Теория операторов

Теория операторов - раздел функционального анализа, который изучает свойства непрерывных линейных отображений между нормированными пространствами. Вообще говоря, оператор - это аналог обычной функции или матрицы в конечномерных пространстве. Но оператор может действовать и в бесконечномерных пространствах.

Отображение T с векторного пространства X в векторное пространство Y называется линейным оператором, если T (\ alpha x + \ beta y) = \ alpha T (x) + \ beta T (y) для любых x и y с X и любых скаляров \ Alpha и \ Beta . Часто пишут Tx вместо T (x) . Линейный оператор из нормируемого пространства X в нормируемое пространство Y называется ограниченным, если найдется положительное действительное число M такое, что для всех x \ in X\ | Tx \ | \ le M \ | x \ | . Наименьшая такая константа M , Которая удовлетворяет этому условию, называется нормой оператора T и обозначается \ | T \ | . Нетрудно видеть, что линейный оператор между нормированными пространствами ограничен тогда и только тогда, когда он непрерывен. Под термином "оператор" в функциональном анализе обычно понимают ограниченный линейный оператор.

Множество всех (ограниченных линейных) операторов с нормированного пространства X в нормируемое пространство Y сказывается L (X, Y) . В случае, когда X = Y пишут L (X) вместо L (X, X) . Если H - Гильбертово пространство, то обычно пишут B (H) вместо L (H) . На L (X, Y) можно ввести структуту векторного пространства через (T + S) x = Tx + Sx и T (\ alpha x) = \ alpha (Tx) , Где T, S \ in L (X, Y) , А \ Alpha - Произвольный скаляр. С введенной выше операторной нормой, L (X, Y) превращается в нормируемое пространство.

В частности, \ | S + T \ | \ le \ | S \ | + \ | T \ | и \ | \ Alpha T \ | = | \ alpha | \ cdot \ | T \ | для любых T, S \ in L (X, Y) и произвольного скаляра \ Alpha . Пространство L (X, Y) есть Банаховых тогда и только тогда, когда Y - Банахов.

Пусть X , Y и Z - Нормированные пространства, T \ in L (X, Y) и S \ in L (X, Y) . Композиция S и T сказывается TS и называется "произведением" операторов S и T . Заметим, что TS \ in L (X, Z) и \ | TS \ | \ le \ | T \ | \ cdot \ | S \ | . Если X - Банахов пространство, то L (X) с введенным выше умножением является банаховых алгеброй.

В "теории операторов" можно выделить несколько основных разделов:

  1. Спектральная теория изучает спектр оператора.
  2. Классы операторов. В частности, компактные операторы, Фредгольма операторы, изоморфизмы, изометрии, строго сингулярные операторы и т.д.. Изучают также неограниченные операторы и частично определены операторы, в частности замкнутые операторы.
  3. Операторы на специальных нормированных пространствах.
    • На гильбертовом пространстве изучают самоспряжени, нормальные, унитарные, положительные операторы и др..
    • На функциональных пространствах: дифференциальные, псевдодиференциальни, интегральные, и псевдоинтегральни операторы; операторы умножения, подстановки, подстановки с весом и др..
    • На банаховых решетках: положительные операторы, регулярные операторы и т.д..
  4. Совокупности операторов (т.е. подмножества L (X) ): Операторная алгебра, операторные полугруппы и др..
  5. Теория инвариантных подпространств.


Сигма Это незавершенная статья по математики.
Вы можете помочь проекту, исправив и дополнив ее.