Уравнение Пелля

Уравнение Пелля - диофантово уравнение вида:

x ^ 2-n y ^ 2 = 1, \,

где n - Положительное целое число, не является точным квадратом целого числа. Уравнение Пелля является классом диофантовых уравнений второй степени.

Доказано, что при каждом таком значении n уравнение имеет заданную бесконечную последовательность решений. Одним из применений теории уравнения Пелля является приближение иррационального числа \ Sqrt {n} рациональными с как можно меньшим погрешностью.


1. Решения

Уравнение Пелля для любого n имеет пару тривиальных решений (\ Pm 1,0).

В случае когда n не является точным квадратом существует бесконечное количество решений.

Если \ Frac {p_i} {q_i} - Приближенные дроби разложения \ Sqrt {n} в цепную дробь с периодом k, то положительные решения уравнения Пелля имеют вид:

x = p_ {km - 1}, \ quad y = q_ {km - 1}

где m - любое натуральное число такое, что km является четным.

Все положительные решения уравнения Пелля можно получить из формулы:

x_k + y_k \ sqrt n = (x_1 + y_1 \ sqrt n) ^ k.

где k - любое целое, а 1, у 1) - решение с наименьшими положительными значениями неизвестных.

Эквивалентно развязки можно найти с рекуррентных соотношений :

x_ {k +1} = x_1 x_k + n y_1 y_k, \,
y_ {k +1} = x_1 y_k + y_1 x_k. \,

2. Связь с алгебраической теорией чисел

Пара (x, y) является решением уравнения Пелля тогда и только тогда, когда норма числа x + y \ sqrt {n} в расширении \ Q (\ sqrt {n}) поля \ Q равна единице:

N (x + y \ sqrt {n}) = (x + y \ sqrt {n}) (xy \ sqrt {n}) = x ^ 2 - ny ^ 2.

В частности, решению соответствует оборотный элемент кольца Z [\ sqrt {n}] . Поэтому, несмотря на мультипликативность нормы, решения можно умножать и делить: решениям (X_1, y_1) и (X_2, y_2) можно поставить в соответствие решения

(X_1 x_2 + n y_1 y_2, x_1 y_2 + y_1 x_2) \ quad (x_1 x_2 - n y_1 y_2,-x_1 y_2 + y_1 x_2).

3. Пример

Для уравнения x ^ 2-2 y ^ 2 = 1, \, наименьшим положительным решением будет пара чисел (3, 2) \, . Все положительные решения соответственно можно получить с помощью формулы:

x_k + y_k \ sqrt 2 = (3 + 2 \ sqrt 2) ^ k.

Если (X, y) \, - Решения, то решениями также будут числа (3x +4 y, 2x + 3y), \, которые можно определить как (3, 2) \ cdot (x, y) согласно введенным выше произведением.

Действительно:

(3x + 4y) ^ 2 - 2 (2x + 3y) ^ 2 = (9x ^ 2 + 24xy + 16 y ^ 2) - 2 (4x ^ 2 +12 xy +9 y ^ 2) = x ^ 2-2 y ^ 2 \,

Литература

  • Бугаенко В. А. Уравнения Пелля. - Москва: МЦНМО, 2001. - ISBN 5-900916-96-0
  • Barbeau, Edward J. (2003), Pell's Equation, Problem Books in Mathematics, Springer-Verlag, MR1949691, ISBN 0387955291.