Надо Знать

добавить знаний



Треугольник



План:


Введение

Треугольник

Треугольник в евклидовой геометрии - три точки, не лежащие на одной прямой, и три отрезки, их соединяющих. Треугольник с вершинами A, B, и C обозначается Trianglen.svg ABC . Треугольник является многоугольника и 2 - симплексом. В евклидовой геометрии треугольник однозначно задает плоскость. Все треугольники двумерные.

Основные сведения о треугольники были приведены Евклидом в его работе "Элементы" у 300 до н.е.


1. Типы треугольников

Треугольники можно классифицировать в зависимости от относительной длины его сторон:

  • В равностороннем треугольнике все стороны имеют одинаковую длину. Все углы равностороннего треугольника также равны и составляют 60 ?. Равносторонний треугольник еще называют правильным.
  • В равнобедренном треугольнике две стороны имеют одинаковую длину, третья сторона при этом называется основанием треугольника. Равнобедренный треугольник также одинаковые углы, которые находятся при его основе.
  • Разносторонний треугольник имеет стороны различной длины. Внутренние углы разностороннего треугольника разные.
  • Равносторонний

  • Равнобедренный

  • Разносторонний

Также треугольники можно классифицировать согласно их внутренних углов:

  • Прямоугольный треугольник имеет один внутренний угол равен 90 ? (прямой угол). Сторона, противоположная прямому углу, называется гипотенуза. Другие две стороны называются катетами прямоугольного треугольника.
  • Тупокутний треугольник имеет один внутренний угол больше чем 90 ?.
  • В остроугольный треугольник все углы меньше 90 ?. Равносторонний треугольник является остроугольным, но все остроугольные треугольники равносторонние.
  • Прямоугольный

  • Тупокутний

  • Остроугольный


2. Точки и линии связаны с треугольником

Есть сотни различных построений для определения особых точек внутри треугольника, которые удовлетворяют некоторые уникальные условия (см. в списке ссылок перечень статей). Часто необходимо построить три прямые, связанные аналогии с тремя сторонами (вершинами, углами) треугольника и тогда убедиться, что они пересекаются в одной точке. Важным инструментом для проверки этого является теорема Чеви, которая дает критерии для определения конкурентности прямых. Подобно этому, линии связаны с треугольником часто строятся после проверки, что три аналогичным образом получены точки являются коллинеарны - теорема Менелая дает для этого случая общий критерий. В этом разделе приведены только такие построения, наиболее часто встречаются.

Центр описанной окружности.

Срединный перпендикуляр треугольника - это перпендикуляр, который проходит посередине стороны треугольника. Три срединные перпендикуляры пересекаются в одной точке, которая является центром описанной окружности. Диаметр описанной окружности можно определить с теоремы синусов.

Исходя из теоремы Фалеса можно утверждать - если центр описанной окружности находится на одной из сторон треугольника, тогда противоположный угол прямой. Более того, если центр описанной окружности находится внутри треугольника, то треугольник остроугольный, а если наружу - то треугольник тупокутний.

Три высоты треугольника пересекаются в ортоцентр.

Высота треугольника - прямая проведенная из вершины и перпендикулярная противоположной стороны или к продолжению противоположной стороны. Эта сторона называется основанием треугольника. Точка пересечения стороны и перпендикуляра называется основанием перпендикуляра. Длина высоты - это расстояние от вершины до основания треугольника. Три высоты пересекаются в одной точке, назваеться ортоцентр треугольника. Ортоцентр лежит внутри треугольника (и соответственно все основания перпендикуляров лежат в треугольнике) тогда и только тогда, если треугольник не тупокутний (в нем ни один из внутренних углов больше прямой угол). Смотрите также ортоцентрична система

На пересечении трех биссектрис треугольника находится центр вписанной окружности.

Биссектриса треугольника - это прямая проведенная через вершину, которая делит соответствующий угол на две равные части. Три биссектрисы пересекаются в одной точке, др. В центре, центре вписанного в треугольник круга. Вписано круг - это круг, который лежит внутри треугольника и касаясь трех его сторон. Кроме того есть еще три важных круга, зовнивписани, они лежат за пределами треугольника и соприкасаются с одной его стороны, а также к продолжению двух других. Центры внутреннего и внешних вписанных кругов образуют ортоцентричну систему.


Барицентра - центр масс треугольника.

