Тригонометрические функции - это функции угла, особенно полезны при исследовании и моделировании периодических событий. Они могут быть определены как отношение двух сторон треугольника, содержащего угол, или как отношение координат точек по кругу, или, более общо, как бесконечные ряды, или как решение дифференциального уравнения.

Приведем шесть базовых тригонометрических функций. Последние четыре определяются через первые две. Иными словами, они определениями, а не самостоятельными сущностями.

  • синус (sin)
  • косинус (cos)
  • тангенс (tg = sin / cos)
  • котангенс (ctg = cos / sin)
  • секущая (sec = 1 / cos)
  • косеканс (csc = 1 / sin)

1. Определение

1.1. Геометрическое определение

Определения углов с помощью прямоугольного треугольника.
Определение тригонометрических функций на единичном круге.

Тригонометрические функции можно определить рассмотрев прямоугольный треугольник.
Косинусом угла называется отношение длины прилегающего катета к длине гипотенузы :

\ Cos \ alpha = \ frac {AC} {AB} = \ frac {b} {c} ~ ~ ~ \ cos \ beta = \ frac {BC} {AB} = \ frac {a} {c} ~.

Синусом угла называется отношение длины противоположного катета к длине гипотенузы:

\ Sin \ alpha = \ frac {BC} {AB} = \ frac {a} {c} ~ ~ ~ \ sin \ beta = \ frac {AC} {AB} = \ frac {b} {c} ~.
Тангенсом угла называется отношение длины противоположного катета к длине прилегающего катета:

\ Mbox {tg} ~ \ alpha = \ frac {BC} {AC} = \ frac {a} {b} ~ ~ ~ \ mbox {tg} ~ \ beta = \ frac {AC} {BC} = \ frac {b} {a} ~.

Котангенс угла называется отношение длины прилегающего катета к длине противоположного катета:

\ Mbox {ctg} ~ \ alpha = \ frac {AC} {BC} = \ frac {b} {a} ~ ~ ~ \ mbox {ctg} ~ \ beta = \ frac {BC} {AC} = \ frac {a} {b} ~.

Аналогичным образом можно определить тригонометрические функции на окружности с единичным радиусом.


1.2. Связь с дифференциальным уравнением

Один период функций sin (x) и cos (x)

Функции \ Sin \, x и \ Cos \, x является решениями дифференциального уравнения гармонических колебаний

{D ^ 2 y \ over d {x ^ 2}} + y = 0

\ Sin \, x и \ Cos \, x это периодические функции с периодом \ 2 \ pi,
\ Operatorname {tg} \, x и \ Operatorname {ctg} \, x имеют период \ \ Pi.

Соотношение, приведенные ниже, позволяют выразить значения тригонометрических функций от произвольного действительного аргумента через значения функций для аргумента из интервала [0, {\ pi \ over 2}]

\ Sin x = \ cos \ left ({\ pi \ over 2}-x \ right)
\ Cos x = \ sin \ left ({\ pi \ over 2}-x \ right)
\ Operatorname {tg} x = \ operatorname {ctg} \ left ({\ pi \ over 2}-x \ right)
\ Operatorname {ctg} x = \ operatorname {tg} \ left ({\ pi \ over 2}-x \ right)

2. Основные соотношения

Trigonometric functions.svg

Следующее соотношение вытекает из теоремы Пифагора :

~ \ Sin ^ 2 x + \ cos ^ 2 x = 1

3. Теоремы сложения и формулы для кратных углов

3.1. Формулы для функций суммы углов

Из основного соотношения

\ Sin {\ left (\ alpha + \ beta \ right)} = \ sin \ alpha \ cos \ beta + \ cos \ alpha \ sin \ beta

