Теория упругости

Теория упругости - раздел механики сплошных сред, изучающий деформации и напряжения в телах, находящихся в покое или движутся под действием нагрузок.


1. Задача теории упругости

Задачей этой теории есть запись математических уравнений, решение которых позволяет ответить на следующие вопросы:

  • какими будут деформации конкретного тела, если к нему приложить в известных местах погрузки заданной величины?
  • какими будут при этом напряжение в теле?

Вопрос, тело разрушится, выдержит эти нагрузки, тесно связанные с теорией упругости, но, строго говоря, не входит в его компетенцию.

Примеров можно привести множество - от определения деформаций и напряжений в нагруженной балке на опорах, в расчет этих же параметров в корпусе самолета, ракеты, подлодки, в колесе вагона в броне танка при ударе снаряда, в горном массиве при прокладке штольни, в каркасе высотного здания и так далее.

Для случая инженерных задач, напряжения и деформации в конструкциях рассчитывают по упрощенным теориям, логически базируются на теории упругости. К таким теориям относятся: сопротивление материалов, задачей которого является расчет стержней и балок, а также оценка напряжений, возникающих в зонах контактного взаимодействия твердых тел; строительная механика - расчет стержневых систем (например, мостов), и теория оболочек - самостоятельная и хорошо развитая отрасль науки о деформации и напряжения, предметом исследования которой является тонкостенные оболочки - цилиндрические, конические, сферические, и сложные формы.


2. Основные понятия теории упругости

Распределение напряжений на площинках элементарного параллелепипеда

Основными понятиями теории упругости является напряжение, действующих на малых площинках, которые можно мысленно провести в теле через заданную точку P, деформации малой окрестности точки P и перемещения самой точки P. Точнее говоря, вводятся тензор механических напряжений \ Sigma_ {ij} \, \! , Тензор малых деформаций \ Varepsilon_ {ij} \, \! и вектор перемещения u i. Краткое обозначение \ Sigma_ {ij} \, \! , Где индексы i, j принимают значения 1, 2, 3 (или x, y, z) следует понимать как матрицу в видах:

\ Boldsymbol {\ sigma_ {ij}} = \ begin {bmatrix} \ sigma_ {11} & \ sigma_ {12} & \ sigma_ {13} \ \ \ sigma_ {21} & \ sigma_ {22} & \ sigma_ {23 } \ \ \ sigma_ {31} & \ sigma_ {32} & \ sigma_ {33} \ end {bmatrix} = \ left [{\ begin {matrix} \ sigma _ {xx} & \ sigma _ {xy} & \ sigma _ {xz} \ \ \ sigma _ {yx} & \ sigma _ {yy} & \ sigma _ {yz} \ \ \ sigma _ {zx} & \ sigma _ {zy} & \ sigma _ {zz} \ \ \ end {matrix}} \ right] \, \!

Аналогично следует понимать и краткое обозначение тензора \ Varepsilon_ {ij} \, \! .

Если физическое точка тела M вследствие деформации заняла новое положение в пространстве P ', то вектор перемещения является вектор \ Mathbf {PP '} с компонентами (u x, u y, u z), или, сокращенно, u i. В теории малых деформаций компоненты u i и \ Varepsilon_ {ij} \, \! считаются малыми величинами (строго говоря, бесконечно малыми). Компоненты тензора \ Varepsilon_ {ij} \, \! , Который также называется тензор деформации Коши или линейный тензор деформации и вектора u i связаны зависимостями:

\ Varepsilon_ {ij} = \ frac {1} {2} \ left (u_ {i, j} + u_ {j, i} \ right) = \ left [\ begin {matrix} \ varepsilon_ {xx} & \ varepsilon_ {xy} & \ varepsilon_ {xz} \ \ \ varepsilon_ {yx} & \ varepsilon_ {yy} & \ varepsilon_ {yz} \ \ \ varepsilon_ {zx} & \ varepsilon_ {zy} & \ varepsilon_ {zz} \ \ \ end {matrix} \ right] = \ left [\ begin {matrix} \ frac {\ partial u_x} {\ partial x} & \ frac {1} {2} \ left (\ frac {\ partial u_x} {\ partial y} + \ frac {\ partial u_y} {\ partial x} \ right) & \ frac {1} {2} \ left (\ frac {\ partial u_x} {\ partial z} + \ frac {\ partial u_z} {\ partial x} \ right) \ \ \ frac {1} {2} \ left (\ frac {\ partial u_y} {\ partial x} + \ frac {\ partial u_x} {\ partial y} \ right) & \ frac {\ partial u_y} {\ partial y} & \ frac {1} {2} \ left (\ frac {\ partial u_y} {\ partial z} + \ frac {\ partial u_z} {\ partial y} \ right) \ \ \ frac {1} {2} \ left (\ frac {\ partial u_z} {\ partial x} + \ frac {\ partial u_x} {\ partial z} \ right) & \ frac {1} { 2} \ left (\ frac {\ partial u_z} {\ partial y} + \ frac {\ partial u_y} {\ partial z} \ right) & \ frac {\ partial u_z} {\ partial z} \ \ \ end {matrix} \ right] \, \!

С последней записи видно, что \ Varepsilon_ {ij} = \ varepsilon_ {ji} \, \! , Поэтому тензор деформации является симметричным по определению.