Медиана треугольника - это прямая проведенная через вершину и середину противоположной стороны и делит треугольник на два одинаковой площади. Три медианы пересекаются в одной точке, которая называется центроида треугольника. Эта точка также центр масс треугольника: если треугольник был сделан из дерева, то можно было бы держать равновесие держа за центроид. Центроидов делит каждую медиану в соотношении 2:1, например расстояние между вершиной и центроида вдвое больше, чем между центроида и противоположной стороной.

Круг девяти точек.

Средние точки трех сторон и основания трех высот все лежат на одном круге, которое называется кругом девяти точек треугольника. Остальные три точки, через которые у получило свое название, это середины той части высоты, лежащий между ортоцентр и вершиной. Радиус окружности девяти точек равна половине описанной окружности. Оно соприкасается с вписанной окружности (в точке Феербаха) и в трех зовнивписаних кругов.


Линия Эйлера.

Центроидов (желтый), ортоцентр (синий), центр описанной окружности (зеленый) и центр круга девяти точек (красная точка) все лежат на одной линии, которая называется линия Эйлера (красная линия). Центр окружности девяти точек лежит на середине между ортоцентр и центром описанной окружности, а расстояние между центроида и центром описанной окружности равна половине расстояния между центроида и ортоцентр.


3. Основные факты

Обозначение

Вершины треугольника обычно обозначают большими латинскими буквами A, B, C, углы при соответствующих вершинах греческими буквами α, β, γ, а длины противоположных сторон - маленькими латинскими буквами a, b, c.

Сумма внутренних углов треугольника - 180 градусов. Внешний угол треугольника (угол смежный внутреннему углу) всегда равна сумме двух других внутренних углов треугольника. Как и во всех выпуклых многогранников сумма внешних углов треугольника 360 градусов.

\ Alpha + \ beta + \ gamma \ = 180 ^ \ circ

Сумма длин двух любых сторон треугольника всегда превышает длину третьей стороны. Это неравенство треугольника или аксиома треугольника (В частном случае равенства два угла уменьшаются до нуля и треугольник вырождается в отрезок).

Два треугольника называются подобными тогда и только тогда, если углы одного равны соответствующим углам другого. В таком случае длины соответствующих сторон пропорциональны. Так может быть, например, когда у двух треугольников есть общий угол, а стороны противоположные этому углу - параллельны. Вот несколько постулатов и теорем о подобных треугольника:

  • Два треугольника подобны, если в них хотя бы два соответствующих угла уровне.
  • Если две заинтересованные стороны в треугольниках пропорциональны, а угол между ними одинаковый, то треугольники подобны.
  • Если все стороны двух треугольников пропорциональны, то треугольники подобны.

Два треугольника называются конгруэнтными, если все их соответствующие стороны и углы равны (6 элементов). Несколько главных постулатов и теорем о конгруэнтные треугольники:

  • Постулат SAS (side-angle-side): Если две стороны и угол между ними в треугольников соответственно равны, то треугольники конгруэнтные.
  • Постулат SSS: Если все соответствующие стороны в треугольников равны, то треугольники конгруэнтные.
  • Постулат ASA: Если сторона и прилегающие к ней углы в треугольников соответственно равны, то треугольники конгруэнтные.
  • Постулат AAS: Если два угла и любая сторона в треугольников соответственно равны, то треугольники конгруэнтные.
  • Теорема Гипотенуза-катет: Если гипотенуза и один катет в прямоугольных треугольников соответственно равны, то треугольники конгруэнтные.

4. Вычисление площади треугольника

Площадь треугольника может быть показана половины площади параллелограмма, который имеет такую ​​же основу и высоту.

Вычисление площади треугольника является простой задачей, которая часто решается во многих областях. Самая известная и самая формула:

S = \ frac {1} {2} bh

где S - площадь, b - длина основания треугольника а h - высота треугольника, относительная до основания. Хотя эта формула и простая, она может быть использована только, если можно легко найти высоту. Например землемер участка треугольной формы меряет длину каждой стороны и может найти площадь без определения длины высоты. На практике можно использовать различные методы определения площади, в зависимости от того, что известно о треугольнике. Ниже приведены подборку наиболее употребительных формул.