получаем

\ Sin {\ left (\ alpha \ pm \ beta \ right)} = \ sin \ alpha \ cos \ beta \ pm \ cos \ alpha \ sin \ beta,
\ Cos {\ left (\ alpha \ pm \ beta \ right)} = \ cos \ alpha \ cos \ beta \ mp \ sin \ alpha \ sin \ beta,
\ Operatorname {tg} {\ left (\ alpha \ pm \ beta \ right)} = {{\ operatorname {tg} \ alpha \ pm \ operatorname {tg} \ beta} \ over {1 \ mp \ operatorname {tg} \ alpha \ operatorname {tg} \ beta}} ~ ~ ~ \ operatorname {ctg} {\ left (\ alpha \ pm \ beta \ right)} = {{\ operatorname {ctg} \ alpha \ operatorname {ctg} \ beta \ mp 1} \ over {\ operatorname {ctg} \ beta \ pm \ operatorname {ctg} \ alpha}}

3.2. Формулы для функций двойных углов

\ Sin {\ left (2 \ alpha \ right)} = 2 \ sin \ alpha \ cos \ alpha
\ Cos {\ left (2 \ alpha \ right)} = \ cos ^ 2 \ alpha - \ sin ^ 2 \ alpha = 2 \ cos ^ 2 \ alpha - 1 = 1 - 2 \ sin ^ 2 \ alpha
\ Operatorname {tg} {2 \ alpha} = {{2 \ operatorname {tg} \ alpha} \ over {1 - \ operatorname {tg} ^ 2 \ alpha}} ~ ~ ~ ~ \ operatorname {ctg} {2 \ alpha} = {{\ operatorname {ctg} ^ 2 \ alpha - 1} \ over {2 \ operatorname {ctg} \ alpha}} = {1 \ over 2} {\ left (\ operatorname {ctg} \ alpha - \ operatorname {tg} \ alpha \ right)}

3.3. Формулы для функций тройных углов

\ Sin {\ left (3 \ alpha \ right)} = 3 \ sin \ alpha - 4 \ sin ^ 3 \ alpha ~ ~ ~ ~ \ cos {\ left (3 \ alpha \ right)} = 4 \ cos ^ 3 \ alpha - 3 \ cos \ alpha

3.4. Формулы для функций половинных углов

\ Sin {\ alpha \ over 2} = \ sqrt {{1 - \ cos \ alpha} \ over 2} ~ ~ ~ ~ \ cos {\ alpha \ over 2} = \ sqrt {{1 + \ cos \ alpha } \ over 2}
\ Operatorname {tg} {\ alpha \ over 2} = {\ sin \ alpha \ over {1 + \ cos \ alpha}} = {{1 - \ cos \ alpha} \ over \ sin \ alpha} ~ ~ ~ ~ \ operatorname {ctg} {\ alpha \ over 2} = {\ sin \ alpha \ over {1 - \ cos \ alpha}} = {{1 + \ cos \ alpha} \ over \ sin \ alpha}

3.5. Формулы для суммы функций угла

a \ sin A + b \ cos B = r \ sin {\ left (A + B \ right)} = r \ cos \ left ({\ pi \ over 2} - A-B \ right), ~ {r = \ sqrt {a ^ 2 + b ^ 2}} ~ {tg B = {b \ over a}}
\ Sin A \ pm \ sin B = 2 \ sin {{A \ pm B} \ over 2} \ cos {{A \ mp B} \ over 2}
\ Cos A + \ cos B = 2 \ cos {{A + B} \ over 2} \ cos {{A - B} \ over 2}
\ Cos A - \ cos B = - 2 \ sin {{A + B} \ over 2} \ sin {{A - B} \ over 2}
\ Operatorname {tg} A \ pm \ operatorname {tg} B = {\ sin {A \ pm B} \ over {\ cos A \ cos B}} ~ ~ ~ \ operatorname {ctg} A \ pm \ operatorname { ctg} B = {\ sin {B \ pm A} \ over {\ sin A \ sin B}}

