Топология

Лента Мебиуса, интересна тем, что имеет только одну поверхность; такие формы являются объектом изучения топологии.

Топология ( греч. τόπος - Место, logos - наука) - раздел математики, который приближен к геометрии. В то время как алгебра начинается с рассмотрения операций, геометрия - фигур, а математический анализ - функций; фундаментальные понятия топологии - непрерывность. Непрерывное отображение деформирует пространство, не разрывая его, при этом отдельные точки или части пространства могут склеиться (соединиться), но близкие точки остаются близкими. В отличие от геометрии, где рассматриваются преимущественно метрические характеристики, такие как длина, угол и площадь, в топологии эти характеристики считаются несущественными на фоне изучаются такие фундаментальные свойства фигуры, как связность (количество кусков, дыр и т.п.) или возможность непрерывно здеформуваты ее к сфере и обратно (возможно для поверхности куба, но невозможно для поверхности тора).

Аксиоматика топологии построена на принципах теории множеств, но ведущую роль в исследованиях по современной топологии играют прежде алгебраические и геометрические методы. Объектами исследования топологии является топологические пространства, общее обобщения таких структур как граф, поверхность в трехмерном пространстве и множество Кантора, и отображения между ними. При этом исследуются свойства топологических пространств как в малом (локальные), так и в целом (глобальные). Среди различных направлений топологии отметим приближенную к теории множеств общую топологию, которая изучает такие общие свойства абстрактных топологических пространств как компактность или связность, и алгебраическую топологию, которая пытается описать топологические пространства с помощью их алгебраических инвариантов, например чисел Бетти и фундаментальной группы. Геометрическая топология изучает топологические пространства геометрического происхождения, в частности узлы в трехмерном евклидовом пространстве и трехмерные многообразия. Геометрической топологии принадлежит одна из крупнейших и известнейших математических проблем, гипотеза Пуанкаре, которую наконец ( 2003 г.) доказал российский математик Григорий Перельман.

Наряду с алгеброй и геометрией, топологические методы широко используются в функциональном анализе, теории динамических систем и современной математической физике.

Термин топология используется для обозначения как математической дисциплины, так и для определенной математической структуры, смотри топологическое пространство.


1. Ранняя история

Семь мостов Кенигсберга - первая задача топологии была рассмотрена Л. Эйлером.

Первоначальные исследования по топологии относятся Леонарду Эйлеру. Считается, что статья Эйлера "Solutio problematis ad geometriam situs pertinentis" ("Решение вопроса, связанного с геометрией положения"), напечатанная в 1736 г., содержала первые результаты по топологии. Новая точка зрения, предложенная Эйлером, заключалась в том, чтобы во время изучения определенных вопросов геометрии отказаться от рассмотрения метрических свойств геометрических фигур, таких как длина и площадь. Так, в 1750 г. в письме Гольдбаха Эйлер сообщил о своей славной формулу

В - Р + Г = 2,

связывающая число вершин В, ребер Р и граней Г выпуклого многогранника.

В 1895 г. Анри Пуанкаре опубликовал цикл статей Analysis Situs, в которых заложил основы алгебраической топологии. Совершенствуя предыдущие исследования относительно связности топологических пространств, Пуанкаре ввел понятие гомотопии и гомологии и предоставил определения фундаментальной группы.

В определенном смысле, работы Пуанкаре подвели итог исследованиям Эйлера, Люилье, Гаусса, Римана, листинг, Мебиуса, Жордана, Клейна, Бетти и др.. с комбинаторной и геометрической топологии. Важным отличием почти всех этих работ, включая Пуанкаре, был их интуитивный характер. Одновременно с существенным количеством примеров топологических объектов и результатов по их свойств, новой области математики хватало ли не самого главного: строгого определения объектов ее исследования, т.е. современным языком, топологических пространств.

Осознание важности топологической парадигмы в математическом анализе, связанной со строгим обоснованием границ, непрерывности и компактности в работах Больцано, Коши, Вейерштрасса, Кантора и др.. привело к аксиоматического определения основных понятий топологии и развития общей топологии, а вместе с ней и топологии векторных пространств, функционального анализа. Таким образом, проблемы анализа образуют Во-вторых, во многом, независимое от вопросов геометрии, источник для развития топологии. Следует отметить, что до сих пор пути развития общей и алгебраической топологии почти не пересекаются.

Общепризнанная ныне аксиоматика топологии основывается на теории множеств, которая была образована Георгом Кантором во второй половине 19-го века. В 1872 г. Кантор дал определение открытых и замкнутых множеств действительных чисел. Интересно отметить, что Кантор поступил в некоторых идей теории множеств, например, множества Кантора, в пределах своих исследований по рядов Фурье. Систематизируя работы Георга Кантора, Вито Вольтерры, Чезаре Арцелы, Жака Адамара и др.., в 1906 году Морис Фреше обозначил понятие метрического пространства. Чуть позже было осознано, что метрическое пространство - это частный случай общего понятия, топологического пространства. В 1914 г. Феликс хаусдорфовой использовал термин "топологическое пространство" в близком к современному смысле (рассмотренные им топологические пространства сейчас называют гаусдорфовимы).