4.1. С использованием векторов

Площадь параллелограмма можно вычислить с помощью векторов. Пусть векторы AB и AC направлены соответственно от A до B и от A до C. Тогда площадь параллелограмма ABDC равна | AB ? AC |, то числовое значение векторного произведения AB и AC. | AB ? AC | равен | h ? AC |, где h - высота параллелограмма как вектор.

Площадь треугольника ABC равна половине площади параллелограмма S = ? | AB ? AC |.

Площадь треугольника ABC можно вычислить как скалярное произведение векторов.

\ Frac {1} {2} \ sqrt {(\ mathbf {AB} \ cdot \ mathbf {AB}) (\ mathbf {AC} \ cdot \ mathbf {AC}) - (\ mathbf {AB} \ cdot \ mathbf {AC}) ^ 2} = \ frac {1} {2} \ sqrt {| \ mathbf {AB} | ^ 2 | \ mathbf {AC} | ^ 2 - (\ mathbf {AB} \ cdot \ mathbf {AC }) ^ 2} \,.
Тригонометрический способ вычисления высоты h.

4.2. Тригонометрический способ

Высоту треугольника можно определить используя тригонометрические формулы. Согласно обозначением, как на рисунке слева, высота равна h = a sin γ. Подставив высоту в формулу S = ? bh, которая приведена выше, получим:

S = \ frac {1} {2} ab \ sin \ gamma = \ frac {1} {2} bc \ sin \ alpha = \ frac {1} {2} ca \ sin \ beta.

Кроме того, sin α = sin (π - α) = sin (β + γ), что справедливо и для двух других углов:

S = \ frac {1} {2} ab \ sin (\ alpha + \ beta) = \ frac {1} {2} bc \ sin (\ beta + \ gamma) = \ frac {1} {2} ca \ sin ( \ gamma + \ alpha).

Зная сторону и два угла, один из которых прилегающий:

S = \ frac {b ^ {2} (\ sin \ alpha) (\ sin (\ alpha + \ beta))} {2 \ sin \ beta}

и аналогично если известны стороны a или c.

Зная сторону и два прилегающие углы: [1]

S = \ frac {a ^ {2}} {2 (\ cot \ beta + \ cot \ gamma)} = \ frac {a ^ {2} (\ sin \ beta) (\ sin \ gamma)} {2 \ sin (\ beta + \ gamma)},

и аналогично если известны стороны b или c.


4.3. Использование координат

Если точка А расположена в точке отсчета (0, 0) Декартовой координатной системы, а координаты других двух точек B = (x B, y B) и C = (x C, y C), тогда площадь S может быть вычислена как ? абсолютного значения детерминанту :

S = \ frac {1} {2} \ left | \ det \ begin {pmatrix} x_B & x_C \ \ y_B & y_C \ end {pmatrix} \ right | = \ frac {1} {2} | x_B y_C - x_C y_B |.

В более общем случае:

S = \ frac {1} {2} \ left | \ det \ begin {pmatrix} x_A & x_B & x_C \ \ y_A & y_B & y_C \ \ 1 & 1 & 1 \ end {pmatrix} \ right | = \ frac {1} {2} \ big | x_A y_C - x_A y_B + x_B y_A - x_B y_C + x_C y_B - x_C y_A \ big |.

В трехмерном пространстве площадь треугольника {A = (x A, y A, z A), B = (x B, y B, z B) и C = (x C, y C, z C)} равен Пифагоровы сумме соответствующих проекций на три главные плоскости (для которых x = 0 или y = 0 или z = 0):

S = \ frac {1} {2} \ sqrt {\ left (\ det \ begin {pmatrix} x_A & x_B & x_C \ \ y_A & y_B & y_C \ \ 1 & 1 & 1 \ end {pmatrix} \ right) ^ 2 + \ left (\ det \ begin {pmatrix} y_A & y_B & y_C \ \ z_A & z_B & z_C \ \ 1 & 1 & 1 \ end {pmatrix} \ right) ^ 2 + \ left (\ det \ begin {pmatrix} z_A & z_B & z_C \ \ x_A & x_B & x_C \ \ 1 & 1 & 1 \ end {pmatrix} \ right) ^ 2}.