3.6. Общие формулы для функций кратных углов

Если n является целым положительным числом, то

\ Sin {n A} = {n \ choose 1} \ cos ^ {n -1} A \ sin A - {n \ choose 3} \ cos ^ {n - 3} A \ sin ^ 3 A + {n \ choose 5} \ cos ^ {n - 5} A \ sin ^ 5 A \ mp \ cdots
\ Cos {n A} = \ cos ^ n A - {n \ choose 2} \ cos ^ {n - 2} A \ sin ^ 2 A + {n \ choose 4} \ cos ^ {n - 4} A \ sin ^ 4 A \ mp \ cdots


4. Общие формулы для степеней функций

Если n является целым нечетным числом, то

\ Sin ^ nx = {{(-1) ^ {{n-1} \ over 2}} \ over {2 ^ {n-1}}} \ left [\ sin {nx} - {n \ choose 1} \ sin {(n-2) x} + {n \ choose 2} \ sin {(n - 4) x} - {n \ choose 3} \ sin {(n - 6) x} + \ cdots + (- 1) ^ {{n-1} \ over 2} {n \ choose {{n-1} \ over 2}} \ sin x \ right]

\ Cos ^ nx = {\ left ({1 \ over 2} \ right)} ^ {n - 1} \ left [\ cos {nx} + {n \ choose 1} \ cos {(n-2) x} + {n \ choose 2} \ cos {(n - 4) x} + {n \ choose 3} \ cos {(n - 6) x} + \ cdots + {n \ choose {{n-1} \ over 2}} \ cos x \ right]


Если n является целым четным числом, то

\ Sin ^ nx = {{{\ left (-1 \ right)} ^ {{n \ over 2}}} \ over {2 ^ {n - 1}}} \ left [\ cos {nx} - {n \ choose 1} \ cos {(n-2) x} + {n \ choose 2} \ cos {(n-4) x} - {n \ choose 3} \ cos {(n-6) x} + \ cdots + {\ left (-1 \ right)} ^ {{n-2} \ over 2} {n \ choose {{n-2} \ over 2}} \ cos {2 x} \ right] + {n \ choose {n \ over 2}} ^ {1 \ over 2 ^ n}
\ Cos ^ nx = {\ left ({1 \ over 2} \ right)} ^ {n - 1} \ left [\ cos {nx} + {n \ choose 1} \ cos {(n - 2) x} + {n \ choose 2} \ cos {(n - 4) x} + {n \ choose 3} \ cos {(n - 6) x} + \ cdots + {n \ choose {{n-2} \ over 2}} \ cos {2 x} \ right] + {n \ choose {n \ over 2}} ^ {1 \ over 2 ^ n}

5. Расписания в ряд Тейлора

Существуют такие расклады в ряд Тейлора тригонометрических функций:

\ Sin x = x - \ frac {x ^ 3} {3!} + \ Frac {x ^ 5} {5!} - \ Frac {x ^ 7} {7!} + \ Cdots = \ sum_ {n = 0} ^ \ infty \ frac {(-1) ^ nx ^ {2n +1}} {(2n +1)!}
\ Cos x = 1 - \ frac {x ^ 2} {2!} + \ Frac {x ^ 4} {4!} - \ Frac {x ^ 6} {6!} + \ Cdots = \ sum_ {n = 0} ^ \ infty \ frac {(-1) ^ nx ^ {2n}} {(2n)!}
\ Begin {align} \ tan x & {} = \ sum_ {n = 0} ^ \ infty \ frac {U_ {2n +1} x ^ {2n +1}} {(2n +1)!} \ \ & {} = \ sum_ {n = 1} ^ \ infty \ frac {(-1) ^ {n-1} 2 ^ {2n} (2 ^ {2n} -1) B_ {2n} x ^ {2n-1 }} {(2n)!} \ \ & {} = x + \ frac {x ^ 3} {3} + \ frac {2 x ^ 5} {15} + \ frac {17 x ^ 7} {315} + \ cdots, \ qquad \ text {for} | x | <\ frac {\ pi} {2} \ end {align}