1.1. Происхождение названия

Собственно термин "топология" ("topologie" на немецком языке) впервые появился лишь в 1847 г. в статье листинг Vorstudien zur Topologie. Однако в то время Листинг уже более 10 лет использовал этот термин в своих письмах. "Topology", английский форма срока, была предложена в 1883 в журнале Nature для того чтобы различить качественную геометрию от геометрии обычной, в которой превалируют количественные соотношения. Слово topologist - то есть тополог, в смысле "специалист по топологии" было впервые использовано в 1905 в журнале Spectator. Благодаря влиянию упомянутых выше статей Пуанкаре, топология долгое время была известна еще под названием Analysis Situs ( лат. анализ места ).


2. Интуитивное объяснение

Топологические пространства естественно появляются во многих разделах математики. Это делает топологию чрезвычайно универсальным инструментом для математиков. Общая топология определяет и изучает такие свойства пространств и отображений между ними как связность, компактность и непрерывность. Алгебраическая топология использует объекты абстрактной алгебры, а особенно теории категорий для изучения топологических пространств и отображений между ними.

Чтобы понять, для чего нужна топология, можно привести такой пример: в некоторых геометрических задачах не так важно знать точную форму объектов, как знать как они расположены. Если рассмотреть квадрат и круг (контуры), казалось бы такие разные фигуры, можно заметить несколько общего: оба объекта являются одномерными и оба разделяют пространство на две части - внутренность и внешность.

Темой одной из первых статей (автор - Леонард Эйлер) по топологии была демонстрация того, что невозможно найти путь в городе Кенигсберг (теперь Калининград), который бы пролег через каждый из семи городских мостов ровно по одному разу. Этот результат не зависел ни от длины мостов, ни от расстояния между ними. Влияли только свойства связности: какие мосты связывают какие острова или берега. Эта задача Семи мостов Кенигсберга показательна при изучении математики, также она стала основополагающей в разделе математики, называется теория графов.

Аналогична теорема мохнатой шара с алгебраической топологии, в которой говорится следующее: "невозможно зачесать волосы на шаре в одну сторону". Этот факт достаточно наглядным и многие сразу находят понимание, однако ее формальную запись для многих не является очевидным: нет ненулевого непрерывного поля касательных векторов на сфере. Как и с Кенигсбергского мостами, результат не зависит от точной формы сферы; утверждение выполняется и для грушевидных форм, даже для общих - каплевидных форм (с некоторыми условиями на гладкость поверхности), при общей условии отсутствия дыр.

Следовательно, для того, чтобы решать подобные задачи, которые в действительности не нуждаются сведений о точной форму объектов, нужно четко знать, от каких же свойств зависит решение таких задач. Сразу возникает потребность в определении топологической эквивалентности. Невозможность пройти каждым из мостов по одному разу относится также к любому расположения мостов, эквивалентного Кенигсбергского; теорема мохнатой шара может быть применена к любому объекту топологически эквивалентного шара.

Непрерывная деформация кофейной чашки в бублик (тор). Такое преобразование называют гомотопиею.
Фазы преобразования чашки в бублик

Интуитивно, два топологических пространства эквивалентны ( гомеоморфными), если один может быть преобразован в другой без отрезков или склеек. Традиционным есть такая шутка: тополог не может отличить чашку кофе, из которой он пьет, от бублика, которую она ест, поскольку достаточно гибкий баранку можно легко превратить в форму чашки, создав углубление и увеличивая его, одновременно уменьшая отверстие до размеров ручки.

В качестве простого исходной задачи можно классифицировать буквы Латинского алфавита в терминах топологической эквивалентности. (Будем считать, что толщина линий, из которых состоит буквы ненулевая.) В большинстве шрифтов что сейчас применяются существует класс букв ровно с одной дыркой {a, b, d, e, o, p, q}, класс букв без дыр: {c, f, h, k, l, m, n, r, s, t, u, v, w, x, y, z}, и класс букв, состоящие из двух кусков: {i, j}. Буква "g" может принадлежать или класса букв с одной дыркой, или (в некоторых шрифтах) это может быть буква с двумя дырками (если хвостик был заперт). Для сложного примера можно рассмотреть случай нулевой толщины линий; можно рассмотреть различные топологии в зависимости от того, какой шрифт выбрать. Топология букв имеет свое практическое применение в трафаретной типографии: например, шрифт Braggadocio может быть вырезан из плоскости, не распавшись после этого.