4.4. Формула Герона

Форма треугольника однозначно определяется тремя сторонами. Соответственно для того чтобы посчитать площадь достаточно знать длину сторон. По формуле Герона :

S = \ sqrt {p (p-a) (p-b) (p-c)}

где p = (a + b + c) / 2 - Полупериметр
Другие способы записанных формулы Герона:

S = \ frac {1} {4} \ sqrt {(a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2) ^ 2-2 (a ^ 4 + b ^ 4 + c ^ 4)}.
S = \ frac {1} {4} \ sqrt {2 (a ^ 2b ^ 2 + a ^ 2c ^ 2 + b ^ 2c ^ 2) - (a ^ 4 + b ^ 4 + c ^ 4)}
S = \ frac {1} {4} \ sqrt {(a + bc) (a-b + c) (-a + b + c) (a + b + c)}.

4.5. Формулы, похожие на формулу Герона

Есть три формулы, которые имеют похожий вид как формула Герона, но записанные через другие величины. Сначала обозначим, что медианы для сторон a, b и c соответственно как m_a, m_b, и m_c , А их пивсуму (M_a + m_b + m_c) / 2 как \ Sigma , Имеем [2]

S = \ frac {4} {3} \ sqrt {\ sigma (\ sigma - m_a) (\ sigma - m_b) (\ sigma - m_c)}.

Тогда обозначим высоты на стороны a, b и c соответственно как h_a , h_b , И h_c , И обозначим полусумму величин обратных к высотам как H = (h_a ^ {-1} + h_b ^ {-1} + h_c ^ {-1}) / 2 тогда имеем [3]

\ Mathrm {S} ^ {-1} = 4 \ sqrt {H (H-h_a ^ {-1}) (H-h_b ^ {-1}) (H-h_c ^ {-1})}.

И обозначим полусумму синусов углов как P = [(\ sin \ \ \ alpha) + (\ sin \ \ \ beta) + (\ sin \ \ \ gamma)] / 2 , Тогда имеем [4]

S = D ^ {2} \ sqrt {P (P-\ sin \ alpha) (P-\ sin \ beta) (P-\ sin \ gamma)}

где D - диаметр описанной окружности: D = \ tfrac {a} {\ sin \ alpha} = \ tfrac {b} {\ sin \ beta} = \ tfrac {c} {\ sin \ gamma}.


4.6. Используя Теорема Пика

См.. Теорема Пика для объяснений, как найти площадь произвольного целочисленного многоугольника

Теорема утверждает:

\ Mathrm {S} = I + \ frac {1} {2} B - 1

где i - количество целочисленных точек внутри многоугольника, b - количество целочисленных точек на границе многоугольника.

4.7. Другие формулы вычисления площади

Существуют также формулы для вычисления площади, например

S = r \ cdot p,

где r - радиус вписанной окружности, и p = (a + b + c) / 2 - (полупериметр)

S = \ frac {1} {2} D ^ {2} (\ sin \ alpha) (\ sin \ beta) (\ sin \ gamma)

Для диаметра описанной окружности D, и [5]

S = \ frac {\ tan \ alpha} {4} (b ^ {2} + c ^ {2}-a ^ {2})

для угла \ Alpha \ ne 90 ?.

В 1885 году, Бейкер [6] дал подборку из более чем сотни различных формул для вычисления площади треугольника (хотя стоит предупредить читателя, что некоторые из них неправильные). Приводим здесь # 9, # 39a, # 39b, # 42, и # 49:

S = \ frac {1} {2} [abch_ah_bh_c] ^ {1/3},
S = \ frac {1} {2} \ sqrt {abh_ah_b}
S = \ frac {a + b} {2 (h_a ^ {-1} + h_b ^ {-1})},
S = \ frac {Rh_bh_c} {a}

Для радиуса описанной окружности R, и

S = \ frac {h_ah_b} {2 \ sin \ gamma}.

4.8. Вычисление площади прямоугольного треугольника

В прямоугольном треугольнике можно взять один из катетов как основу, а другой - как его высоту. Отсюда формула прямоугольного треугольника

S = \ frac {cc '} {2}

где S - площадь, а c и c '- катеты.

5. Вычисление сторон и углов

В общем, есть различные принятые методы вычисления длин сторон и углов. Если определенные методы могут быть использованы только в прямоугольном треугольнике, то другие могут оказаться необходимыми для сложных случаев.

5.1. Тригонометрические отношения в прямоугольных треугольниках

Прямоугольный треугольник всегда имеет угол 90 ? (π / 2 радиан), здесь обозначен C. Углы A и B могут быть разными. Тригонометрические функции показывают соотношение между длинами сторон и внутренними углами в прямоугольном треугольнике.

