica" (1910-1913). И в 1904-1908 годах Эрнст Цермело предложил первую из аксиоматической теории множеств.

Особенностью аксиоматического подхода является отказ от заложенного в программу Кантора представление о настоящем существование множеств в некотором идеальном мире. В рамках аксиоматических теорий множества "существуют" исключительно формальным образом, и их "свойства" могут существенно зависеть от выбора аксиоматики. Этот факт всегда был мишенью для критики со стороны тех математиков, которые не соглашались (как на том настаивал Гильберт) признать математику, лишенной всякого содержания, игрой в символы. В частности, М. М. Лузин писал, что "мощность континуума, если только мыслить его как множество точек является некая единая реальность" , место которой в ряду кардинальных чисел не может зависеть от того, признается как аксиома континуум-гипотеза, или ее отрицание.

Сейчас распространенной аксиоматической теорией множеств является ZFC - теория Цермело-Френкеля с аксиомой выбора. Вопрос о непротиворечивости этой теории (а тем более - о существовании модели для нее) остается нерешенным.


3. Основные понятия

В основе теории множеств лежат первичные понятия: множество и элемент множества. Элемент множества находится относительно множества в отношении быть элементом множества (обозначается как x \ in A [4] - "x есть элемент множества A"). Среди производных понятий важными являются следующие:

  • пустое множество - множество, не содержит элементов, обозначается обычно \ Varnothing ;
  • подмножество и надмножина - множество, состоящее только из элементов другой множества, и множество, к которой принадлежат все элементы другого множества, соответственно;
  • семейство множеств;
  • пространство (универсум) - множество, есть надмножиною всех множеств;
  • конституента.

Над множествами определены следующие операции :

Для множеств определены следующие бинарные отношения :


4. Области исследования

4.1. Комбинаторная теория множеств

Комбинаторная теория множеств (бесконечная комбинаторика) рассматривает расширение комбинаторики для бесконечных множеств. Это включает в себя исследование кардинальной арифметики и изучения расширений теоремы Рамзея, таких как теорема Ердеша-Радо [5].

4.2. Описательная теория множеств

4.3. Нечеткие множества

Нечеткие множества были введены одновременно [6] Лотфи Заде [7] и Дитером Кляуа [8] в 1965 году как расширение классического понятия множества. В теории множеств введенной Кантором и аксиоматизовании Цермело и Френкелем, элемент или принадлежит множеству, или нет. В теории нечетких множеств это условие было ослаблено, элемент имеет степень принадлежности к множеству, который задается числом между 0 и 1. Например, степень принадлежности конкретного человека к множеству "высоких людей" является гибким, чем просто да или нет, и может быть действительным числом, скажем, 0,75.


4.4. Детерминированность

4.5. Форсинг

См.. также


Источники


код для вставки
Данный текст может содержать ошибки.

скачать

© Надо Знать
написать нам