3. Влияние в пределах математики

Топология - одна из самых центрально-расположенных математических дисциплин, в понимании численности связей и степени взаимного влияния с другими разделами математики. Приведем такие примеры.

  • Теорема Гауса - Бонне, яка пов'язує ейлерову характеристику поверхні з її кривиною - це перший з низки результатів стосовно топологічних властивостей геометричних об'єктів.
  • Теорема уніформізації Рімана висвітлила дещо інший зв'язок між топологією і геометрією, до якого набагато пізніше (бл. 1975 р.) повернувся Терстон у своїй програмі геометризації.
  • В роботах Рімана топологія була пов'язана також з комплексним аналізом і алгебраїчною геометрією ідеєю ріманової поверхні. На початку 20 ст. Герман Вейль повернувся до цієї теми у своїй книжці "Die Idee der Riemanniesche Flache", яка призвела до усвідомлення математиками поняття накриття і до подальшого розповсюдження топологічних методів, зокрема, у геометрії.
  • Один з засновників топології, Анрі Пуанкаре, заклав підвалини теорії динамічних систем своїми дослідженнями з якісного (на відміну від кількісного) аналізу диференціальних рівнянь.
  • Як було зазначено вище, дослідження з аналізу утворили одно з джерел для розвитку топології, і топологія не залишилася в боргу: так, аргументи пов'язані з компактністю (напр., теореми Арцела - Асколі і Банаха - Алаоглу) належать до стандартного знаряддя аналітиків, зокрема у функціональному аналізі.
  • Исследования по топологии поверхностей и трехмерных многообразий, которые во многом определяются своей фундаментальной группой, привели к развитию абстрактного теории групп.
  • Топологические студии польской математической школы оказали большое влияние на по крайней мере две области математики, которые видпочкувалися от топологии и превратились в самостоятельные дисциплины: теорию графов и теорию фракталов.
  • Топологические идеи привели в работе Ейленберга - Маклейна к возникновению теории категорий, которая не только имела огромное влияние на дальнейшее развитие алгебраической топологии и абстрактной алгебры, но и предоставила основу (или, по крайней мере, ожидание) для методологического сочетание большинства существующих отраслей математики.
  • Немного меньше по масштабу, но чрезвычайно влиятельным, было применение Андре Вейлем, Серром, Гротендиком там другими топологических методов в алгебраической геометрии.
  • Вспомним также теорему Атия-Зингера о индекс эллиптических операторов, которая изобрела замечательную топологическую ответ на, казалось бы, чисто аналитическое вопрос.
  • Начиная с 60-х годов 20 в., Топологические методы играют постепенно возрастающую роль в теоретической физике, в частности, в теории гравитации и квантовой теории поля. По странному эффектом бумеранга, это открыло новые горизонты в самой топологии (например, квантовые инварианты узлов) и начало новые направления развития в математике (см. инварианты Дональдсона, Громова - Витте и Зайберга - Витте, а также квантовые когомологии и зеркальная симметрия).
  • Стивен Смейл с соавторами активно ведет исследования по топологической теории сложности, а Майкл Фридман с соавторами разрабатывает с прибл. 2000 теорию топологических квантовых вычислений.

Математическая сообщество высоко отметила вклад топологий к развитию математики. За период с 1936 по 2006 г., одна из высших наград в математике, Медаль Филдса, была присуждена 48 математикам, 9 из них за исследования именно в топологии. В работах еще нескольких из лауреатов топологические методы играли важную роль.

Троим из них премия была присуждена за решение гипотезы Пуанкаре : Григорию Перельману за доказательство оригинальной гипотезы относительно трехмерной сферы и Майклу Фридману и Стивену Смейла - за решения аналогичного вопроса в четырех (Фридман) и пяти и более измерениях (Смейл). Интересно, что еще две с Филдсовской премий была присуждена за результаты о сферах: Джону Милнору за открытие 28 дифференцируемых структур на семивимирний сфере, и Жану-Пьеру Серру за разработку методов вычисления гомотопических групп сфер. Таким образом, пять из сорока восьми Филдсовской премий получили исследователи сфер!



4. Разделы Топологии

См.. также

Nuvola apps edu mathematics blue-p.svg
В Википедии есть портал

Литература

  1. Ковалев С. М., Гумен М. С., Пустюльга С. И., Михайленко В.Е, Бурчак И. Н. Прикладная геометрия и иженерно графика. Специальные разделы. Выпуск 1. - М.: Редакционно-издательский отдел ЛГТУ, 2006. - 256 с. (С. 90)
Основные разделы Математики
Алгебра ? Дискретная математика ? Дифференциальные уравнения ? Геометрия ? Комбинаторика ? Линейная алгебра ? Логика ? Математическая статистика ? Математический анализ ? Теория вероятностей ? Теория множеств ? Теория чисел ? Тригонометрия ? Математическая физика ? Топология ? Функциональный анализ