В прямоугольных треугольниках тригонометрические соотношения - синус, косинус и тангенс могут использоваться, чтобы найти неизвестные углы или неизвестные длины сторон. Стороны треугольника обозначают так:

  • Гипотенуза - сторона противоположная прямому углу, или длинная сторона в прямоугольном треугольнике, в данном случае h.
  • Противоположный катет - сторона противоположная угла, который рассматривается.
  • Прилегающий катет - та сторона, прилегающая к углу, что рассматривается и к прямому. В данном случае прилегающий катет b.

5.1.1. Синус, косинус и тангенс

Синус угла - это отношение длины противоположного катета к длине гипотенузы. В нашем случае

\ Sin A = \ frac {\ textrm {opposite}} {\ textrm {hypotenuse}} = \ frac {a} {h} \,.

Обратите внимание, что это соотношение не зависит от конкретного выбранного прямоугольного треугольника, если в нем есть угол A, поскольку такие треугольники будут подобны.

Косинус угла - это отношение длины прилегающего катета к длине гипотенузы. В нашем случае

\ Cos A = \ frac {\ textrm {adjacent}} {\ textrm {hypotenuse}} = \ frac {b} {h} \,.

Тангенс угла - это отношение длины противоположного катета к длине прилегающего. В нашем случае

\ Tan A = \ frac {\ textrm {opposite}} {\ textrm {adjacent}} = \ frac {a} {b} \,.

5.1.2. Обратные функции

Обратные тригонометрические функции используют, чтобы вычислить внутренние углы прямоугольного треугольника, если известны длины любых двух сторон.

Arcsin используют, чтобы вычислить угол, если известны длина противоположной стороны и длина гипотенузы

\ Theta = \ arcsin \ left (\ frac {\ text {opposite}} {\ text {hypotenuse}} \ right)

Arccos используют, чтобы вычислить угол, если известны длина прилегающей стороны и длина гипотенузы

\ Theta = \ arccos \ left (\ frac {\ text {adjacent}} {\ text {hypotenuse}} \ right)

Arctan используют, чтобы вычислить угол, если известны длины прилегающей и противоположной стороны

\ Theta = \ arccos \ left (\ frac {\ text {adjacent}} {\ text {hypotenuse}} \ right)

На вступительной геометрии и уроках тригонометрии, часто используют обозначение sin -1, cos -1, и др.. вместо arcsin, arccos, и др.. Однако обозначение arcsin, arccos, и др.. есть стандартные для высшей математики, где тригонометрические функции часто преподносят в степень, чтобы не путать обратный степень по обратной функцией.


5.2. Теоремы синусов, косинусов и тангенсов

Треугольник со сторонами длиной a, b и c и углами α, β и γ соответственно.

Теорема синусов, или правило синусов, [7] утверждает, что отношение длин сторон до синусов соответствующих противоположных углов есть величина постоянная, так

\ Frac {a} {\ sin \ alpha} = \ frac {b} {\ sin \ beta} = \ frac {c} {\ sin \ gamma}.

Это отношение равно диаметру описанной окружности данного треугольника. Другая интерпретация теоремы утверждает, что каждый треугольник с углами \ Alpha , \ Beta и \ Gamma подобный треугольника со сторонами как \ Sin \ alpha , \ Sin \ beta and \ Sin \ gamma . Этот треугольник может быть построен, если начертить круг диаметром 1 и вписать в него два угла указанного треугольника. Длина сторон треугольника будет \ Sin \ alpha , \ Sin \ beta и \ Sin \ gamma . Сторона чья длина \ Sin \ alpha противоположна угла чья величина \ Alpha И т. д.