где

U n n-е преобразования бустрофедон,
B n числа Бернулли, и
E n числа Эйлера.
\ Begin {align} \ csc x & {} = \ sum_ {n = 0} ^ \ infty \ frac {(-1) ^ {n +1} 2 (2 ^ {2n-1} -1) B_ {2n } x ^ {2n-1}} {(2n)!} \ \ & {} = \ frac {1} {x} + \ frac {x} {6} + \ frac {7 x ^ 3} {360} + \ frac {31 x ^ 5} {15120} + \ cdots, \ qquad \ text {for} 0 <| x | <\ pi \ end {align}


\ Begin {align} \ sec x & {} = \ sum_ {n = 0} ^ \ infty \ frac {U_ {2n} x ^ {2n}} {(2n)!} = \ Sum_ {n = 0} ^ \ infty \ frac {(-1) ^ n E_ {2n} x ^ {2n}} {(2n)!} \ \ & {} = 1 + \ frac {x ^ 2} {2} + \ frac {5 x ^ 4} {24} + \ frac {61 x ^ 6} {720} + \ cdots, \ qquad \ text {for} | x | <\ frac {\ pi} {2} \ end {align}
\ Begin {align} \ cot x & {} = \ sum_ {n = 0} ^ \ infty \ frac {(-1) ^ n 2 ^ {2n} B_ {2n} x ^ {2n-1}} {( 2n)!} \ \ & {} = \ frac {1} {x} - \ frac {x} {3} - \ frac {x ^ 3} {45} - \ frac {2 x ^ 5} {945} - \ cdots, \ qquad \ text {for} 0 <| x | <\ pi \ end {align}



5.1. Связь с экспонентой и комплексными числами

Используя вышеприведенные расклады в ряды Тейлора можно показать, что функции sin и cos является мнимой и действительной частями экспоненты чисто мнимого числа:

e ^ {i \ theta} = \ cos \ theta + i \ sin \ theta. \,

Это соотношение называется формуле Эйлера.

Можно определить тригонометрические функции комплексной переменной z:

\ Sin z = \ sum_ {n = 0} ^ {\ infty} \ frac {(-1) ^ {n}} {(2n +1)!} Z ^ {2n +1} \, = \, {e ^ {iz} - e ^ {-iz} \ over 2i} =-i \ sinh \ left (iz \ right),
\ Cos z = \ sum_ {n = 0} ^ {\ infty} \ frac {(-1) ^ {n}} {(2n)!} Z ^ {2n} \, = \, {e ^ {iz} + e ^ {-iz} \ over 2} = \ cosh \ left (iz \ right)

где i 2 = -1, а \ Sinh x и \ Cosh x - Соответственно гиперболические синус и косинус. Для настоящего x имеют место соотношения

\ Cos x = \ mbox {Re} (e ^ {ix}) ~ ~ ~ ~ ~ \ sin x = \ mbox {Im} (e ^ {ix})
Комплексный синус
Комплексный косинус
Комплексный тангенс

6. Дифференцирование и интегрирование

\ \ \ \ F (x)\ Frac {d} {dx} f (x)\ Int f (x) \, dx
\, \ \ Sin x\, \ \ Cos x\, \ - \ Cos x + C
\, \ \ Cos x\, \ - \ Sin x\, \ \ Sin x + C
\, \ \ Tan x\, \ \ Sec ^ {2} x- \ Ln \ left | \ cos x \ right | + C
\, \ \ Cot x\, \ - \ Csc ^ {2} x\ Ln \ left | \ sin x \ right | + C
\, \ \ Sec x\, \ \ Sec {x} \ tan {x}\ Ln \ left | \ sec x + \ tan x \ right | + C
\, \ \ Csc x\, \ - \ Csc {x} \ cot {x}- \ Ln \ left | \ csc x + \ cot x \ right | + C

Источники

  • Г. Корн и Т. Корн "Справочник по математике для научных работников и инженеров"

См.. также