Угол

Символ угла

Угол плоский - геометрическая фигура, образованная двумя лучами (сторонами угла), которые выходят из одной точки, что называется вершиной угла.

Ряд практических задач приводит к целесообразности рассматривать угол как фигуру, образующийся при вращении фиксированного луча вокруг точки О (из которой исходит луч) до заданного положения. В этом случае угол является мерой поворота луча. Такое определение позволяет обобщить понятие угла: в зависимости от направления вращения различают положительные и отрицательные углы, рассматривают углы, большие от развернутого и полного, углы, равны нулю подобное. В тригонометрии это позволяет изучать тригонометрические функции для любого значения аргумента.

Понятие угла обобщается также на различные объекты, рассматриваемые в стереометрии.


1. Обозначение

Обозначение угла

Для обозначения углов в планиметрии часто используются три большие латинские буквы, средняя из которых соответствует вершине, а две другие вместе с вершиной задают лучи. Для того, что отличить обозначения угла от обозначения треугольника перед тремя буквами ставится знак \ Angle . Например, \ Angle \ text {ABC} означает угол с вершиной в точке B и лучами BA и BC. Угол можно обозначать также одной большой латинской буквой, соответствующей его вершине в том случае, когда это не приводит к неоднозначности.

Для удобства оперирования с углами некоторые углы на рисунках и чертежах и в формулах обозначают строчными греческими буквами, перед которыми знак угла не ставится.


2. Конгруэнтность

Для сравнения углов викоритовуеться понятия конгруэнтности, являющаяся аналогом понятия равенства для чисел. Два угла называются конгруэнтными, если их можно совместить с помощью операций изометрии : переноса, вращения и зеркального отражения, то есть таких операций, при которых изменяется расстояние между любыми точками на плоскости.

Для сравнения углов необходимо совместить их вершины, и один из двух лучей для каждого угла. Если при этом второго луча тоже накладываются друг на друга, то эти углы конгруэнтные. Если при наложении вершин и одного из лучей пространство, ограниченное сторонами угла α полностью помещается в пространство, ограниченное сторонами угла β, то угол α меньше угла β, и, соответственно, угол β больше угла α.

Нестрого и неформально конгруэнтные углы называют равными.


3. Измерения

Мерой угла есть отношение длины дуги S к радиусу r
Иллюстрация отрицательных углов и углов, больших от полного

Традиционно углы измеряют в градусах, минутах и секундах. При этом развернутый угол делится на 180 градусов, каждый из градусов делится на 60 минут, каждая из минут на 60 секунд. Градусы помечаются значком ?, например, 37 ?, минуты штрихами, а секунды двойными штрихами.

В международной системе единиц СИ используется другой способ выражения величины угла, при котором угол - безразмерная величина. Этот способ измерения базируется на определении радиана. При этом величина угла с означнням равно отношению длины дуги окружности с центром в вершине угла и любым радиусом до радиуса. Это отношение не зависит от выбора радиуса. Угол величиной 1 радиан определяется как, при котором отношение длины дуги к радиусу равен единице, то есть длина дуги равна радиусу. Безразмерные величины углов удобно использовать в тригонометрии.

Угол можно рассматривать как фигуру, утоворену вращением луча, начиная с определенного начального положения. Тогда, в зависимости от направления вращения, величина угла может принимать как положительные, так и отрицательные значения. По договоренности считается, что при вращении луча против часовой стрелки величина угла увеличивается от нуля до положительных значений. При вращении по часовой стрелке величина угла уменьшается, принимая отрицательные значения.

Такой подход позволяет также рассматривать значения углов, больше от полного угла, если луч осуществляет более одного оборота. Это удобно в тригонометрии и физике.

Приборы для измерения углов называются Угломер. Самый популярный из низ транспортир. Транспортир можно использовать также для построения угла определенной величины. Измерение углов является важной практической задачей во многих областях науки и техники : в астромномии, навигации, в строительстве и горном т.д.. С помощью тригонометрии измерения углов позвляют получить расстояния между далекими объектами. Для удовлетворения потребности измерения углов разработано много высокоточных инструментов: теодолитов, гониометров, секстантов и т.д.


4. Классификация

Углы α и β вертикальные. Углы α и γ, а также β и γ, скадають пары смежных
Комлементани углы

В зависимости от величины угла делятся на несколько категорий.

  • Развернутым углом называют угол, оба луча которого лежат на одной прямой, по разные стороны от вершины. Величина такого угла принимается равной 180 ? и равен по определению радиана π радиан.
  • Прямой угол равен половине развернутого угла. Прямые углы образованы взаимно пердендикулянимы лучами. Величина прямого угла составляет 90 ? или π / 2 радиан.
  • Острыми углами называют углы, меньше прямые. Величина острых углов лежит в промежутке от 0 ? до 90 ?, или Радан от 0 до π / 2
  • Тупые углы большие от прямых, но меньше развернутых, их величина лежит в промежутке от 90 ? до 180 ?, или от π / 2 до π.
  • Угол, вдичи больше развернутого, называется полным. Его величина в радианах равен отношению длины круга радиусу, что составляет 2π. В градусах это 360 ?.

Два угла, имеющие общую сторону, называются прилегающими.

При пересечении двух прямых образуются четыре неразвернутые углы: две пары вертикальных углов, четыре пары смежных углов. Противоположные между собой вертикальные углы конгруэнтные. Смежные углы вместе образуют развернутый угол, поэтому их сумма равна 180 ?, или в радианах - π.

Два угла, которые в сумме утвороють прямой угол, называются комплементарными. Сумма комплементарных углов равен 90 ?, или, в радианах, π / 2.


5. Стереометрия

Двугранный угол
Иллюстрация телесного угла

Понятие угла используется также в стереометрии, т.е. в геометрии трехмерного пространства, в которой вводятся понятия двугранного и телесного угла.

Двугранный угол - фигура, образованная двумя полуплоскости, ограниченными общей прямой. Полуплоскости, образующие телесный называют гранями, а прямую, их ограничивает, ребром. Для определения величины двугранного угла используется плоский угол на плоскости, перпендилярний плоскости ребра двугранного угла.

Телесный угол задается вершиной и незамкнутой поверхностью. Это часть пространства, ограниченная лучами, соединяющих вершину с поверхностью. Для вимирювавання телесных углов используется специальная единица стерадиан. Полный телесный угол равен 4 \ pi стерадиан.


6. Специальные углы


См.. также