Теорема косинусов, или правило косинусов, объединяет длину неизвестной стороны треугольника с длиной других сторон и с углом противоположным неизвестной стороны. Согласно теореме:

Для треугольника с длинами сторон a , b , c и углами \ Alpha , \ Beta , \ Gamma соответственно, для двух известных длин треугольника a и b , И угла между двумя известными сторонами \ Gamma (Или угла противоположного неизвестной стороны c ), Чтобы рассчитать длину третьей стороны можно использовать следующую формулу:

c ^ 2 \ = a ^ 2 + b ^ 2 - 2ab \ cos (\ gamma)
b ^ 2 \ = a ^ 2 + c ^ 2 - 2ac \ cos (\ beta)
a ^ 2 \ = b ^ 2 + c ^ 2 - 2bc \ cos (\ alpha)

Если длина всех трех сторон треугольника известна, тогда углы можно рассчитать по формулам:

\ Alpha = \ arccos \ left (\ frac {b ^ 2 + c ^ 2-a ^ 2} {2bc} \ right)
\ Beta = \ arccos \ left (\ frac {a ^ 2 + c ^ 2-b ^ 2} {2ac} \ right)
\ Gamma = \ arccos \ left (\ frac {a ^ 2 + b ^ 2-c ^ 2} {2ab} \ right)

Теорема тангенсов или правило тангенсов, менее известное чем предыдущие два. Оно утверждает:

\ Frac {ab} {a + b} = \ frac {\ tan [\ frac {1} {2} (\ alpha-\ beta)]} {\ tan [\ frac {1} {2} (\ alpha + \ beta)]}.

Оно не очень часто используется, но может быть полезным когда нужно найти сторону или угол, когда известны две стороны и угол или два угла и сторона.


6. Еще формулы для треугольников Евклидовой геометрии

Для всех треугольников Евклидовой геометрии также справедливы следующие формулы:

\ Frac {3} {4} (a ^ {2} + b ^ {2} + c ^ {2}) = m_a ^ {2} + m_b ^ {2} + m_c ^ {2}

и

m_a = \ frac {1} {2} \ sqrt {2b ^ {2} +2 c ^ {2}-a ^ {2}} = \ sqrt {\ frac {1} {2} (a ^ {2} + b ^ {2} + c ^ {2}) - \ frac {3} {4} a ^ {2}} ,

и эквивалентно для m_b и m_c , С соответствующими медианы и сторонами;

\ Text {Длина внутренней биссектрисы} \ \ \ alpha = \ frac {2 \ sqrt {bcs (sa)}} {b + c} = \ sqrt {bc [1 - \ frac {a ^ {2}} {(b + c) ^ {2}}]}

для полупериметр s, а длина биссектрисы измеряется с вершины угла до точки пересечения с противоположной стороной; в следующих формулах используется радиус описанной окружности R и радиус вписанной окружности r:

\ Frac {1} {r} = \ frac {1} {h_a} + \ frac {1} {h_b} + \ frac {1} {h_c}

если записать через высоты,

\ Frac {r} {R} = \ frac {4 \ cdot S ^ {2}} {sabc} = \ cos \ alpha + \ cos \ beta + \ cos \ gamma -1 ,

и

2Rr = \ frac {abc} {a + b + c} .

Допустим два смежных треугольника, которые не пересекаются, имеют общую сторону длина которой f и имеют общее описано у таким образом, что сторона длиной f является хордой описанной окружности; треугольники имеют стороны с такими длинами (a, b, f) и (c, d, f), эти два треугольника вместе образуют вписан четырехугольник, а его стороны соответственно (a, b, c, d). Тогда [8]

f 2 = \ frac {(ac + bd) (ad + bc)} {(ab + cd)}. \,

Пусть M - центроид треугольника с вершинами A, B, и C, и пусть P - любая внутренняя точка. Тогда расстояния между этими точками связаны [8]

(PA) ^ 2 + (PB) ^ 2 + (PC) ^ 2 = (MA) ^ 2 + (MB) ^ 2 + (MC) ^ 2 +3 (PM) ^ 2. \,

Пусть p a, p b и p c - расстояния от центроида до сторон a, b и c. Тогда [8]

\ Frac {p_a} {p_b} = \ frac {b} {a}, \ \ \ \ \ frac {p_b} {p_c} = \ frac {c} {b} \ \ \ \ \ frac {p_a} { p_c} = \ frac {c} {a} \,

и

p_a \ cdot a = p_b \ cdot b = p_c \ cdot c = \ frac {2} {3} \ cdot S. \,

7. Неплощинни треугольники

Треугольник на сфере.

Неплощинни треугольники - это треугольники, которые находятся не на (плоской) плоскости. Примером такого треугольника в не-евклидовой геометрии является сферический треугольник, который изучается в сферической геометрии и гиперболический треугольник в гиперболической геометрии.

