Надо Знать

добавить знаний



Уравнение Томаса - Ферми



План:


Введение

Уравнение Томаса-Ферми - приближенное уравнение, описывающее распределение электрического поля и плотности электронов в тяжелых атомах.


1. Предположение локальной плотности электронов

Уравнение выводится, исходя из предположения, что многоэлектронных систему тяжелых атомов можно описать с помощью электронной плотности, которая зависит от потенциала электрического поля в данной точке и задается формулой

n (\ mathbf {r}) = \ frac {2me (\ varphi-A) ^ {3/2}} {3 \ pi ^ 2 \ hbar ^ 3} ,

где m - масса электрона, е - элементарный заряд, \ Varphi - Потенциал, \ Hbar - возведена постоянная Планка, а величина A определяется таким образом, чтобы-eA давало полную энергию. Для нейтрального атома A = 0, для иона

A = \ frac {e (Z-N)} {R} ,

где Z - зарядовое число ядра атома, N - количество электронов в ионе, R - радиус иона.

Уравнение Томаса-Ферми выводится, исходя из уравнения Пуассона где плотность заряда равна -En (\ mathbf {r}) :

\ Frac {1} {r ^ 2} \ frac {d} {dr} \ left (r ^ 2 \ frac {d} {dr} \ right) (\ varphi - A) = \ frac {4e (2me (\ varphi-A)) ^ {3/2}} {3 \ pi \ hbar ^ 3}

В безразмерной форме уравнения сводится к универсальному

\ Sqrt {x} \ frac {d ^ 2 \ Phi} {dx ^ 2} = \ Phi ^ {3/2}

Это уравнение решается с граничными условиями

\ Phi (x_0) = \ Phi (0) = 1 \,
x_0 \ left. \ Frac {d \ Phi} {dx} \ right | _ {x = x_0} = - \ frac {Z-N} {N}

где x_0 - Радиус атома в безразмерных единицах.


2. Характеристики решения

Решение уравнения Томаса-Ферми дает одинаковый распределение электронной плотности для всех тяжелых атомов. От атома к атому меняется только радиус. Электронная плотность резко возрастает от центра, а затем, достигнув максимума, приходит к краю.

3. Недостатки

Уравнение Томаса-Ферми не может описать электронные оболочки атомов. Электронная плотность спадает на больших расстояниях от ядра медленно. Уравнение Томаса-Ферми не может объяснить также природу химических связей. Однако предложенный метод лежит в основе теории функционала электронной плотности, широко и с успехом применяется в современной квантовой химии.

4. История

Уравнение Томаса-Ферми было предложено в 1927 году независимо Л.Г. Томасом и Энрико Ферми.

Источники

  • Давыдов А.С. Квантовая механика. - Москва: Наука, 1973.


Физика Это незавершенная статья по физики.
Вы можете помочь проекту, исправив и дополнив ее.

код для вставки
Данный текст может содержать ошибки.

скачать

© Надо Знать
написать нам