Если упругое тело под действием внешних сил находится в равновесии (т.е. скорости всех его точек равны нулю), то в равновесии находится и любая часть тела, которую мысленно можно из него выделить. Из тела выделяется бесконечно малый прямоугольный параллелепипед, грани которого параллельны координатным плоскостям декартовой системы. Из условия равновесия параллелепипеда с размерами ребер dx, dy, dz, рассмотрев условия равновесия сил в проекциях, можно получить:

\ Begin {align} & \ frac {\ partial \ sigma_ {xx}} {\ partial x} + \ frac {\ partial \ sigma_ {xy}} {\ partial y} + \ frac {\ partial \ sigma_ {xz} } {\ partial z} + F_x = 0 \ \ & \ frac {\ partial \ sigma_ {yx}} {\ partial x} + \ frac {\ partial \ sigma_ {yy}} {\ partial y} + \ frac { \ partial \ sigma_ {yz}} {\ partial z} + F_y = 0 \ \ & \ frac {\ partial \ sigma_ {xx}} {\ partial x} + \ frac {\ partial \ sigma_ {zy}} {\ partial y} + \ frac {\ partial \ sigma_ {zz}} {\ partial z} + F_z = 0 \ \ \ end {align}

Аналогично получаются уравнения равновесия, выражающих равенство нулю главного момента всех сил, действующих на параллелепипед, приводимые к виду:

\ Sigma_ {xy} = \ sigma_ {yx} \ sigma_ {yz} = \ sigma_ {zy} \ sigma_ {zx} = \ sigma_ {xx} \, \!

Это равенство означает, что тензор напряжений является симметричным тензор и число неизвестных компонент тензора напряжений сводится к 6. Есть только три уравнения равновесия, т.е. уравнений статики недостаточно для решения задачи. Выход из положения состоит в том, чтобы выразить напряжения \ Sigma_ {ij} \, \! через деформации \ Varepsilon_ {ij} \, \! с помощью уравнений закона Гука, а затем деформации \ Varepsilon_ {ij} \, \! выразить через перемещения u i с помощью формул Коши, и результат подставить в уравнение равновесия. При этом получается три дифференциальные уравнения равновесия относительно трех неизвестных функций u x u y u z, т.е. число неизвестных будет соответствовать числу уравнений. Эти уравнения называются уравнениями Навье-Коши.

\ Left (\ lambda + \ mu \ right) \ frac {\ partial} {\ partial x} \ left (\ frac {\ partial u_x} {\ partial x} + \ frac {\ partial u_y} {\ partial y} + \ frac {\ partial u_z} {\ partial z} \ right) + \ mu \ left (\ frac {\ partial ^ 2 u_x} {\ partial x ^ 2} + \ frac {\ partial ^ 2 u_x} {\ partial y ^ 2} + \ frac {\ partial ^ 2 u_x} {\ partial z ^ 2} \ right) + F_x = 0 \, \!
\ Left (\ lambda + \ mu \ right) \ frac {\ partial} {\ partial y} \ left (\ frac {\ partial u_x} {\ partial x} + \ frac {\ partial u_y} {\ partial y} + \ frac {\ partial u_z} {\ partial z} \ right) + \ mu \ left (\ frac {\ partial ^ 2 u_y} {\ partial x ^ 2} + \ frac {\ partial ^ 2 u_y} {\ partial y ^ 2} + \ frac {\ partial ^ 2 u_y} {\ partial z ^ 2} \ right) + F_y = 0 \, \!
\ Left (\ lambda + \ mu \ right) \ frac {\ partial} {\ partial z} \ left (\ frac {\ partial u_x} {\ partial x} + \ frac {\ partial u_y} {\ partial y} + \ frac {\ partial u_z} {\ partial z} \ right) + \ mu \ left (\ frac {\ partial ^ 2 u_z} {\ partial x ^ 2} + \ frac {\ partial ^ 2 u_z} {\ partial y ^ 2} + \ frac {\ partial ^ 2 u_z} {\ partial z ^ 2} \ right) + F_z = 0 \, \!

где коэффициенты Ламе :

\ Lambda = \ frac {E \ nu} {(1 + \ nu) (1-2 \ nu)}
\ Mu = \ frac {E} {2 (1 + \ nu)} .

3. Граничные условия

Решение задач теории упругости сводится к интегрированию системы дифференциальных уравнений в частных производных, определяющие поведение упругого тела во внутренних точках. К этим уравнениям добавляются условия на поверхности, ограничивающей тело. Эти условия определяют задания или внешних поверхностных сил, или перемещений точек поверхности тела. В зависимости от этого обычно формулируют один из трех типов краевых задач.

Первая краевая задача - кинематическая. В объеме тела отыскиваются составляющие перемещений, приобретают на поверхности определенных значений. В условии на поверхности тела таким образом задаются уравнения поверхности и значения составляющих перемещений на ней.

Вторая краевая задача - статическая. В этом случае на поверхности тела не наложены никакие ограничения на перемещение и задаются уравнения поверхности, направляющие косинусы нормали к поверхности и значения составляющих поверхностных нагрузок.

В случае, когда поверхность тела совпадает с координатными плоскостями, граничные условия могут быть сформулированы непосредственно в напряжениях. Тогда достаточно указать уравнение поверхности и задать значения составляющих напряжений на ней.

Третья краевая задача - смешанная. В этом случае на одной части поверхности тела задаются кинематические условия, а на другой - статические.

Этими тремя задачами не исчерпывается все разнообразие граничных условий. Например, на некотором участке поверхности могут быть заданы не все три составляющие перемещения или составляющие поверхностной нагрузки.


4. Смотри также

Закон Гука
Упругость
Упругие силы
Тензор механических напряжений
Тензор деформации
Модули упругости

Источники

  • Тимошенко С. П., Гудьер Дж. Теория упругости. М.: Наука, 1979. 560 с.