Если сумма внутренних углов треугольника в плоскости всегда равен 180 ?, то для гиперболического треугольника сумма углов будет меньше 180 ?, а для сферического треугольника сумма углов будет больше 180 ?. Гиперболический треугольник можно получить на отрицательно изогнутой поверхности, например гиперболический параболоид, а сферический треугольник можно получить на положительно изогнутой поверхности, например сфера. Таким образом, если изобразить гигантский треугольник на поверхности Земли, то получим сумму углов больше чем 180 ?; фактически сумма будет лежать в промежутке 180 ? и 540 ? [9] В частности, можно изобразить треугольник в сфере таким образом, что каждый внутренний угол будет равняться 90 ?, а сумма всех углов 270 ?.

В частности, в сфере сумма углов треугольника равна

180 ? ? (1 +4 f),

где f - это отношение площади сферы к площади ограниченной треугольником. Например, предположим мы изобразим треугольник на поверхности Земли (будем считать, что Земля это сфера, в действительности не совсем так) с вершинами на Северном полюсе, в точке экватора с широтой 0 ?, и точка на экваторе 90 ? западной долготы. Линия большого круга между упомянутыми двумя точками будет экватор, а линия большого круга между каждой из этих точек и Северным полюсом будет линией меридиана, следовательно получаем прямые углы на экваторе. Более того, угол на Северном полюсе также 90 ? потому что предыдущие две вершины различаются на 90 ? по долготе. Сумма углов в этом треугольнике - 90 ? +90 ? +90 ? = 270 ?. Этот треугольник покрывает 1/4 северного полушария (90 ? / 360 ? если смотреть с Северного полюса) и соответственно 1/8 земной поверхности, тогда подставляем в формулу f = 1/8; как видим формула дает правильный результат 270 ?.

Из формулы выше мы также видим, что в некотором приближении поверхность земли можно считать плоской: если изобразить произвольный малый треугольник на поверхности Земли, тогда доля f земной поверхности, ограниченная данным треугольником будет близка к нулю. Например, известно, что площадь земной поверхности 510 млн км 2, тогда для треугольника площадью 10 000 км 2, получим сумму углов 180.01 ?.


8. Теоремы и утверждения о треугольники


Примечания

  1. Weisstein, Eric W. Triangle - mathworld.wolfram.com / Triangle.html (Англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
  2. Benyi, Arpad, "A Heron-type formula for the triangle," Mathematical Gazette "87, July 2003, 324-326.
  3. Mitchell, Douglas W., "A Heron-type formula for the reciprocal area of a triangle," Mathematical Gazette 89, November 2005, 494.
  4. Mitchell, Douglas W., "A Heron-type area formula in terms of sines," Mathematical Gazette 93, March 2009, 108-109.
  5. Mitchell, Douglas W., "The area of a quadrilateral," Mathematical Gazette 93, July 2009, 306-309.
  6. Baker, Marcus, "A collection of formulae for the area of a plane triangle," Annals of Mathematics, part 1 in vol. 1 (6), January 1885, 134-138; part 2 in vol. 2 (1), September 1885, 11-18.
  7. Prof. David E. Joyce. "The Laws of Cosines and Sines" - www.clarku.edu/ ~ djoyce / trig / laws.html. Clark University . http://www.clarku.edu/ ~ djoyce / trig / laws.html - www.clarku.edu/ ~ djoyce / trig / laws.html . Проверено 2008-11-01 .
  8. а б в Johnson, Roger A., Advanced Euclidean Geometry, Dover Publ. Co., 2007
  9. Watkins, Matthew, Useful Mathematical and Physical Formulae, Walker and Co., 2000.

Литература

  • Г. П. Бевз. Геометрия треугольника. - М.: Генезис, 2005, ISBN 966-504-431-1
  • Бевз Г.П., Бевз В.Г., Владимирова Н. Г. Геометрия: Учебник для 7-9 кл. - Киев: Башня, 2004, ISBN 966-7091-66-Х.
  • И. А. Кушнир. Треугольник и тетраэдр в задачах. - М.: Просвещение, 1991, ISBN 5-330-02081-6
  • И. А. Кушнир. Возвращение утраченного геометрии. - Киев: Факт, 2000 ISBN 966-7274-75-5
  • Погорелов А. В. Геометрия. Учебник. для 7 - 9 кл. - Киев: Школьник, 2004

Данный текст может содержать ошибки.

скачать

© Надо Знать
написать нам