Тригонометрия

Тригонометрия (от греч. τρίγονο - Треугольник и μετρειν - измеряю, то есть буквально измерения треугольников) - раздел элементарной математики, лежащий на пересечении алгебры и геометрии и изучает соотношение между сторонами и углами треугольников, позволяя проводить угловые вычисления через специально определенные функции углов.

Основным инструментом тригонометрии является тригонометрические функции, определенные для прямоугольного треугольника, значительно облегчающие вычисления, поскольку позволяют заменить геометрические построения, алгебраическими операциями.


1. Исторические сведения

Некоторые сведения из науки, позже получила название тригонометрии, были еще в древних египтян [1]. В папирусе Ахмеса есть пять задач, касающихся измерения пирамид, в которых упоминается некая функция угла - "сект". Есть мнение, что "сект" отвечает котангенс угла. Применение этой функции мало сугубо практическую причину: египетские архитекторы строили пирамиды, строго соблюдая одного и того же значения угла наклона боковой грани к основанию (52 ?) и угла между ребром и диагональю основы (42 ?). А для этого надо было знать соответствующие отношения между линейными элементами четырехугольной пирамиды.

Вавилоняне так же имели некоторые знания из этой области математики: они ввели разделение круга на 360 ? и разделение градуса на 60 частей, что соответствовало принятой в древней Месопотамии шестидесятеричная системе счисления. Для измерения углов вавилоняне пользовались примитивной астролябией.

Древние греки умели решать многие тригонометрических задач, но они применяли геометрические, а не алгебраические методы.

Тригонометрическую Свойство синус впервые ввели древние индейцы в "Сурья Сиддханти". Свойства этой функции исследовал индийский математик 5 века Ариабхата I [2]. Дальнейшее вклад в развитие тригонометрии сделали арабские математики. К 10 века они оперировали всеми тригонометрическими Свойство и протабелювалы их. В Европу понятия тригонометрических функций пришло с переводами работ аль-Баттани и Ат-Туси. Одной из первых работ европейской математики, посвященных тригонометрии была книга "De Triangulis" немецкого математика 15 века Региомонтан. Однако, еще в 16 веке тригонометрия была мало известна. Николай Коперник вынужден был посвятить ее описания 2 отдельных раздела в своем труде "Об обращениях небесных сфер".

Быстрый дальнейшее развитие тригонометрии был обусловлен требованиями навигации и картографии [3]. Сам термин тригонометрия ввел, опубликовав в 1595 книгу под таким названием, Варфоломей Питиск [4]. Гемма Фриз описал метод триангуляции.

Со становлением математического анализа тригонометрия получила новые методы. Благодаря трудам Брука Тейлора и Колени Маклорена тригонометрические функции получили представление в виде рядов [5]. Формула Муавра установила связь между тригонометрическими функциями и экспоненте. Леонард Эйлер расширил определение тригонометрических функций на комплексную плоскость.


2. Тригонометрические функции

Прямоугольный треугольник

Тригонометрия основывается на соотношении подобия. Треугольники с двумя равными углами подобные, поэтому подобные прямоугольные треугольники, в который равен один острый угол. Отношение длин сторон в подобных треугольников одинаковое, поэтому отношение сторон прямоугольных треугольников зависит только от одного параметра - острого угла. Это обстоятельство позволяет определить тригонометрические фукнция: синус, косинус, тангенс, котангенс, секущая и косеканс, как отношение различных сторон прямоугольного треугольника.

Пусть ABC - прямоугольный треугольник. C - вершина прямого угла, AB - гипотенуза, AC и BC - катеты, α - угол BAC.


