Надо Знать

добавить знаний



Трансцендентное число



План:


Введение

Трансцендентные числа - это числа, которые не удовлетворяют ни алгебраическое уравнение с рациональными коэффициентами.

Первые трансцендентные числа сконструировано Лиувилля с помощью диофантовых приближениях. Вскоре, Эрмита доказал трансцендентность числа e, a Линдеманн - числа пи. Неконструктивное доказательство существования трансцендентных чисел - почти тривиальный следствие теории множеств Кантора.


1. Свойства

  • Множество трансцендентных чисел континуальная.
  • Каждое трансцендентное действительное число является иррациональным, но обратное неверно. Например, число \ Sqrt 2 - Иррациональное, но не трансцендентное: оно является корнем многочлена x ^ 2-2 .

2. Примеры

3. История

Впервые понятие трансцендентного числа ввел Жозеф Лиувилль в 1844, когда доказал теорему о том, что алгебраическое число невозможно достаточно хорошо приблизить рациональным дробью. В 1873 Шарль Эрмита доказал трансцендентность числа e (основания натуральных логарифмов). В 1882 Фердинанд фон Линдеманн доказал теорему о трансцендентности степени числа e с ненулевым алгебраическим показателем, тем самым доказав трансцендентность числа π и неразрешимость задачи квадратуры круга.

В 1900 на II Международном Конгрессе математиков Давид Гильберт в числе сформулированных им проблем сформулировал седьмую проблему: "Если а ≠ 0, а - алгебраическое число и b - алгебраическое, но иррациональное, верно ли, что a b - трансцендентное число?" В частности, является трансцендентным число 2 ^ \ sqrt 2 . Эта проблема была решена в 1934 А. А. Гельфонд (en: Alexander Gelfond), который доказал, что все такие числа действительно есть трансцендентными.


Литература

Статьи по математики, связанные с числами

Число | Натуральные числа | Целые числа | Рациональные числа | Иррациональные числа | Constructible numbers | Алгебраические числа | Трансцендентные числа | Computable numbers | Действительные числа | Комплексные числа | Двойные числа | Дуальные числа | Бикомплексни числа | Гиперкомплексные числа | Кватернионы | Октонионы | Седенионы | Superreal numbers | Hyperreal numbers | Surreal numbers | Nominal numbers | Ординальни числа | Кардинальные числа | P-адични числа | последовательности натуральных чисел | Математические константы | Большие числа | Бесконечность

код для вставки
Данный текст может содержать ошибки.

скачать

© Надо Знать
написать нам