2.1. Прямые тригонометрические функции

Формула Название Определение
\ \ Sin \ alpha sin α = BC / AB = a / c синус отношение противоположного катета к гипотенузы
\ \ Cos \; \ alpha cos α = AC / AB = b / c косинус отношение прилегающего катета к гипотенузы
\ \ Text {tg} \; \ alpha tg α = BC / AC = a / b тангенс отношение противоположного катета к близлежащему
\ \ Text {ctg} \; \ alpha ctg α = AC / BC = b / a котангенс отношение прилегающего катета к противоположному
\ \ Text {sec} \; \ alpha sec α = AB / AC = c / b секущая отношение гипотенузы к близлежащему катета
\ \ Text {csc} \; \ alpha csc α = AB / BC = c / a косеканс отношение гипотенузы к противоположному катета

2.2. Обратные тригонометрические функции

Для каждой прямой тригонометрической функции существует обратная. Названия оберенних функций образуются добавлением префикса л-к названию соответствующей прямой фунцкии. Например,

\ \ Arcsin \; x - Арксинус, угол, синус которого равен х;
\ \ Arccos \; x - Арккосинус, угол, косинус которого равен х.
\ \ Text {arctg} \; x - Арктангенс, угол, тангенс которого равен х.

2.3. Формулы перехода

\ Sin ^ 2x + \ cos ^ 2x = 1 \!

Это соотношение является следствием теоремы Пифагора и называется тригонометрической единицей.

\ Text {tg} \, x = \ frac {\ sin x} {\ cos x} \!


\ Text {ctg} \, x = \ frac {\ cos x} {\ sin x} \!

3. Основные теоремы тригонометрии

Определены для прямоугольного треугольника тригонометрические функции позволяют решать произвольные треугольники с использованием основных теорем: теоремы синусов, теоремы косинусов.

Теорема синусов утверждает, что отношение синуса угла к длине противоположной стороны треугольника одинакова для всех углов треугольника.

Теорема косинусов позволяет определить длину третьей стороны треугольника, если известны длины двух сторон и значения угла между ними.

Площадь треугольника тоже может быть определена через тригонометрические функции: она равна половине произведения прилегающих сторон на синус угла между ними.


4. Простейшие тригонометрические уравнения

Уравнения, в которых фигурируют тригонометрические функции, называют тригонометрическими. Простейшие из них имеют аналитические решения, благодаря существованию обратных тригонометрических функций. Поскольку тригонометрические функции периодические, такие решения не единственные, а определяются с точностью до периода.

\ Begin {matrix} \ sin x = a & (| a | \ le1) & x = (-1) ^ n \ arcsin a + \ pi n \ \ \ cos x = a & (| a | \ le1) & x = \ pm \ arccos a + 2 \ pi n \ \ \ text {tg} \, x = a && x = \ text {arctg} \, a + \ pi n \ \ \ text {ctg} \, x = a && x = \ text {arcctg} \, a + \ pi n \ \ \ end {matrix}

5. Формулы преобразования тригонометрических выражений

Синус и косинус суммы / разницы

\ Sin (x + y) = \ sin x \ cos y + \ cos x \ sin y \!
\ Sin (x-y) = \ sin x \ cos y - \ cos x \ sin y \!
\ Cos (x + y) = \ cos x \ cos y - \ sin x \ sin y \!
\ Cos (x-y) = \ cos x \ cos y + \ sin x \ sin y \!

Сумма / разница синусов и косинусов

\ Sin x + \ sin y = 2 \ sin {\ frac {x + y} {2}} \ cos {\ frac {xy} {2}} \!
\ Sin x - \ sin y = 2 \ sin {\ frac {xy} {2}} \ cos {\ frac {x + y} {2}} \!
\ Cos x + \ cos y = 2 \ cos {\ frac {x + y} {2}} \ cos {\ frac {xy} {2}} \!
\ Cos x - \ cos y = -2 \ sin {\ frac {x + y} {2}} \ sin {\ frac {xy} {2}} \!

6. Применение

Тригонометрические вычисления применяются практически во всех областях геометрии, физики и инженерного дела. Большое значение имеет техника триангуляции, позволяет измерять расстояния до недалеких звезд в астрономии, между ориентирами в географии, контролировать системы навигации спутников. Также следует отметить применение тригонометрии в таких областях, как теория музыки, акустика, оптика, анализ финансовых рынков, электроника, теория вероятностей, статистика, биология, медицина (включая ультразвуковое исследование (УЗИ) и компьютерную томографию), фармацевтика, химия, теория чисел (и, как следствие, криптография), сейсмология, метеорология, океанология, картография, физика, топография и геодезия, архитектура, фонетика, экономика, электронная техника, машиностроения, компьютерная графика, кристаллография.


См.. также